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mardi 29 septembre 2009

Un problème sur la tapisserie de Bayeux

Professeur dans un lycée de Bayeux, suite à des discussions avec des collègues sur des problèmes de mathématiques concernant le patrimoine local, je me suis mis en quête de monuments de la ville pouvant succiter des questionnements mathématiques.
J'ai arpenté la ville, et, mis à part une courbe du midi sur la façade de l'hotel du cadran,
et un tétraèdre issu des plages du Débarquement (le même que ceux-ci)

, je n'ai pas trouvé grand chose.
Et puis, j'ai pensé à un roman que j'ai lu il y a deux ans, "Intrigue à l'anglaise" d'Adrien Goetz, qui se déroule à Bayeux autour de sa broderie et dans lequel l'un des héros s'amuse avec une reproduction de la tapisserie de Bayeux, en l'enroulant autour d'un cylindre. Une théorie amusante, qui peut faire penser aux colonnes de Trajan ou à des colonnes du XIeme siècle retrouvées en Allemagne et retraçant des scènes de la vie du Christ . Une idée astucieuse et séduisante, à prendre comme elle est. En tout cas, cela pose des questions mathématiques intéressantes.
J'ai écrit à l'auteur du roman qui était ravi et qui m'a donnée les références d'un livre avec une reproduction de la tapisserie très pratique pour faire une maquette.
A l'aide d'extraits du roman, j'ai créé ce devoir en temps libre et cette maquette.




Sur cette maquette, avec les alignements évoqués dans le roman, on peut retrouver le diamètre de cette colonne hypothétique et on trouve des coincidences amusantes.
Presque sur le même verticale, le serment d'Harold , puis, au dessus le doigt de Dieu qui viendrait attester ce serment, puis encore au dessus, la comète, sorte de message divin.

Je n'ai pas encore donné le devoir, j'espère que cette vision amusante de notre trésor local les motivera davantage, et que le côté "lecture d'un extrait de roman à l'aide des maths" séduira les élèves et leur offrira des ouvertures. Une discussion avec un élève de 1S qui se dit plus littéraire que matheux m'invite à croire que c'est une piste intéressante .
Le regret que j'ai, c'est qu'il n'existe pas ou plus de colonne pouvant coller avec les résultats trouvés. J'aurais tant aimé faire une sortie à la cathédrale de Bayeux avec tous mes élèves armés de mètres de couturières pour mesurer le tour des cylindres, mais aucun pilier n'est cylindrique.
Ni dans l'abbaye aux dames, ni dans l'abbaye aux hommes, d'ailleurs.

samedi 12 septembre 2009

Planche de Galton (seconde, première)

Cette année, je suis nommé en lycée, et mon projet de faire des bricolages pour le programme de collège se trouve modifié. Réaliser des outils visuels et tactiles pour l'enseignement des maths en lycée me semble un peu plus ardu, et limite hors sujet, le programme allant vers davantage d'abstraction. Toutefois, pour certaines leçons, comme la géométrie dans l'espace, cette approche peut être intéressante. J'avais réalisé cet objet il y a quelques années, mais comme j'en aurai certainement besoin cette année, je l'ai récupéré ( Merci Jacques). Une planche de Galton, du nom de son inventeur, Sir Francis Galton . Deux barres amovibles en haut et en bas pour libérer les billes. J'ai utilisé des vis à tête hexagonales, afin d'avoir une probabilité 1/2 pour chaque côté. Les résultats sont corrects, j'ai voulu utiliser des obstacles à section circulaire pour fabriquer une autre planche( des tourillons en bois ), mais les résultats sont très décevants ( les billes vont très souvent sur les côtés). Avec les vis, une fois la planche posée sur un endroit équilibré, nous avons des résultats plutôt corrects. C'est le premier objet que j'avais bricolé, le gros défaut qu'il a , c'est que le matériel m'a coûté assez cher, notamment les vis de 21 ( aux alentours de 25€, si je me souviens bien)
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Avec les nouveaux programmes de seconde, une place intéressante est donné à l'algorithmique, et je me suis replongé avec délice dans la programmation de petits programmes. J'ai utilisé le logiciel scratch pour l'écrire, parce que les nouveaux programmes de seconde nous proposent de découvrir ce logiciel. Je me suis amusé à effectuer une simulation de cette planche de Galton. L'un des aspects sympathiques de Scratch, c'est la possibilité de partager nos programmes aux autres internautes, qui peuvent les télécharger et les utiliser et modifier s'ils le désirent . Voici ma simulation ( prendre une valeur inférieure à 150, SVP) Activité se rapportant à la planche de Galton : Après un lancer d'une soixantaine de billes, établir un tableau des fréquences pour chaque colonne. Comment expliquer cette courbe en cloche? Lancer de billes : où la bille va-t-elle tomber? Pourquoi la bille tombe-t-elle plus souvent dans la colonne centrale? Propriété: la probabilité pour la bille de tomber dans une colonne est proportionnelle au nombre de chemins qui mènent à cette colonne. Il faut donc compter, pour chaque colonne le nombre de chemins qui y mènent. Notation d'un chemin : A chaque obstacle, la bille va soit à gauche, soit à droite. En notant G et D le fait d'aller à gauche ou à droite pour chaque obstacle, dessiner le chemin GGDDGGGD. Où la bille tombe-t-elle après ce chemin? Donner un autre chemin qui mène à la même colonne. Combien y a-t-il de chemin qui mènent dans la colonne la plus à droite? Quel est son codage? En étudiant le nombre de possibilités à chaque obstacle 1) sur les bords 2) sur un obstacle non situé sur les bords, on arrive à se rendre compte qu'on peut obtenir de proche en proche le nombre de chemins qui mènent à chaque étape. On obtient le triangle de Pascal, connu des chinois dès le 14eme siecle