stella octangula

La stella octangula, nommée ainsi par Johannes Kepler, peut être vue comme l'intersection de deux tétraèdres réguliers,
ou encore comme un octaèdre étoilé, c'est à dire un octaèdre où on a posé sur chaque face un tétraèdre régulier.
Pour le construire, j'ai utilisé des baguettes de 20 cm découpées dans des tourillons, aux bouts desquelles j'ai vissé deux pitons à vis. L'attache se fait par des collerettes .

J'ai commencé par fabriquer l'octaèdre pour ne pas me perdre dans la construction : au bout du compte, sur chaque sommet, il n'y aura pas moins que  8 arêtes !

Puis j'ai posé les tétraèdres par dessus.

La construction comporte 12 + 8 * 4 = 36 baguettes.

La troisième partie de la construction consiste à faire passer au sommet de chaque tétraèdre une ficelle de manière à faire apparaître un cube .

A partir de là, on peut avoir une petite réflexion  sur les rapports de volumes de ces trois solides de Platon, et sur les pavages de l'espace.

On sait paver l'espace avec des cubes de même taille, tout le monde en a fait l'expérience depuis son plus jeune âge.
Imaginons que l'on pose plusieurs cubes de cette sorte de manière à paver l'espace.
Oublions alors les cubes en ficelles, on a alors construit une structure composée de tétraèdres et d'octaèdres, chaque quart d'octaèdre se complétant avec ceux qui sont dans les cubes voisins.
La structure composée d'octaèdres et de tétraèdres pave donc l'espace.

On a vu dans une précédente activité que le volume de l'octaèdre  est égal à quatre fis celui du tétraèdre régulier de même longueur d'arête.

Le cube que nous avons formé a une longueur de côté égale à \sqrt 2 fois celle du côté de l'octaèdre . Le volume du cube que nous obtenons est donc \( \sqrt{2})^3 = 2 \sqrt 2 fois plus grande que celle du carré de même longueur d'arête . On garde ce fait sous le coude et on continue l'exploration: Le cube est composé d'un octaèdre entier, de 8 tétraèdres et de 12 quarts d'octaèdres, dont une diagonale est figurée par les arêtes des cubes. On peut compléter les octaèdres si avec quelques baguettes supplémentaires .

Faisons les comptes , le volume du grand cube est donc celui de 4 octaèdres et de 8 tétraèdres, ce qui équivaut au volume de 6 octaèdres ou encore de 24 tétraèdres. Le volume d'un cube de la même arête est donc \frac{6}{2 \sqrt2 } = \frac{3 \sqrt 2} {2} fois plus grand que celui de l'octaèdre . On trouve donc les formules :
Pour l'octaèdre régulier d'arête a: V = \frac{\sqrt 2}{3} a^3
Pour le tétraèdre régulier d'arête a : V = \frac{\sqrt 2}{12} a^3
On peut aussi faire le rapport du volume de la stella octangula sur celui du cube : ainsi, le volume de l'étoile est celui du cube ôté des 12 quarts d'octaèdre. On a vu que le volume du cube est celui de 6 octaèdres. Donc la volume de l'étoile est de 3 octaèdres, soit la moitié du volume du cube qui la contient. Encore une fois, la perception du volume n'est pas évidente, je n'aurait pas parié sur ce rapport avant le calcul. Si on veut dessiner la stella octangula avec un logiciel de géométrie dans l'espace, il suffit de commencer en donnant les coordonnées des sommets, qui sont aussi ceux du cube.