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jeudi 22 janvier 2015

Un ancètre des mathématiques dynamiques

En regardant les premiers essais de dessins animé sur une chaîne youtube , je suis tombé par hasard sur une pépite fascinante datant de 1911 ou 1912. Elle est l'oeuvre d'un professeur allemand, Ludwig Münch, dont je n'ai pas trouvé d'autres traces par ailleurs . Il a réalisé de nombreux dessins animés didactiques, des folioscopes  (flip-books ) montrant des propriétés géométriques, des démonstrations, ainsi que des recherches de lieux géométriques qui n'ont rien à envier à une animation sur geogebra, même si son travail a sans doute demandé beaucoup plus de travail de construction que quelques clics . Je trouve son intuition des mathématiques dynamiques très novatrice, pour une époque où le dessin animé n'était pas forcément très répandu. Je vous mets  en lien le film que j'ai trouvé sur le net .


lundi 19 janvier 2015

Somme des angles d'un triangle .

Je complète ce blog avec des idées que j'avais eues il y a longtemps, mais que je n'ai jamais complétées parce que je n'enseigne plus en collège . J'ai demandé à mon fils en cinquième d'expérimenter l'objet .
1) Préparation : Dans une boîte à chaussures (pratique car suffisamment épais pour avoir des pièces de puzzle et deux faces de couleurs différentes ) , dessiner des triangles scalènes isométriques .
Découper proprement les pièces .

2) Face blanche visible , faire manipuler une petite dizaine de pièces . Quelle remarque peut-on faire ?
-Les triangles sont superposables .
-Très bien, ce qui veut dire qu'il y a des égalités pour quoi ?
-Pour les longueurs, pour les angles .
-Très bien, peux tu coder les angles égaux par des couleurs ?

Un triangle avait déjà été codé avec trois couleurs données.
Avant de coder les angles, on superpose bien les triangles pour voir s'il sont bien positionnés et ne pas se tromper de sommets . J'avais d'ailleurs dans le jeu laissé un triangle qui n'était pas isométrique . Après une brève discussion, il a été enlevé du jeu .



Une fois que les pièces ont été codées , le jeu est retourné . La consigne est d'obtenir un hexagone .
Ca ne vient pas tout de suite, mais on peut voir après deux trois essais-erreurs qu'il est nécessaire de poser côte à côte des côtés de même longueur .
Deux essais ont été nécessaires avant de trouver, mais on peut remarquer qu'on essaie de tourner autour d'un centre .

Une fois la solution trouvée, on pose un papier dessus puis on retourne la feuille .

video
On peut alors faire une petite discussion sur les angles , opposés par le sommet, alterne-internes, correspondants ...
La question suivante : couper cet hexagone en deux en enlevant trois triangles, que remarque-t-on ?
Ca fait un angle plat . les trois angles du triangle font un angle plat.

video

J'aime bien l'idée du puzzle à double face . Il est nécessaire d'avoir des faces différentes pour que la solution du puzzle soit plus facile à trouver ( si les pièces ne sont pas dans le même sens, on ne trouve pas ) . De plus, en retournant l'objet, on voit les propriétés mathématiques .
On peut  alors demander de reproduire les trois triangles à la règle et au compas .






samedi 17 janvier 2015

Visualisation du cosinus et du sinus .

Voila un certain temps que je n'ai pas posté quelque chose d'intéressant sur ce blog. Pour en avoir envie, il faut en premier lieu que je sente que les articles que je vais écrire soient suffisamment intéressants et assez étayés . Je vais co-animer dans quelques semaines un stage qui se nomme " toucher les maths"; et j'avais envie de revenir à mes fondamentaux, c'est à dire l'envie de partager et réfléchir sur ces bricolages pédagogiques, envie de retrouver l'envie d'en refaire .

 Je vais présenter aujourd'hui trois bricolages qui permettent de visualiser le cosinus et le sinus d'un angle . Tous trois utilisent plus ou moins explicitement le cercle de rayon 1, chacun d'eux doit permettre de visualiser les angles . L'objectif est d'établir un lien entre deux grandeurs : la mesure de l'angle et le cosinus de l'angle ; ou entre la mesure de l'angle et le sinus de cet angle . Le premier bricolage, que j'ai déjà présenté, peut être utilisé en 4ème, pour présenter le cosinus d'un angle aigu . Il consiste en un bras articulé autour d'un axe , de longueur une unité , au bout duquel on attache un fil à plomb.
En tenant l'objet verticalement, le fil à plomb permet de visualiser le projeté orthogonal du point sur le côté adjacent . cos ( alpha) = côté adjacent / hypoténuse = côté adjacent / 1 = côté adjacent . On remarque que le quart de cercle n'est pas tracé, la question en quatrième est surtout l'étude des triangles rectangles . Cela dit, au bout de quelques année d'utilisation , le cercle se dessine avec l'usure de l'objet.


Le deuxième objet que j'utilise dès la seconde pour présenter les angles orientés, est une extension du précédent objet à tout le cercle trigonométrique . Ici, le cercle est tracé explicitement, les angles sont placés en radians, sur les points du cercle pour rappeler l'enroulement de la droite autour du cercle . On peut marquer aussi les angles en dizaines de degré, sans les écrire, pour faire réfléchir sur les conversions .

 Au bout du bras articulé, sur le même principe , un fil à plomb, qui va permettre de projeter orthogonalement sur l'axe des cosinus .
(prévoir de la laine de couleur plutôt que du fil de pêche)

On se retrouve avec deux problèmes : 1) si l'angle orienté est compris entre pi et 2pi, le fil à plomb ne va pas couper l'axe . Avec un peu d'entrainement, en accrochant la planche autour du cou , on peut synchroniser la rotation de l'axe et la droite verticale . 2) pour le sinus, il est difficile d'obtenir une droite horizontale, j'ai quelques astuces mais elles sont peu probantes : on fixe une tige mobile autour du clou, parfaitement équilibrée, tarée de chaque côté d'un même poids de quelques centaines de grammes . La tige arrive à un équilibre vertical, certes, mais ça tangue . Le mieux est de synchroniser le mouvement du bras et du fil pour avoir un fil horizontal .


Bon, on peut me dire, j'ai l'animation sur géogébra, pourquoi se casser les pieds avec ces manipulations parfois saugrenues ? Je trouve que la manipulation de l'objet peut donner des séquences très vivantes, très parlantes et assez mémorables pour les élèves.
Les moments où on tient l'objet devant soi, pour présenter les notions, ou, plus tard, pour interroger un élève sur les valeurs remarquables ou les variations sont des moments assez forts où on fait corps avec les notions, c'est indéfinissable .

Cet objet est particulièrement intéressant pour aborder les mesures principales, le signe d'un cosinus et d'un sinus et surtout les variations de ces deux fonctions , assez intéressant pour résoudre des équations trigonométriques .Il peut être sorti à tout moment où on peut poser ce genre de questions et peut devenir un objet de référence accroché sur un mur . C'est un objet complémentaire à celui proposé par une animation geogebra.


 Pour le dernier objet, j'ai repris l'idée de Gérald Giangrande, un collègue animateur de l'irem de Caen très inventif, qui aime fabriquer des objets mathématiques , très beaux, beaucoup plus fignolés que les miens , pour le plaisir de l'idée, mais qui n'utilise ces objets que rarement en cours . Son idée est d'utiliser le cercle de diamètre 1, tournant autour de l'axe .
Cet objet utilise le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle : Le point H appartient au cercle de diamètre[OM], donc le triangle OMH est rectangle en H . Comme H appartient à l'axe des abscisses, le point H est le projeté orthogonal de M sur L'axe des abscisses . On peut donc lire le cosinus de l'angle IOM . Cet objet est un théorème en action, qui permet une lecture de mesures .

Pour fabriquer l'objet, j'ai utilisé le même principe que pour le bricolage pour le cercle circonscrit , c'est à dire trois couches de cartons superposés permettant à un point mobile ( en fait un bouton de jean surmonté d'un piton à vis ) de circuler sur un rail .


Autour du centre du cercle en carton, une plaque de plexiglas( ? , un truc récupéré sur un vieux cadre en tout cas ) va tourner à l'aide d'une vis, d'une rondelle et d'un boulon) .

J'aime particulièrement l'idée de l'objet, même si je trouve la lecture du sens de variation des fonctions beaucoup moins intuitive, il y a un obstacle , il faut ne pas oublier qu'on visualise l'intersection d'un cercle et d'une droite, il faut se dire sans cesse qu'on a le projeté orthogonal, puis qu'on obtient le cosinus et le sinus . Cela fait beaucoup d'opérations mentales.




Cela dit, c'est peut être ce qui fait que cet objet est si intéressant, il est intrigant, il ne se laisse dévoiler qu'après une certaine réflexion, quand on comprend ce que ça veut dire, on est très content, un ahah mathématique comme dirait Martin Gardner, ça chatouille comme une oeuvre d'art.

Je pense que mon collègue aura trouvé une méthode plus élégante et fabriqué un objet plus beau, un objet d'art .
J'aime assez l'idée qu'on puisse  fabriquer des objets intéressants avec des bouts de carton.