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mardi 3 février 2015

arc capable

Un exercice peut être hors programme, mais intéressant dans la manipulation, et qui peut amener d'intéressantes méthodes de construction une fois qu'on a admis le résultat.
Un plan de la côte normande, que j'ai plastifié .

Voici l'énoncé : Un bateau navigue sur la Manche par une nuit nuageuse . Le GPS tombe en panne . Le capitaine aperçoit au loin les lumières des phares de Port en Bessin, de Courseulles et de Ouistreham . Il mesure les angles azimutaux entre ces différents phares .
Entre Port en Bessin et Courseulles, il trouve un angle  de + pi/6 .
Entre Courseulles et Ouistreham, il trouve un angle de + pi/4
Où se trouve le bateau ?
Derrière la feuille plastifiée, j'ai placé trois punaises aux positions des trois phares . On dispose de plus d'un feutre effaçable et de deux équerres ( une équerre à 30°,60°, 90° et une équerre à 45° )

Je noterai B le bateau, P Port en Bessin, C Courseulles et O Ouistreham
Phase d'exploration  : En faisant les côtés de l'équerre autour de deux punaises, on peut déterminer la position des points qui vérifie (BC, BO) = pi/ 4 . On obtient un bel arc de cercle . De même pour le deuxième angle . Le bateau est à l'intersection des deux arcs de cercle qui n'est pas C .
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On admet ensuite le théorème de l'arc capable :

Théorème —  Soient A et B deux points du plan et \alpha un réel donné tel que  0 < \alpha  < {\pi}. L'ensemble des points M du plan différents de A et B tels que \scriptstyle \widehat{AMB} \, = \, \alpha  est un arc de cercle  \underset{AB}{\frown} ouvert ( c'est-à-dire dont les extrémités A et B sont exclues).

On peut justifier ce théorème à l'aide du théorème de l'angle inscrit.
La construction à la règle, au compas et au rapporteur ( ou bien avec geogebra  ) de ces arcs de cercle demande une petite réflexion . J'ai utilisé la médiatrice et le théorème de l'angle au centre pour trouver le centre des arcs de cercle, 

EDIT : Lors du stage de jeudi, une collègue a immédiatement juxtaposé les deux équerres dans la bonne position, j'ai trouvé ça brillant . Même si ça annihile toutes les considérations sur la nécessité de la construction des arcs de cercles.
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