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samedi 7 novembre 2009

Activité géométrie dans l'espace ( seconde )

Une activité pour introduire la représentation des solides en perspective cavalière et faire des calculs de volume . Dans un premier temps, l'élève doit construire un tétraèdre en origami. Pour cela, je lui montrerai ce petit film

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et il aura une fiche avec des photos pour le faire à tête reposée. Au passage, il pourra réfléchir pour démontrer que les faces obtenues par pliage sont des triangles équilatéraux. Une fois plié, l'élève doit repérer et calculer la longueur du côté, la position du centre de la face puis la hauteur à l'aide du théorème de Pythagore. Il pourra ainsi calculer le volume du tétraèdre qu'il vient de fabriquer. Une fois les tétraèdres fabriqués, les élèves ont la consigne d'assembler les tétraèdres de manière à obtenir un tétraèdre avec des dimensions doublées. on se rend vite compte qu'il ne sert à rien de coller les tétraèdres face contre face, ni même arête contre arête, et qu'en fait, il faut les poser sommet sur sommet, même si le solide obtenu contient un gros trou . Mais quelle est la forme de ce trou ? C'est difficile à voir ... Deux solutions pour mieux s'en rendre compte : des tiges aimantées . 1) On refabrique les quatre tétraèdres les uns sur les autres, puis on enlève ce qui est en trop... 2) On dessine les quatre tétraèdres en perspective cavalière. Au passage, on rappelle les règles : deux droites parallèles dans l'espace sont représentées par deux droites parallèles sur le dessin. Sur des droites parallèles, les proportions de longueur sont conservées. En repassant en rouge les arêtes du trou, on se rend compte qu'on a représenté un octaèdre, et que ses arêtes parallèles se retrouvent sur la figure. On arrive à la partie presque magique de l'activité. Quel est le volume de l'octaèdre obtenu? Les élèves, sûrement un peu refroidis par le calcul du volume du tétraèdre, vont y aller à rebrousse-poil. Et pourtant! Comme le tétraèdre obtenu est un agrandissement du petit tétraèdre initial avec un coefficient 2, le volume a été multiplié par 8. Or, il n'y a que quatre petits tétraèdres. Donc le volume plein est égal à 4 fois le volume initial. Donc la partie vide représente aussi 4 fois le volume initial. L'octaèdre a un volume 4 fois plus important que celui du tétraèdre de même côté. Au passage, on peut remarquer que le tétraèdre ne peut pas paver l'espace, mais que le tétraèdre et l'octaèdre pavent ensemble l'espace, comme l'illustre magnifiquement cette gravure d'Escher, "Planaires".

dimanche 1 novembre 2009

de la topologie des super héros

La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). ( Wiki)
Le premier problème qui peut être relié à la topologie est le problème des 7 ponts de Koenigsberg, étudié en 1736 par la mathématicien suisse Léonard Euler.
Plus tard, en 1895, Henri Poincarré lance les premières bases de la topologie dans son ouvrage analysis situs et introduit la notion d'homologie qui nous intéresse ici.

Pour parler en grand vulgarisateur, on s'intéresse au nombre de trous dans les volumes. Par exemple, on différencie la boule ( pas de trous) du donut ( le tore) qui a un trou. On aura beau déformer continument la boule, sans arrachement, jamais on n'obtiendra de tore, et réciproquement.
Le topologue va malaxer, étirer, déformer à l'envi des volumes de caoutchouc afin d'obtenir des volumes topologiquement équivalents.

Une blague sur les topologues est qu'un topologue confond une tasse avec une anse et un donut .


Le meilleur professeur de topologie que l'on puisse rêver est le professeur Richards, chef des quatre fantastiques, aussi appelé mister Fantastic. Un brillant scientifique doublé d'une boule de caoutchouc continument déformable, c'est le rêve.

En recherchant les différentes manifestations du pouvoirs de Mister Fantastic par le king Jack Kirby, je prétends que Jolly Jack avait compris intuitivement la notion d'équivalence topologique. Exemples à l'appui.

On pourrait résumer le pouvoir de Red Richards en disant qu'il est topologiquement équivalent à une boule .

Donc, par déformation continue, Mister Fantastic peut se transformer en une boule.


Il n'a donc aucun trou, et ne peut donc pas être percé par des balles. En effet, au moindre trou, sa topologie deviendrait celle d'un donut.
Et si Red s'était fait percer une oreille avant d'obtenir ses pouvoirs, ses pouvoirs auraient sans doute été modifiés. Il aurait sans doute pu déformer et déplacer ce trou afin que les balles passent au travers de ce trou.


Donc, il dispose de deux statégies pour une attaque par balle. Retenir les balles en déformant continument son corps de manière à accompagner leur parcours ou se déformer de manière à les éviter ( dessin K Pollard)



La boule est topologiquement équivalente a un pavé rectangualaire ( toute personne qui a fait le la patisserie peut en témoigner) et aussi en sac ( non troué), ce qui peut s'avèrer pratique si on veut capturer Hulk par exemple.


Pour se tranformer en tore, Red doit recoller sa structure, en retenant une partie de son corps avec son bras.



Dans tous les épisodes des FF par Kirby de ma collection, j'ai pu constater qu'il respectait la déformation continue et l'équivalence à la boule. Sauf à ces quelques exceptions près, mais je crois qu'on peut les imputer aux encreurs, moins bons topologues.

Dans FF11, les deux bras semblent soudés au niveau du coude, ce qui le rendrait équivalent au tore. Il s'agit sans aucun doute d'une erreur d'encrage, ou alors il y avait une bulle à la place de l'erreur, cette erreur est trop grossière pour être voulue .



Dans FF14, Mister Fantastic se transforme en filet pour capturer Namor. L'encrage semble donner l'idée d'un volume avec de nombreux trous :


Heureusement, en gros plans, Kirby explique la façon d'obtenir ce filet tout en gardant la structure de boule. Ca semble mieux marcher. Encore faudrait-il étudier cette structure en filet à l'aide de la théorie des graphes pour en être sûr.


Même schéma dans FF17. Kirby semble percer de nombreux trous dans la structure de M. Fantastic . Mais il corrige l'idée dans l'image suivante nous dévoilant son truc et ne laisse plus de doute: c'est bien une erreur d'encrage .


Je ne pense pas que Jack Kirby ait tenu un livre de topologie dans ses mains, mais son intuition de la déformation d'une boule était parfaitement cohérente sur les 102 épisodes qu'il a dessinés.

Mais comme pour comprendre une notion, il peut être intéressant d'avoir des contre-exemples, on m'a signalé ces petits monstres multicolores qui ne connaissent pas la topologie .

samedi 17 octobre 2009

le carré magique ( puzzle)

Un devoir maison que j'ai donné en 1S, qui étudie un puzzle vendu sous le nom carré magique. Il est constitué de quatre pièces superposables et peut dans une configuration, donner un carré de côté 10cm et dans une autre, donner un carré un peu plus grand, dans lequel un trou carré de côté 2 cm a été opéré en son centre. J'ai choisi les valeurs afin de trouver dans les calculs un trinôme qui se simplifie facilement et des valeurs simples pour la construction, mais on peut choisir n'importe quelles valeurs au départ. La construction des ce puzzle joue sur un double découpage du plan. 1 un pavage avec deux carrés de tailles différentes: 2 un pavage avec un carré ayant pour sommets les centres des quatre grands carrés reliés par un petit : Cette construction permet de démontrer de façon fort jolie la théorème de Pythagore. Henri Perigal, un agent de change londonien du 19eme a trouvé cette dissection du carré en 1874. Henri Dudeney, le célèbre créateur de jeux mathématiques, l'a popularisé en 1917. Il est à noter que l'on peut avoir les deux solutions en une manipulation, après avoir relié les pièces au moyen d'une charnière . Je ne sais pas si ça existe, mais je pense qu'on peut imaginer des tables carrées sur mesure qui pourraient s'adapter en quelques manoeuvres autour d'un pilier central .
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mardi 29 septembre 2009

Un problème sur la tapisserie de Bayeux

Professeur dans un lycée de Bayeux, suite à des discussions avec des collègues sur des problèmes de mathématiques concernant le patrimoine local, je me suis mis en quête de monuments de la ville pouvant succiter des questionnements mathématiques.
J'ai arpenté la ville, et, mis à part une courbe du midi sur la façade de l'hotel du cadran,
et un tétraèdre issu des plages du Débarquement (le même que ceux-ci)

, je n'ai pas trouvé grand chose.
Et puis, j'ai pensé à un roman que j'ai lu il y a deux ans, "Intrigue à l'anglaise" d'Adrien Goetz, qui se déroule à Bayeux autour de sa broderie et dans lequel l'un des héros s'amuse avec une reproduction de la tapisserie de Bayeux, en l'enroulant autour d'un cylindre. Une théorie amusante, qui peut faire penser aux colonnes de Trajan ou à des colonnes du XIeme siècle retrouvées en Allemagne et retraçant des scènes de la vie du Christ . Une idée astucieuse et séduisante, à prendre comme elle est. En tout cas, cela pose des questions mathématiques intéressantes.
J'ai écrit à l'auteur du roman qui était ravi et qui m'a donnée les références d'un livre avec une reproduction de la tapisserie très pratique pour faire une maquette.
A l'aide d'extraits du roman, j'ai créé ce devoir en temps libre et cette maquette.




Sur cette maquette, avec les alignements évoqués dans le roman, on peut retrouver le diamètre de cette colonne hypothétique et on trouve des coincidences amusantes.
Presque sur le même verticale, le serment d'Harold , puis, au dessus le doigt de Dieu qui viendrait attester ce serment, puis encore au dessus, la comète, sorte de message divin.

Je n'ai pas encore donné le devoir, j'espère que cette vision amusante de notre trésor local les motivera davantage, et que le côté "lecture d'un extrait de roman à l'aide des maths" séduira les élèves et leur offrira des ouvertures. Une discussion avec un élève de 1S qui se dit plus littéraire que matheux m'invite à croire que c'est une piste intéressante .
Le regret que j'ai, c'est qu'il n'existe pas ou plus de colonne pouvant coller avec les résultats trouvés. J'aurais tant aimé faire une sortie à la cathédrale de Bayeux avec tous mes élèves armés de mètres de couturières pour mesurer le tour des cylindres, mais aucun pilier n'est cylindrique.
Ni dans l'abbaye aux dames, ni dans l'abbaye aux hommes, d'ailleurs.

samedi 12 septembre 2009

Planche de Galton (seconde, première)

Cette année, je suis nommé en lycée, et mon projet de faire des bricolages pour le programme de collège se trouve modifié. Réaliser des outils visuels et tactiles pour l'enseignement des maths en lycée me semble un peu plus ardu, et limite hors sujet, le programme allant vers davantage d'abstraction. Toutefois, pour certaines leçons, comme la géométrie dans l'espace, cette approche peut être intéressante. J'avais réalisé cet objet il y a quelques années, mais comme j'en aurai certainement besoin cette année, je l'ai récupéré ( Merci Jacques). Une planche de Galton, du nom de son inventeur, Sir Francis Galton . Deux barres amovibles en haut et en bas pour libérer les billes. J'ai utilisé des vis à tête hexagonales, afin d'avoir une probabilité 1/2 pour chaque côté. Les résultats sont corrects, j'ai voulu utiliser des obstacles à section circulaire pour fabriquer une autre planche( des tourillons en bois ), mais les résultats sont très décevants ( les billes vont très souvent sur les côtés). Avec les vis, une fois la planche posée sur un endroit équilibré, nous avons des résultats plutôt corrects. C'est le premier objet que j'avais bricolé, le gros défaut qu'il a , c'est que le matériel m'a coûté assez cher, notamment les vis de 21 ( aux alentours de 25€, si je me souviens bien)
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Avec les nouveaux programmes de seconde, une place intéressante est donné à l'algorithmique, et je me suis replongé avec délice dans la programmation de petits programmes. J'ai utilisé le logiciel scratch pour l'écrire, parce que les nouveaux programmes de seconde nous proposent de découvrir ce logiciel. Je me suis amusé à effectuer une simulation de cette planche de Galton. L'un des aspects sympathiques de Scratch, c'est la possibilité de partager nos programmes aux autres internautes, qui peuvent les télécharger et les utiliser et modifier s'ils le désirent . Voici ma simulation ( prendre une valeur inférieure à 150, SVP) Activité se rapportant à la planche de Galton : Après un lancer d'une soixantaine de billes, établir un tableau des fréquences pour chaque colonne. Comment expliquer cette courbe en cloche? Lancer de billes : où la bille va-t-elle tomber? Pourquoi la bille tombe-t-elle plus souvent dans la colonne centrale? Propriété: la probabilité pour la bille de tomber dans une colonne est proportionnelle au nombre de chemins qui mènent à cette colonne. Il faut donc compter, pour chaque colonne le nombre de chemins qui y mènent. Notation d'un chemin : A chaque obstacle, la bille va soit à gauche, soit à droite. En notant G et D le fait d'aller à gauche ou à droite pour chaque obstacle, dessiner le chemin GGDDGGGD. Où la bille tombe-t-elle après ce chemin? Donner un autre chemin qui mène à la même colonne. Combien y a-t-il de chemin qui mènent dans la colonne la plus à droite? Quel est son codage? En étudiant le nombre de possibilités à chaque obstacle 1) sur les bords 2) sur un obstacle non situé sur les bords, on arrive à se rendre compte qu'on peut obtenir de proche en proche le nombre de chemins qui mènent à chaque étape. On obtient le triangle de Pascal, connu des chinois dès le 14eme siecle

mercredi 17 juin 2009

mercredi 3 juin 2009

Un pantographe à symétrie axiale ( 6emes, 5emes)


Je ne sais pas si l'objet existe, je ne connais que le pantographe à symétrie centrale où à homothétie, mais je pense que c'est un bel objet pour illustrer le cours sur les symétries axiales en sixième et pour donner une application des propriétés du losange en cinquième.
Edit: Après deux trois recherches, je me rends compte que non seulement cet objet existe, mais qu'il existe aussi des pantographes pour la translation, pour les similitudes et les rotations. très ingénieux aussi.
construction:
Sur une planche, j'ai vissé une crémaillère qui fera office de rail.
J'ai posé deux roulettes ( récupéré sur un vieux meuble) qui s'adaptent à la taille du rail et sur lesquelles j'ai posé des branches de méccano de la même taille.
On obtient un losange. Sur les deux autres sommets, j'ai posé deux courtes bandes coudées où j'ai scotché des feutres de manière à ce qu'ils touchent le support.
On scotche deux feuilles de papier symétriquement par rapport au rail.

Pour l'instant, deux défauts persistent: on ne peut pas lever le crayon et le support des feutres a tendance à tourner et à déformer le dessin.
Pour pallier à ces défauts, il faut être deux à manipuler l'objet, le premier qui fait le dessin et le second qui se laisse guider, les deux personnes faisant attention à ce que les feutres soient dans l'axe de la diagonale du losange. Celui qui dirige le dessin peut aussi demander à son comparse de lever le crayon si nécessaire. Mes enfants étaient contents d'essayer, mais il va encore falloir s'entrainer au maniement.

En cinquième, après le cours sur les parallélogrammes particuliers, on peut demander de démontrer que les barres forment un losange et que les deux feutres sont toujours placés de façon symétrique par rapport au rail.

mercredi 6 mai 2009

Travaux pratiques: calcul de volumes (3emes)

En corrigeant les devoirs de mes troisième sur la géométrie dans l'espace, je me suis rendu compte qu'ils ne faisaient aucune figure, qu'ils ne se figuraient aucune section par un plan qui rend les calculs pratiques.
Les calculs étaient corrects mais peu lisibles sans la figure.
Pour les obliger à se poser ce genre de questionnement, je leur ai proposé une séance de travaux pratiques.
J'ai disposé sur les tables différents objets courants.
La consigne était de calculer le volume intérieur.
Ils avaient à leur disposition des règles, des compas, des pieds à coulisse et s'ils le demandaient, des bouts de ficelle.
Le travail attendu était la réalisation d'une affiche présentant leur démarche.
N'ayant pas de figure dessinée dans l'énoncé, ils étaient bien obligés d'en faire une pour nommer les points.
Ce jour- là, ma salle de classe ressemblait un peu à une foire à tout.



Le boîtier de raccordement pour prises électriques.
Deux demi-sphères + un cylindre
A part l'utilisation du pied à coulisse, pas de difficultés.



Le rouleau de scoth double face
Différence de deux cylindres
Utilisation du pied à coulisse.
Pas de difficultés, mais c'est pour montrer que les volumes ne s'ajoutent pas toujours.

Le pot de confiture.
un prisme droit + 1 cylindre

La principale difficulté était de calculer l'aire de la base, qui est un hexagone.
Utilisation du pied à coulisse.

Abats jour et entonnoirs
Troncs de cône et troncs de pyramides.
Le calcul est bien plus compliqué et plus ambitieux. En effet, il faut trouver la position du sommet tronqué.
Utilisation du théorème de Pythagore, du théorème de Thalès.
Résolution d'une équation.


Certains élèves ont utilisé plusieurs méthodes pratiques pour retrouver la position approximative du sommet: utilisation de plusieurs règles, bouts de ficelle (qu'il a fallu couper à la bonne longueur, car impossible à extraire en gardant le doigt sur le bon repère.)


Certains élèves sont arrivés à une très belle résolution du problème des abats jours, d'autres se sont contentés de faire une approximation.
En tout cas, ils ont tous fait des plans.

Travaux pratiques parallélogrammes ( 5eme)

Afin de commencer mon cours sur les parallélogrammes, j'ai mis au point une série d'expériences que les élèves effectuent en TP tournant.
Chaque expérience est conçue de la même façon, en quatre étapes:

1) construction d'un parallélogramme avec le matériel proposé
2) Explicitation du vocabulaire mathématique mis en jeu
3) Ecriture d'une propriété suffisante pour fabriquer un parallélogramme.
4) Utilisation de cette propriété pour construire un parallélogramme à l'aide des instruments de géométrie.

Les élèves sont répartis en groupes de deux ou trois. Chaque fois que le construction est réalisée, les élèves la font valider sur une grille de validation. Ils peuvent alors répondre aux questions suivantes.

Pour commencer la séance, donner une bonne image mentale dui parallélogramme, fixer la définition et fournir un "moule" aux autres rédactions, tous les élèves commencent par le TP 1.
TP1: définition du parallélogramme
Matériel fourni: 4 feuilles de papier calque, avec deux droites tracées. Seuls les calques 1 et 4 présentent des droites parallèles 2 à 2.


Questions( les questions 4, 6 et 7 sont exactement les mêmes pour tous les TPs (aux décalages près), je ne le remettrai pas par la suite.


1) A l'aide de deux calques bien choisis, construire un parallélogramme. Faire valider par le professeur.
2)Quels sont les numéros des calques que tu as choisis pour construire ces parallélogrammes?
3)Pourquoi avez vous choisi ces calques là ?
4)Faire un schéma de votre construction avec le quadrilatère ABCD. Que peut-on dire de cette figure à l'aide du TP 1 ?



5) Compléter la phrase:
Un parallélogramme est un quadrilatère qui..........................................
...............................................................................

6)En vous servant de cette propriété, terminer le parallélogramme ABCD.

7)Quels outils de construction avez-vous utilisé?


Après avoir laissé les élèves chercher dix minutes, une correction type est proposée.


TP 2 : Condition suffisante concernant les longueurs égales deux à deux. ( avec des baguettes)

Deux TP avec du matériel différent mais aboutissant à la même propriété
TP 2 : Baguettes et 4 colliers de serrage



1)Choisis le matériel sur la table pour construire un parallélogramme.
Fais valider par le professeur.

2)Comment as tu choisi les tiges?


3)Que représentent les tiges de même longueur dans ce parallélogramme ?

phrase à compléter:

Si un quadrilatère …................................................................................................., alors c'est un parallélogramme .





TP2 bis ( avec des barres de mécano)
matériel : 4 bandes de mécano , 4 vis, 4 écrous



1)construire un parallélogramme avec tout le matériel proposé. Faire valider par le professeur.

2)Comment avez-vous placé les vis?


Phrase à compléter:
Si un quadrilatère …................................................................................................., alors c'est un parallélogramme .


TP3 : Condition suffisante concernant la symétrie centrale (ou le milieu des diagonales.)

Matériel : 2 tiges de mécano , 5 vis et écrous, un élastique.



1)Construire un parallélogramme avec tout le matériel proposé. Faire valider par le professeur.

2)Que représentent les deux barres de mécano pour le parallélogramme ?

3)Que représente l'élastique pour le parallélogramme?

4)Comment avez-vous placé les vis sur les barres ?

Phrases à compléter:

Si un quadrilatère a ses diagonales qui............................................, alors c'est un parallélogramme.

Si un quadrilatère admet un........................................................, alors c'est un parallélogramme.





TP4 : Condition suffisante concernant deux des côtés.

Matériel : 3 tiges de mécano préparées, 4 vis,, 4 écrous, un élastique.




1)Comment ont été monté les tiges 1 et 3 par rapport à la tige 2 ?

2)Que peut-on dire alors des tiges 1et 3?

3)Quelle propriété avez-vous utilisé?

4)A l'aide du matériel proposé, construire un parallélogramme. Faire valider par le professeur.

5)Comment avez vous choisi l'emplacement des vis ?
Phrase à compléter

Si un quadrilatère a deux........................................................., alors c'est un parallélogramme.




TP5 : Conditions suffisantes concernant les angles

Matériel : Feuilles transparentes.



1)Choisir les bonnes feuilles transparentes pour construire un parallélogramme. Faire valider par le professeur.
2)Quelles sont les feuilles que vous avez choisies?

3)Comment avez-vous choisi ces feuilles?

4) Que peut-on dire des angles opposés dans un parallélogramme?

5) Que peut-on dire des angles consécutifs dans un parallélogramme?
Phrases à compléter

Si un quadrilatère a ses angles opposés .........................................., alors c'est un parallélogramme

Si un quadrilatère a des angles consécutifs .............................., alors c'est un parallélogramme.


Il faut bien compter deux heures pour ce TP.
La plupart des élèves est enthousiaste.