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dimanche 16 octobre 2016

Suite de pliage

Voici une aide pour démarrer le pliage pour un devoir maison.


Et voici le devoir associé 
Sur une idée de Ruben Rodriguez.

dimanche 9 octobre 2016

QCM en classe

Depuis la rentrée, pour dynamiser un peu mes classes et faire se poser des bonnes questions à mes élèves, j'ai décidé de faire dans chacune des mes séances de deux heures de cours un QCM, souvent placé au milieu de la séance . Je me suis renseigné sur les méthodes qu'on peut employer, J'ai appris qu'il y avait des boitiers pour cela dans certains amphis, ou des applications sur téléphone. Chacun ayant un compte, on peut garder la trace des réponses et arriver à une note .Mon objectif étant plutôt de créer une réflexion, puis un débat en classe, et non d'évaluer, j'ai opté pour une solution plus simple. Et puis, la technologie, c'est bien quand ça marche . Je me méfie un peu des solutions compliquées ou coûteuses.
La question est projetée au tableau . Quatre réponses sont proposées, dont au moins un bonne, dans des rectangles de couleur bleue, verte, jaune ou rose . J'ai donné en première séance un post it de chacune des couleurs repositionnable . Au bout d'un certain temps que j'ai défini, les élèves levent le post it en même temps . En un coup d'oeil, on voit si la notion est comprise, et on explique les pièges s'ils sont tombés dedans . Les élèves aiment beaucoup ce rituel, et me le demandent si par hasard j'ai oublié ou si on n'est pas allés assez loin pour poser la bonne question .
Pour l'instant, ça me demande du temps d'imaginer les questions qui peuvent faire avancer le débat, mais j'engrange pour les années suivantes .
Les questions les plus efficaces pour le moment, avant d'aborder le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire :

QUESTION 1 ( 30 secondes ) :
f est continue sur [ -5 ; 5 ] ,
 f(-5) = - 3 , f(5) = 3 .
 Alors l'équation f(x) = 0  admet 

QUESTION 2 ( 30 secondes )
f est continue et strictement croissante sur[ -5 ; 5 ] .
 f(-5) = - 3 , f(5) = 3 .
 Alors l'équation f(x) = 0  admet 

QUESTION 3 (30 secondes)
f est strictement croissante sur[ -5 ; 5 ] .
 f(-5) = - 3 , f(5) = 3 .
 Alors l'équation f(x) = 0  admet 

Résultat, en cinq minutes ( débat et correction compris ),  le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire étaient prêts à l'emploi .

Je compte faire en fin de chapitre sur les suites un QCM en forme de vrai ou faux, avec élimination directe en cas de mauvaise réponse ( 20 secondes par question ). Sans doute les élèves qui auront trouvé toutes les bonnes réponses auront une note bonus .
QUESTION 1 : Une suite monotone et bornée converge .
QUESTION 2 : Une suite minorée et croissante converge.
QUESTION 3 : Une suite minorée est croissante.
QUESTION 4 : Une suite majorée et convergente est croissante
QUESTION 5  Une suite convergente est bornée.
QUESTION 6  Une suite croissante est minorée
QUESTION 7 : Une suite convergente est monotone .
QUESTION 8 : Une suite divergente n'est pas bornée .
Je crois que c'est une bonne idée d'avoir opté pour des post it repositionnables. Les élèves les recollent sur la première page de le cahier, voire sur le protège cahier, il sont toujours à disposition.
C'est amusant, quand le cours devient un peu pointu, et que certains élèves veulent passer à autre chose, je les vois ouvrir la première page en espérant ce moment un peu plus détendu.  






jeudi 12 mai 2016

François Morellet

François Morellet vient de mourir . Je ne sais rien de lui, mais je lui dois ma meilleure surprise quand j'ai visité Beaubourg . Son oeuvre est drôle et rigoureuse à la fois, empreinte de géométrie, un régal pour l'esprit . Je voulais lui rendre hommage .
8 trames 0° - 22°55 - 45° - 67°5 - 90° - 112°5 - 135° - 157°5, Une huile sur bois constituée de 8 familles de droites parallèles régulièrement disposées .Suivant la position d'om on regarde le tableau, on voit des fleurs, des rosaces de différentes tailles, qui vibrent .




Une belle façon de simuler le hasard, et pourtant vérifiable et reproductible avec le même annuaire. PAr ailleurs, cela peut faire l'objet d'un exercice d'algorithmique : programmer l'ordinateur (algobox? ) pour faire une image sur le même principe .

1 VARIABLES
2 i EST_DU_TYPE NOMBRE
3 j EST_DU_TYPE NOMBRE
4 numero EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 POUR i ALLANT_DE 1 A 200
7 DEBUT_POUR
8 POUR j ALLANT_DE 1 A 200
9 DEBUT_POUR
10 numero PREND_LA_VALEUR ALGOBOX_ALEA_ENT(0,9)
11 SI (numero%2==0) ALORS
12 DEBUT_SI
13 TRACER_POINT (i,j) {rouge}
14 FIN_SI
15 SINON
16 DEBUT_SINON
17 TRACER_POINT (i,j) {bleu}
18 FIN_SINON
19 FIN_POUR
20 FIN_POUR
21 FIN_ALGORITHME

(réglages dessiner dans un repère : xmin =0 , xmax =200 , y min = 0 , ymax = 200)


6 répartitions aléatoires de 4 carrés noirs et blancs d'après les chiffres pairs et impairs du nombre Pi, 1958 Ensemble de 6 éléments. 6 panneaux carrés Huile sur bois, 80x80 cm (dimension de chaque panneau)



 Je viens de m'inspirer de cette dernière installation pour proposer un exercice de seconde, dans la continuité de ce que je fais en ce moment sur les probabilités: Un tableau de François Morellet est composé de 4 carrés peints de façon aléatoire en blanc ou noir. Calculer les probabilités des événements suivants :
 A : " le tableau est monochrome."
 B : " Le tableau comporte un seul carré noir ."
 C:  " Le tableau dessine une bande noire ."

samedi 28 mars 2015

stella octangula

La stella octangula, nommée ainsi par Johannes Kepler, peut être vue comme l'intersection de deux tétraèdres réguliers,
ou encore comme un octaèdre étoilé, c'est à dire un octaèdre où on a posé sur chaque face un tétraèdre régulier.
Pour le construire, j'ai utilisé des baguettes de 20 cm découpées dans des tourillons, aux bouts desquelles j'ai vissé deux pitons à vis. L'attache se fait par des collerettes .

J'ai commencé par fabriquer l'octaèdre pour ne pas me perdre dans la construction : au bout du compte, sur chaque sommet, il n'y aura pas moins que  8 arêtes !
Puis j'ai posé les tétraèdres par dessus.

La construction comporte 12 + 8 * 4 = 36 baguettes.

La troisième partie de la construction consiste à faire passer au sommet de chaque tétraèdre une ficelle de manière à faire apparaître un cube .

A partir de là, on peut avoir une petite réflexion  sur les rapports de volumes de ces trois solides de Platon, et sur les pavages de l'espace.

On sait paver l'espace avec des cubes de même taille, tout le monde en a fait l'expérience depuis son plus jeune âge.
Imaginons que l'on pose plusieurs cubes de cette sorte de manière à paver l'espace.
Oublions alors les cubes en ficelles, on a alors construit une structure composée de tétraèdres et d'octaèdres, chaque quart d'octaèdre se complétant avec ceux qui sont dans les cubes voisins.
La structure composée d'octaèdres et de tétraèdres pave donc l'espace.

On a vu dans une précédente activité que le volume de l'octaèdre  est égal à quatre fis celui du tétraèdre régulier de même longueur d'arête.
Le cube que nous avons formé a une longueur de côté égale à \sqrt 2 fois celle du côté de l'octaèdre . Le volume du cube que nous obtenons est donc \( \sqrt{2})^3 = 2 \sqrt 2 fois plus grande que celle du carré de même longueur d'arête . On garde ce fait sous le coude et on continue l'exploration: Le cube est composé d'un octaèdre entier, de 8 tétraèdres et de 12 quarts d'octaèdres, dont une diagonale est figurée par les arêtes des cubes. On peut compléter les octaèdres si avec quelques baguettes supplémentaires .
Faisons les comptes , le volume du grand cube est donc celui de 4 octaèdres et de 8 tétraèdres, ce qui équivaut au volume de 6 octaèdres ou encore de 24 tétraèdres. Le volume d'un cube de la même arête est donc \frac{6}{2 \sqrt2 } = \frac{3 \sqrt 2} {2} fois plus grand que celui de l'octaèdre . On trouve donc les formules :
Pour l'octaèdre régulier d'arête a: V = \frac{\sqrt 2}{3} a^3
Pour le tétraèdre régulier d'arête a : V = \frac{\sqrt 2}{12} a^3
On peut aussi faire le rapport du volume de la stella octangula sur celui du cube : ainsi, le volume de l'étoile est celui du cube ôté des 12 quarts d'octaèdre. On a vu que le volume du cube est celui de 6 octaèdres. Donc la volume de l'étoile est de 3 octaèdres, soit la moitié du volume du cube qui la contient. Encore une fois, la perception du volume n'est pas évidente, je n'aurait pas parié sur ce rapport avant le calcul. Si on veut dessiner la stella octangula avec un logiciel de géométrie dans l'espace, il suffit de commencer en donnant les coordonnées des sommets, qui sont aussi ceux du cube.

lundi 23 mars 2015

Happening pendant la semaine des maths

Au lycée, pendant la semaine des maths, j'ai affiché quelques énigmes sur l'icosaèdre tronqué que j'ai monté dans le préau. Les élèves pouvaient accrocher leur réponses.


Il y avait une affiche qui expliquait comment construire des tétraèdres par pliage. Le but du jeu était d'en construire un maximum et de les empiler pour obtenir un tétraèdre de Sierpinki. J'ai beaucoup invité les élèves qui étaient sous le préau à en construire. Au final, vendredi midi, nous avions fabriqué 256 pièces avec des feuilles A5 et les avons empilé  pour obtenir une pyramide de 1.33 mètres environ. Voici les dernières photos avant destruction.


dimanche 15 mars 2015

pi day sur la plage du D day

Avec un jour de retard, comme souvent quand je fête les anniversaires, je voulais célébrer le pi day d'un manière ludique en essayant de quarrer le cercle.
Sur la plage d'Asnelles, je vais tracer de manière approximative un carré de même aire qu'un disque donné.
Dans mes bagages, une tige, une ficelle , un rateau, des coquilles de moules ramassées sur place .
Cette méthode n'est pas du tout acceptable par les grecs qui refusaient l'usage des coquilles de moule et de tout autre instrument que le compas et la règle pour résoudre ce problème . De plus, j'utilise une méthode expérimentale ,avec tous les défauts de mesure que cela peut engendrer . Mais c'est toujours jouissif de faire de la géométrie sur la plage .

La construction peut se résumer ainsi :
report de la longueur de Pi sur une droite ( opération interdite par les grecs)
construction géométrique de la racine carrée
construction du carré.

Je décris la méthode sur ce fichier geogebra .
https://tube.geogebra.org/student/m843075

dans un premier temps, je choisis une unité et je trace un cercle de centre A de rayon 1 unité.

Le but du jeu sera donc de tracer un carré de la même aire que ce disque . Je l'ai ratissé parce que ça fait plus joli, je crois.


Voila l'opération que le grecs auraient bannie . Je clôture le disque à l'aide de coquilles de moules trouvées sur place .

Je  trace un diamètre avec la tige [BC] .


En posant la ficelle le long de la muraille de moules pour obtenir une demie circonférence, une valeur expérimentale de pi ;

Je reporte cette longueur .

ainsi que le diamètre du cercle. L'intersection de (BC) avec cet arc de cercle est le point D .


Je veux maintenant tracer le cercle de diamètre [AD] , pour cela , j'obtiens le milieu du segment en traçant la médiatrice.




Il reste à tracer la droite perpendiculaire au diamètre passant par B . Pour cela j'ai tracé le symétrique de C par rapport à B, puis la médiatrice de [CC'].



Cette droite coupe le cercle en deux points M et N . Par construction, la longueur BM est égale à la racine carrée de pi. Il reste juste à terminer le carré de côté [BM] .







Le carré a la même aire que le disque .

Ce fut intéressant de dessiner sur la plage, même s j'avoue que c'est un peu gratuit parce que je n'avais pas d'élèves , c'était samedi. J'imagine qu'on peut essayer de faire faire des constructions sur une plage, mais après avoir pas mal anticipé, en travaillant sur la figure à la règle et au compas, et sur la transposition de la méthode de construction avec d'autres outils, dans un univers plus grand que celui de la feuille .

J'ajoute que sur les plages normandes, le 14 mars, on se gèle .
Comme Archimède avait trouvé qu'une valeur fractionnaire approchée de pi était 22/7, et que ça, ça correspond à une date française, je propose qu'on fasse un jour de pi le 22 juillet . Bon, il n'y aura pas d'élèves, mais on sera mieux sur la plage .

Merci à mon fils François pour m'avoir suivi et pour avoir pris les photos ...