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mercredi 1 février 2012

pantographes

J'ai trouvé dans des brocantes deux pantographes, vendus comme jouets .
Le premier, non réglable, permet des faire des agrandissements de rapport 2, 1/2 , ou de tracer le symétrique par rapport à un point .
Le second , réglable permet de faire des homothéties de rapport positifs ou négatifs, dont on peut choisir le rapport parmi certaines valeurs .
Il est assez facile d'en fabriquer un avec des barres de meccano, une fois qu'on a réglé le problème technique du crayon .

Ce qui me semble intéressant dans ces objets, c'est qu'ils posent des questions qui peuvent être résolues à différents niveaux . Ils permettent aussi d'avoir un application pratique .
Dans certains cas, même, il me semble qu'ils éclaircissent certaines techniques, devenant dans l'esprit de certains élèves, une figure-clé .

L'instant où je manipule cet objet devant ma classe est l'un de mes préférés de l'année. Je fais un petit dessin au tableau , puis en étant extrèmement concentré sur cet objet, je dessine sans regarder ma main, repassant avec le pointeur le dessin d'origine . Le résultat est un agrandissement de rapport k de mon dessin d'origine, devant l'étonnement de mes élèves .

A ce moment, je présente l'objet, le pantographe, on débat de ses principales caractéristiques , on fait une figure codée de l'objet et je pose deux questions :
1) Démontrer que les points A, B et C sont alignés et que AC = k AB .
2) Si l'on trace l'image de deux points donnés M et N , montrer qu'on obtient deux points M' et N' tels que ( MN )// ( M'N') et M'N' = k MN
.

D'un autre côté, d'un point de vue technique, on peut aussi se poser une troisième question, qui porte sur le rayon d'action de l'objet :
3) Pour quels points peut-on construire les images avec cet objet ?

Niveau quatrièmes



Le premier objet peut faire l'objet d'un bon exercice en 4eme . Etonnament, c'est une démonstration assez compliquée . Mais peut être que j'ai loupé quelque chose qui simplifie le problème.


prérequis :! parallélogrammes, théorème des milieux .
1) Montrer que B est le milieu de [AC ]
Par construction ( on peut le vérifier en manipulant l'objet ), on a : AE = ED = EF = FC = FB = BE ; De plus, E est le milieu de [DA ] et F est le milieu de [DC ] ;
on peut alors construire une figure codée .
a) DF = EB et ED = FB .
Un quadrilatère qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme
donc EDFB est un parallélogramme .
b) EDFB est un parallélogramme
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles .
donc (ED) // ( BF) et ( EB) // ( DF )
c) Dans le triangle DAC , F est le milieu de [DC] et la droite ( FB) est parallèle à la droite ( DA)
2ème théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu .
Donc cette droite ( DB) passe par le milieu de [AC]
Ici, on ne prouve pas encore que B est le milieu de [AC ]
d) Dans le triangle DAC , E est le milieu de [DA] et la droite ( EB) est parallèle à la droite ( DC)
2ème théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu .
Donc cette droite ( EB) passe par le milieu de [AC]
d) Les droites ( EB) et ( FB) passent par le milieu de [AC] et ne sont pas parallèles, donc B est le milieu de [AC]
2) Par construction, M est le milieu de [AM' ] et N est le milieu de [AN] .
1er théorème de la droite des milieux : le segment qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié du troisième côté .
Donc (MN) // (M'N') et MN = 1/2 M'N'
3)Le lieu géométrique du point B est le disque de centre A et de rayon AD .
démonstration :
Par inégalité triangulaire, AB <= AE + EB = 2 AE = AD . Donc B appartient au disque de centre A et de rayon AD . Réciproquement, si B appartient au cercle de centre A et de rayon AD, alors le cercle de centre B et de rayon 1/2 AD et le cercle de centre A et de rayon 1/2 AD se coupent en deux points ( ou 1 point si A,E et B sont alignés ) . Donc le point B peut être atteint avec cet objet .
Le pantographe à symétrie centrale

En échangeant le point fixe avec le point témoin, on obtient un objet qui dessine le symétrique du dessin par symétrie centrale .

Démonstration : On a prouvé que B est le milieu de [AC] donc C est le symétrique du point A par la symétrie de centre B .

Autre réglage: en échangeant le témoin mobile et le crayon traceur, on obtient une réduction de rapport 1/2




Pantographe par homothétie .


On peut cette fois ci régler le coefficient . Les coefficients choisis pour ce jouet sont 1.5 , 2, 2.5 , 3, 3.5, 4, 5, 6, 8 et 10 .
En échangeant les rôles des points A, B et C, on peut doc obtenir des homothéties avec ces rapports , mais aussi les inverses de ces rapports, ou encore des homothéties de rapports k/(1-k), comme nous le verrons tout à l'heure .

Niveau troisième


Par construction, D, E ,A sont alignés , D, F , C sont alignés dans cet ordre. AD = k AE , DC = k DE . EB = DF et ED = BF
Prérequis : Parallélogramme ,Théorème de Thalès, réciproque du théorème de Thalès .

Le raisonnement est assez analogue au précédent .

Niveau seconde

Prérequis : multiplication d'un vecteur par un nombre, vecteurs colinéaires .
1) Par construction,
En utilisant la relation de Chasles


Une ligne de calcul pour ce qui avait été bien plus pénible auparavant ;
Il me semble de plus que ce calcul est le grand classique du calcul vectoriel, mis à portée de la main . C'est un objet qui illustre à merveille la technique et les concepts mis en jeu . Pour un élève, la grande difficulté avec le calcul vectoriel est de trouver un bon chemin dans le calcul pour exprimer un vecteur en fonction d'un autre . La structure de cet objet où les deux directions à prendre sont visibles, au contraire du vecteur à exprimer, permet d'avoir les données du problème sans élément parasitant le calcul . A mon avis, c'est une figure clef pour la compréhension de ce genre de problème où il faut exprimer un vecteur en fonction d'un autre .



2) On a placé M et M', ainsi que N et N' .
On a prouvé que

On a donc
Ce qui prouve que (MM') // (NN') et NN' = k NN' .

Construire son pantographe .

Je me suis mis en tête de construire mon propre pantographe, avec des barres de meccano .
Les principaux problèmes sont le point fixe, le crayon témoin et le crayon traceur .
Pour le point fixe, j'ai utilisé un embout ventouse de fléchettes de pistolet pour enfants .


Pour les crayons, j'ai opté pour le stylo bic classique, même si je déplore un peu trop de jeu . L'un des deux stylos ne fonctionne plus , ce sera le crayon témoin.


Les résultats sont assez satisfaisants dans l'idée, un peu moins dans la pratique, mais pas si mal, on va dire .
Le principal avantage de ce procédé est le choix des coefficients pour les homothéties .
Pour un résultat correct au tracé, ne pas chercher de coefficients trop grands ou trop proches de 1 , mais a priori , on peut considérer que
On peut alors se poser la question du nombre de rapports possibles, en recherchant les fractions égales par exemple .
Suivant la position relative des points fixes, du témoin et du traceur, on obtient des homothéties de rapport a/b , b/a , a/(a-b) ou encore (a-b)/a .