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samedi 11 décembre 2010

activité sur les trisectrices

Depuis le temps que ce blog est en sommeil, j'ai expérimenté d'autres objets .
Cette idée d'activité m' a été soufflée par Danielle Salles, du groupe géométrie de l'IREM de Basse Normandie : Les machines à trisecter les angles .

Partager un angle en deux angles égaux est possible à la règle et au compas, tous les élèves se souviennent de la bissectrice . Couper un angle en 4 ou en 8 n'est pas beaucoup plus compliqué et demande juste de la précision . Mais couper un angle quelconque en trois angles égaux n'est pas possible en se servant uniquement de la règle et du compas . C'est un problème ancien, aussi connu que la construction à la règle et au compas de la quadrature du cercle et la duplication du cube .
Par contre, d'autres solutions techniques, utilisant d'autres outils donnent des solutions de ce problème .
Après cette introdution historique, je propose à mes élèves de se mettre en groupe de 3 et d'utiliser les outils suivants, à l'aide du mode d'emploi, afin de comprendre leur fonctionnement. Avant la fin de l'heure, les élèves doivent tourner sur tous les ateliers, fabriquer l'angle trisecté dans chaque cas, et faire valider par le professeur la bonne utilisation de l'objet , puis choisir deux de ces objets et ébaucher une figure géométrique pour illustrer l'objet . L'étude de ces figures est remis à la séance de module suivante, après que l'on ait débattu sur ce que doit avoir une figure mathématique, pour servir de base efficace pour une démonstration .

les objets à trisecter sont :
Le tomahawk ( ou le trisecteur de Bergery )
fabrication : une planchette découpée à la scie sauteuse
La boîte à camembert :
fabrication: une tringle à rideaux, une vis qu s'insère dans cette rainure .
La figure géométrique est presque visible, mais je ne pense pas pouvoir la cacher .
Le té :


Il est à noter que ces trois premiers outils se ramènent exactement à la même figure géométrique et au même raisonnement . Sur les deux outils que l'élève doit étudier, il devra en étudier obligatoirement un parmi ces trois, et choisir le second parmi les trois suivants, qui amènent à des démonstrations tout à fait différentes .

Le double bisecteur :
Des barres de plastique et des attaches parisiennes . On peut opérer une fente sur les barres des trisecteurs, mais on peut aussi se débrouiller en superposant deux bisecteurs .


Inspiré du trisecteur de MacLaurin trouvé sur le site de Geogebra
Fabrication: barres de mecanno et élastiques .

Avec des barres de mécanno :
fabrication: deux tasseaux tournent autour d'une rainure . L'angle formé à la fin par ces deux tasseaux est le tiers d'un angle matérialisé par le triangle construit à l'aide des barres de mécanno .

il existe aussi une méthode de trisection utilisant des pliages, je ne l'ai pas mentionnée, car elle fait un peu redite avec les premières trisectrices .


Les modes d'emploi sont sur ce fichier PDF

Après avoir débattu de la figure mathématique, de ce qu'elle doit comporter ( nom de points, égalité de longueur, angles droits ), les élèves devaient rendre la démonstration du fonctionnement de deux d'entre elles  ( une des 3 premières et une des trois dernières ) .
Les résultats étaient un peu décevants, même s'il y eut des idées très intéressantes d'appropriation du problème . Au vu de certaines erreurs, je me suis aperçu que le fait d'avoir juste la photo ne suffisait pas toujours à faire la figure . Aussi si je recommence cette activité très riche, je laisserai ces objets à la disposition de mes élèves au fond de ma salle, afin qu'ils puissent le manipuler de nouveau s'ils en sentent le besoin et vérifient certaines propriétés qu'ils auraient entrevues .

Quelques extraits de copie :
Des pliages pour représenter les transformations des triangles dans le té :

le passage du dessin à la figure en trois étapes :
Juste un dessin, pas au moment où c'est intéressant :


Au final, ce travail a amené les élèves à réfléchir et à passer, comme le dirait Ruben Rodriguez, d'un passage d'un univers expérimentable des machines à un univers formalisé des figures, puis à un univers des idées et des démonstrations .

Un exemple :

Univers expérimentable de la machine : entre les deux vis E et D, il y a le même nombre de trous qu'entre les deux vis D et C .

Univers formalisé de la figure mathématique :
Univers de la démonstation :
ED = DC donc le triangle EDC est isocèle en D .


Même s'il fut enrichissant, et même si le bagage nécessaire est du niveau de quatrième, ce ne fut pas un exercice facile pour les élèves, car il demande beaucoup de recul, d'autant plus difficile, comme le dit l'une de mes très bonnes élèves, qu'il n'y avait pas la solution sur Internet .








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