autour de la parabole

Deux bricolages que j'ai utilisés en début d'année scolaire, pour se poser la question : " est ce que les courbes tracées sont des paraboles avec des façons de les appréhender bien différentes .

Acte 1 : en module :

Le premier bricolage utilise le fait que la parabole est le lieu des points équidistants d'une droite et d'un point hors de cette droite .
Sur une planche, visser une tringle à rideaux  " chemin de fer " tout en haut .
Ensuite, découper le crochet en plastique avec un couteau pour avoir une surface plane  .

Sur la planche, scotcher une feuille de papier qui sera remplacée après chaque utilisation ou du film adhésif blanc velleda .
Avec quatre barres de meccano, fabriquer un losange . Deux sommets opposés sont fabriqués avec des vis et écrous, les deux autres sont fabriqués à l'aide de punaises qui sont fixées l'une sur le crochet modifié, l'autre sur la planche .
Accrocher un fil à plomb sur la punaise du crochet et un élastique entre les deux vis .

Il faudra sans doute ajouter un niveau pour s'assurer que le fil est bien perpendiculaire à la tringle .
tracer au feutre le point d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb .
La punaise sur la tringle est mobile. Tout en la bougeant, repérer quelques autres points d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb.

Une fois qu'on en a quelques uns, voire une dizaine, on peut poser la question de la courbe formée si on plaçait tous ces points d'intersection .
C'est la première fois de l'année que l'on peut se poser la question du lieu géométrique et les questions qu'il faut se poser en premier lieu : qu'est ce qui est fixe dans cet objet ? qu'est ce qui est mobile ? De quel point étudie-t-on la position ?
La forme évoque la parabole, mais il faut justifier qu'on obtient bien une parabole .
Deux approches, l'une numérique, l'autre géométrique que l'on travaillera sur Geogebra .
Approche géométrique
Mais avant de travailler sur geogebra, il faut sans doute un peu dégrossir la figure pour en dégager les points importants .
Un obstacle important à la compréhension de la figure est le fait que les barres de Meccano cachent presque le reste de la figure, alors qu'il faut avant tout réfléchir sur la nature de la droite portée par l'élastique . En réflechissant ensemble, on arrive au fait que le point M est sur la médiatrice du segment [HF] qui lie les deux punaises , puis que le point M est équidistant de la droite d et du point F . On arrive à la définition de la courbe avec foyer et directrice .
On essaye ensuite d'imaginer cette construction sans les contraintes physiques de la longueur de la tringle et de la longueur de la barre de meccano . La courbe est-elle limitée ?
Une fois cela mis à plat, les élèves vont modéliser la courbe en utilisant géogébra . C'est alors assez facile .
Plus facile que d'insérer les applets de geogebra en tout cas.

Approche numérique .
Comment définit-on une parabole ? Pour l'instant, les élèves en ont une conception numérique, c'est une courbe d'équation y = a x² + b x + c . Il faudrait trouver a, b et c . Mais cela n'a un sens que si on se place dans un repère . Il faut le choisir .
Les objets fixes sont fixes dans ce repère . On peut choisir ce repère en fonction de ceux-ci . En posant la tringle comme axe des abscisses et la punaise comme le point de coordonnées F( 0 ; - 2 ) , par exemple .
Les points mobiles sont définis à partir de la seconde punaise, puisque c'est elle qui permet de trouver les points de la parabole . Puisqu'elle appartient au rail, son ordonnée est 0 , et ses coordonnées sont H( x ; 0 ), avec x réel et le but du calcul est de trouver le point M d'abscisse x, tel que HM = FM .

Entracte:
En devoir à la maison, j'ai demandé de construire la figure la plus simple possible sur geogebra et de la sauver sous leur nom dans le répertoire classe du LCS, et de déterminer algébriquement l'équation de cette courbe en plaçant l'axe des abscisses sur la tringle à rideaux et la punaise au point de coordonnées (0 ; - 2) .
Dans un autre exercice de ce devoir, j'ai demandé aux élèves de déterminer l'équation de la parabole qui passe par trois points donnés non alignés .
Après le rendu des devoirs, on peut conclure que par trois points non alignés, on peut trouver un seul trinome qui correspond et donc qu'il y a une seule parabole .

Acte 2 :
En tendant une drisse entre deux points situés à la même hauteur, on obtient une courbe . Cette courbe est-elle une parabole ? Justifier .
Un débat s'instaure .
Réponses des élèves :
Si c'est une parabole, on peut déterminer son équation quitte à choisir un repère .
On peut utiliser un logiciel de traitement d'image pour avoir des coordonnées;
Ou un logiciel de géométrie .
Une fois qu'on peut trouver les coordonnées de 3 points, on peut obtenir le trinome. Si les autres points vérifient l'équation trouvée, alors c'est une parabole, sinon...

J'ai pris une photo de cette coube, et je l'ai placée dans leur répertoire de travail .
En ouvrant un fichier geogebra et en insérant cette image, les élèves peuvent placer cette image dans un repère et placer quelques points de cette coube, afin d'en déterminer les coordonnées de façon plutôt précises .
Les élèves à l'aise ont choisi leur repère de façon à ce que les coordonnées soient les plus simples possible, d'autres ont choisi un repère de façon aléatoire et ont dû se trouver devant un système d'équations très compliqué .
En déplaçant le repère et en changeant les axes avec la molette, on peut obtenir ceci :

Quand ils ont trouvé les valeurs de a, b , c pour que la courbe passe par trois points, ils peuvent remarquer qu'un quatrième point ne passe pas par cette parabole .

En fait, cette courbe s'appelle une chainette, et son équation utilise des fonctions qu'ils verront en terminale .

Ainsi, à deux reprises , les élèves se sont posé la question " est ce que la courbe est une parabole ?" et la méthode de réponse n'est pas la même : dans le premier cas, c'est une parabole, la formule qu'on va trouver est un trinome pour tous les points ( prouvée dans le cadre général) , dans le second, ce n'est pas une parabole et on trouve un contre-exemple .