Wikio - Top des blogs - Sciences exactes

samedi 7 novembre 2009

Activité géométrie dans l'espace ( seconde )

Une activité pour introduire la représentation des solides en perspective cavalière et faire des calculs de volume . Dans un premier temps, l'élève doit construire un tétraèdre en origami. Pour cela, je lui montrerai ce petit film

video
et il aura une fiche avec des photos pour le faire à tête reposée. Au passage, il pourra réfléchir pour démontrer que les faces obtenues par pliage sont des triangles équilatéraux. Une fois plié, l'élève doit repérer et calculer la longueur du côté, la position du centre de la face puis la hauteur à l'aide du théorème de Pythagore. Il pourra ainsi calculer le volume du tétraèdre qu'il vient de fabriquer. Une fois les tétraèdres fabriqués, les élèves ont la consigne d'assembler les tétraèdres de manière à obtenir un tétraèdre avec des dimensions doublées. on se rend vite compte qu'il ne sert à rien de coller les tétraèdres face contre face, ni même arête contre arête, et qu'en fait, il faut les poser sommet sur sommet, même si le solide obtenu contient un gros trou . Mais quelle est la forme de ce trou ? C'est difficile à voir ... Deux solutions pour mieux s'en rendre compte : des tiges aimantées . 1) On refabrique les quatre tétraèdres les uns sur les autres, puis on enlève ce qui est en trop... 2) On dessine les quatre tétraèdres en perspective cavalière. Au passage, on rappelle les règles : deux droites parallèles dans l'espace sont représentées par deux droites parallèles sur le dessin. Sur des droites parallèles, les proportions de longueur sont conservées. En repassant en rouge les arêtes du trou, on se rend compte qu'on a représenté un octaèdre, et que ses arêtes parallèles se retrouvent sur la figure. On arrive à la partie presque magique de l'activité. Quel est le volume de l'octaèdre obtenu? Les élèves, sûrement un peu refroidis par le calcul du volume du tétraèdre, vont y aller à rebrousse-poil. Et pourtant! Comme le tétraèdre obtenu est un agrandissement du petit tétraèdre initial avec un coefficient 2, le volume a été multiplié par 8. Or, il n'y a que quatre petits tétraèdres. Donc le volume plein est égal à 4 fois le volume initial. Donc la partie vide représente aussi 4 fois le volume initial. L'octaèdre a un volume 4 fois plus important que celui du tétraèdre de même côté. Au passage, on peut remarquer que le tétraèdre ne peut pas paver l'espace, mais que le tétraèdre et l'octaèdre pavent ensemble l'espace, comme l'illustre magnifiquement cette gravure d'Escher, "Planaires".

dimanche 1 novembre 2009

de la topologie des super héros

La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). ( Wiki)
Le premier problème qui peut être relié à la topologie est le problème des 7 ponts de Koenigsberg, étudié en 1736 par la mathématicien suisse Léonard Euler.
Plus tard, en 1895, Henri Poincarré lance les premières bases de la topologie dans son ouvrage analysis situs et introduit la notion d'homologie qui nous intéresse ici.

Pour parler en grand vulgarisateur, on s'intéresse au nombre de trous dans les volumes. Par exemple, on différencie la boule ( pas de trous) du donut ( le tore) qui a un trou. On aura beau déformer continument la boule, sans arrachement, jamais on n'obtiendra de tore, et réciproquement.
Le topologue va malaxer, étirer, déformer à l'envi des volumes de caoutchouc afin d'obtenir des volumes topologiquement équivalents.

Une blague sur les topologues est qu'un topologue confond une tasse avec une anse et un donut .


Le meilleur professeur de topologie que l'on puisse rêver est le professeur Richards, chef des quatre fantastiques, aussi appelé mister Fantastic. Un brillant scientifique doublé d'une boule de caoutchouc continument déformable, c'est le rêve.

En recherchant les différentes manifestations du pouvoirs de Mister Fantastic par le king Jack Kirby, je prétends que Jolly Jack avait compris intuitivement la notion d'équivalence topologique. Exemples à l'appui.

On pourrait résumer le pouvoir de Red Richards en disant qu'il est topologiquement équivalent à une boule .

Donc, par déformation continue, Mister Fantastic peut se transformer en une boule.


Il n'a donc aucun trou, et ne peut donc pas être percé par des balles. En effet, au moindre trou, sa topologie deviendrait celle d'un donut.
Et si Red s'était fait percer une oreille avant d'obtenir ses pouvoirs, ses pouvoirs auraient sans doute été modifiés. Il aurait sans doute pu déformer et déplacer ce trou afin que les balles passent au travers de ce trou.


Donc, il dispose de deux statégies pour une attaque par balle. Retenir les balles en déformant continument son corps de manière à accompagner leur parcours ou se déformer de manière à les éviter ( dessin K Pollard)



La boule est topologiquement équivalente a un pavé rectangualaire ( toute personne qui a fait le la patisserie peut en témoigner) et aussi en sac ( non troué), ce qui peut s'avèrer pratique si on veut capturer Hulk par exemple.


Pour se tranformer en tore, Red doit recoller sa structure, en retenant une partie de son corps avec son bras.



Dans tous les épisodes des FF par Kirby de ma collection, j'ai pu constater qu'il respectait la déformation continue et l'équivalence à la boule. Sauf à ces quelques exceptions près, mais je crois qu'on peut les imputer aux encreurs, moins bons topologues.

Dans FF11, les deux bras semblent soudés au niveau du coude, ce qui le rendrait équivalent au tore. Il s'agit sans aucun doute d'une erreur d'encrage, ou alors il y avait une bulle à la place de l'erreur, cette erreur est trop grossière pour être voulue .



Dans FF14, Mister Fantastic se transforme en filet pour capturer Namor. L'encrage semble donner l'idée d'un volume avec de nombreux trous :


Heureusement, en gros plans, Kirby explique la façon d'obtenir ce filet tout en gardant la structure de boule. Ca semble mieux marcher. Encore faudrait-il étudier cette structure en filet à l'aide de la théorie des graphes pour en être sûr.


Même schéma dans FF17. Kirby semble percer de nombreux trous dans la structure de M. Fantastic . Mais il corrige l'idée dans l'image suivante nous dévoilant son truc et ne laisse plus de doute: c'est bien une erreur d'encrage .


Je ne pense pas que Jack Kirby ait tenu un livre de topologie dans ses mains, mais son intuition de la déformation d'une boule était parfaitement cohérente sur les 102 épisodes qu'il a dessinés.

Mais comme pour comprendre une notion, il peut être intéressant d'avoir des contre-exemples, on m'a signalé ces petits monstres multicolores qui ne connaissent pas la topologie .