Un plan de la côte normande, que j'ai plastifié .
Voici l'énoncé : Un bateau navigue sur la Manche par une nuit nuageuse . Le GPS tombe en panne . Le capitaine aperçoit au loin les lumières des phares de Port en Bessin, de Courseulles et de Ouistreham . Il mesure les angles azimutaux entre ces différents phares .
Entre Port en Bessin et Courseulles, il trouve un angle de + pi/6 .
Entre Courseulles et Ouistreham, il trouve un angle de + pi/4
Où se trouve le bateau ?
Derrière la feuille plastifiée, j'ai placé trois punaises aux positions des trois phares . On dispose de plus d'un feutre effaçable et de deux équerres ( une équerre à 30°,60°, 90° et une équerre à 45° )
Je noterai B le bateau, P Port en Bessin, C Courseulles et O Ouistreham
Phase d'exploration : En faisant les côtés de l'équerre autour de deux punaises, on peut déterminer la position des points qui vérifie (BC, BO) = pi/ 4 . On obtient un bel arc de cercle . De même pour le deuxième angle . Le bateau est à l'intersection des deux arcs de cercle qui n'est pas C .
On admet ensuite le théorème de l'arc capable :
Théorème — Soient A et B deux points du plan et
un réel donné tel que
. L'ensemble des points M du plan différents de A et B tels que
est un arc de cercle
ouvert ( c'est-à-dire dont les extrémités A et B sont exclues).
![\alpha](http://upload.wikimedia.org/math/b/c/c/bccfc7022dfb945174d9bcebad2297bb.png)
![0 < \alpha < {\pi}](http://upload.wikimedia.org/math/c/7/2/c729b34e6abcb345da602659efaf9485.png)
![\scriptstyle \widehat{AMB} \, = \, \alpha](http://upload.wikimedia.org/math/0/e/9/0e963a7c113fecd93c59b55ecd3a3439.png)
![\underset{AB}{\frown}](http://upload.wikimedia.org/math/0/2/0/020f5312e897c8561670f2d0305817f8.png)
On peut justifier ce théorème à l'aide du théorème de l'angle inscrit.
La construction à la règle, au compas et au rapporteur ( ou bien avec geogebra ) de ces arcs de cercle demande une petite réflexion . J'ai utilisé la médiatrice et le théorème de l'angle au centre pour trouver le centre des arcs de cercle,
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