dans le livre preuve en images ( Kangourou ), j'ai trouvé une preuve sans mots de l'identité remarquable a² - b² = ( a + b) ( a - b) .
Autant l'illustration de (a+b)² = a²+2 ab +b² tombe sous le sens et est très facile à expliquer aux élèves, autant les deux autres identités sont laborieuses à illustrer. Donc j'étais assez content pour en faire un petit gif animé .
Pour apprendre à faire de tels gifs, la video de Vincent Pantaloni est très bien faite : https://www.youtube.com/watch?v=2XzPlaz9D-8
Ce gif a été très apprécié des collègues sur Twitter et je me suis dit que c'était aussi un petit puzzle sympathique que j'ai découpé au fablab .
Matériau médium 3 mm
Voila un certain temps que je n'ai pas posté quelque chose d'intéressant sur ce blog. Pour en avoir envie, il faut en premier lieu que je sente que les articles que je vais écrire soient suffisamment intéressants et assez étayés .
Je vais co-animer dans quelques semaines un stage qui se nomme " toucher les maths"; et j'avais envie de revenir à mes fondamentaux, c'est à dire l'envie de partager et réfléchir sur ces bricolages pédagogiques, envie de retrouver l'envie d'en refaire .
Je vais présenter aujourd'hui trois bricolages qui permettent de visualiser le cosinus et le sinus d'un angle .
Tous trois utilisent plus ou moins explicitement le cercle de rayon 1, chacun d'eux doit permettre de visualiser les angles .
L'objectif est d'établir un lien entre deux grandeurs : la mesure de l'angle et le cosinus de l'angle ; ou entre la mesure de l'angle et le sinus de cet angle .
Le premier bricolage, que j'ai déjà présenté, peut être utilisé en 4ème, pour présenter le cosinus d'un angle aigu .
Il consiste en un bras articulé autour d'un axe , de longueur une unité , au bout duquel on attache un fil à plomb.
En tenant l'objet verticalement, le fil à plomb permet de visualiser le projeté orthogonal du point sur le côté adjacent .
cos ( alpha) = côté adjacent / hypoténuse = côté adjacent / 1 = côté adjacent .
On remarque que le quart de cercle n'est pas tracé, la question en quatrième est surtout l'étude des triangles rectangles . Cela dit, au bout de quelques année d'utilisation , le cercle se dessine avec l'usure de l'objet.
Le deuxième objet que j'utilise dès la seconde pour présenter les angles orientés, est une extension du précédent objet à tout le cercle trigonométrique . Ici, le cercle est tracé explicitement, les angles sont placés en radians, sur les points du cercle pour rappeler l'enroulement de la droite autour du cercle . On peut marquer aussi les angles en dizaines de degré, sans les écrire, pour faire réfléchir sur les conversions .
Au bout du bras articulé, sur le même principe , un fil à plomb, qui va permettre de projeter orthogonalement sur l'axe des cosinus .
(prévoir de la laine de couleur plutôt que du fil de pêche)
On se retrouve avec deux problèmes :
1) si l'angle orienté est compris entre pi et 2pi, le fil à plomb ne va pas couper l'axe .
Avec un peu d'entrainement, en accrochant la planche autour du cou , on peut synchroniser la rotation de l'axe et la droite verticale .
2) pour le sinus, il est difficile d'obtenir une droite horizontale, j'ai quelques astuces mais elles sont peu probantes : on fixe une tige mobile autour du clou, parfaitement équilibrée, tarée de chaque côté d'un même poids de quelques centaines de grammes . La tige arrive à un équilibre vertical, certes, mais ça tangue . Le mieux est de synchroniser le mouvement du bras et du fil pour avoir un fil horizontal .
Bon, on peut me dire, j'ai l'animation sur géogébra, pourquoi se casser les pieds avec ces manipulations parfois saugrenues ? Je trouve que la manipulation de l'objet peut donner des séquences très vivantes, très parlantes et assez mémorables pour les élèves.
Les moments où on tient l'objet devant soi, pour présenter les notions, ou, plus tard, pour interroger un élève sur les valeurs remarquables ou les variations sont des moments assez forts où on fait corps avec les notions, c'est indéfinissable .
Cet objet est particulièrement intéressant pour aborder les mesures principales, le signe d'un cosinus et d'un sinus et surtout les variations de ces deux fonctions , assez intéressant pour résoudre des équations trigonométriques .Il peut être sorti à tout moment où on peut poser ce genre de questions et peut devenir un objet de référence accroché sur un mur . C'est un objet complémentaire à celui proposé par une animation geogebra.
Pour le dernier objet, j'ai repris l'idée de Gérald Giangrande, un collègue animateur de l'irem de Caen très inventif, qui aime fabriquer des objets mathématiques , très beaux, beaucoup plus fignolés que les miens , pour le plaisir de l'idée, mais qui n'utilise ces objets que rarement en cours . Son idée est d'utiliser le cercle de diamètre 1, tournant autour de l'axe .
Cet objet utilise le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle : Le point H appartient au cercle de diamètre[OM], donc le triangle OMH est rectangle en H . Comme H appartient à l'axe des abscisses, le point H est le projeté orthogonal de M sur L'axe des abscisses . On peut donc lire le cosinus de l'angle IOM . Cet objet est un théorème en action, qui permet une lecture de mesures .
Pour fabriquer l'objet, j'ai utilisé le même principe que pour le bricolage pour le cercle circonscrit , c'est à dire trois couches de cartons superposés permettant à un point mobile ( en fait un bouton de jean surmonté d'un piton à vis ) de circuler sur un rail .
Autour du centre du cercle en carton, une plaque de plexiglas( ? , un truc récupéré sur un vieux cadre en tout cas ) va tourner à l'aide d'une vis, d'une rondelle et d'un boulon) .
J'aime particulièrement l'idée de l'objet, même si je trouve la lecture du sens de variation des fonctions beaucoup moins intuitive, il y a un obstacle , il faut ne pas oublier qu'on visualise l'intersection d'un cercle et d'une droite, il faut se dire sans cesse qu'on a le projeté orthogonal, puis qu'on obtient le cosinus et le sinus . Cela fait beaucoup d'opérations mentales.
Cela dit, c'est peut être ce qui fait que cet objet est si intéressant, il est intrigant, il ne se laisse dévoiler qu'après une certaine réflexion, quand on comprend ce que ça veut dire, on est très content, un ahah mathématique comme dirait Martin Gardner, ça chatouille comme une oeuvre d'art.
Je pense que mon collègue aura trouvé une méthode plus élégante et fabriqué un objet plus beau, un objet d'art .
J'aime assez l'idée qu'on puisse fabriquer des objets intéressants avec des bouts de carton.
Il y a bien longtemps que je n'avais pas mis à jour ce blog.
Pourtant, j'ai pensé à de nombreux autres objets. Mais pas eu le temps de les mettre en ligne. Et le temps passe vite.
Hier, en utilisant mon objet théorème " cercle circonscrit et triangle rectangle" dans un exercice classique portant sur les angles:
1) démontrer que le triangle est rectangle
2) calculer la mesure de l'angle BAC
3) en déduire la mesure de l'angle BOC ( angle au centre)
J'ai laissé chercher calculer cet angle avec les méthodes de cinquième, avant de le généraliser. Et puis je me suis rendu compte que l'objet cercle circonscrit pouvait tout à fait illustrer le théorème de l'angle inscrit. Il suffit de placer une partie de l'élastique , un des côtés du triangle à l'intérieur du mécanisme, ne laissant plus visible qu'un seul angle inscrit. En laissant l'arc constant et en bougeant le troisième point, on se rend compte que l'angle est constant.
Le fait d'exposer l'objet en action a marqué les esprits de mes élèves, je crois.
Ca a permis de mettre en action les objets en jeu et de bien rappeler le vocabulaire.
La plaque est en contreplaqué. Les baguettes sont graduées des deux côtés, chaque baguette dans une couleur différente (une couleur pour chaque rapport de longueur). Dans la première configuration, les graduations sont faites à partir du premier trou.
En changeant la position de la vis, on obtient le Thales papillon. On retourne les baguettes, graduées cette fois ci par rapport au second trou.
Améliorations à apporter:
Placer les noms des points à l'aide de punaises. Trouver une graduation des ficelles.
L'emploi du fil à plomb n'est pas la seule solution pour obtenir des droites parallèles. On peut utiliser par exemple un parallélogramme articulé, mais cela alourdirait la figure.
J'ai bricolé cet objet juste avant la rentrée de septembre. En travaillant sur le manuel de 4ème, j'ai cherché comment bien montrer aux élèves la simplicité des propriétés du cercle circonscrit et du triangle rectangle, compte tenu de la complexité de sa formulation.
Autant ces propriétés sont faciles à "toucher", autant leur formulation est complexe.
L'idée de fabriquer l'objet" théorème" m'est venue ainsi.
Matériel nécessaire:
4 planches de carton ( épaisseur 5mm), Trois boutons de culotte ( diamètre extérieur env. 13 mm, diamètre intérieur env.5mm), trois pitons à vis, fil élastique de couleur ( 60 cm environ)
Cet objet est constitué de quatre plaques de gros cartons collées l'une sur l'autre. Sur les trois plaques supérieures, j'ai découpé des disques de diamètres différents, afin de faire circuler les points le long de la couronne.
section sur un diamètre. La différence entre les deux diamètres de la couronne supérieure est de 6mm environ, celle entre les deux diamètres des couronnes intérieures est de 20 mm environ
Les points sont représentés par des boutons de pantalon auxquels j'ai vissé des crochets pour une prise en main plus facile. A insérer lors du collage pour plus de solidité.
On fait un noeud avec le fil élastique et on entoure les trois points
La consigne collée sous l'objet est:
1) En déplaçant les points sur le cercle, construis un triangle rectangle.
2) Une fois le triangle rectangle construit, en ne déplaçant qu'un point, construis-en deux autres.
Déroulement de la séance Je donne les consignes suivantes:
1) Soit un triangle avec trois angles aigus, tracer le cercle circonscrit à ce triangle
2) Soit un triangle avec un angle obtus, tracer le cercle circonscrit à ce triangle.
3) Quelle différence peut-on trouver sur le centre du cercle circonscrit dans ces deux cas?
J'ajoute malicieusement: pour ceux qui auront trouvé les premiers, j'ai une petite surprise.
Cet exercice permet de remettre en tête les médiatrices des segments, les médiatrices des triangles et le centre du cercle circonscrit.
Au premier qui a tracé les deux cercles et trouvé la différence ( centre à l'intérieur du triangle, centre à l'extérieur du triangle), je confie l'objet, et lui demande de rédiger ses commentaires sur les deux questions . La curiosité des autres les pousse à finir l'exercice pour manipuler l'objet. La manipulation ne prend qu'une minute par table, et l'objet circule. Avec un seul objet, tout le monde a manipulé en un quart d'heure. Je pense que l'année prochaine, j'en fabriquerai deux supplémentaires pour un bon gain de temps.
La consigne " 1) En déplaçant les points sur le cercle, construis un triangle rectangle." permet de mettre en évidence que si le triangle est rectangle, alors un côté est un diamètre. La consigne "2) Une fois le triangle rectangle construit, en ne déplaçant qu'un point, construis-en deux autres. " fait voir que si un côté est un diamètre du cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle.
Certains élèves ont réussi une formulation correcte de la propriété ou de la réciproque.
Dans une classe de quatrième, j'ai commencé le cours par la propriété :"Dans un triangle rectangle, le diamètre du cercle circonscrit est l'hypoténuse de ce triangle" , et ses conséquences. Dans l'autre, j'ai commencé par la réciproque " Si le côté d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors le triangle ets rectangle" , et les conséquences, en suivant le déroulement du débat dans la classe. En tout cas, les formulations de élèves étaient plus construites à mon avis que ce que j'ai pu entendre les années précédentes.
Plus que la formulation un peu compliquée, je pense que les élèves visualisent le théorème et se l'approprient avec leurs sens (vue mais aussi toucher) . L'emploi de l'outil informatique ( Géoplan) par exemple peut peut être arriver au même résultat, mais fait moins appel au sens du toucher, à autre chose, plutôt à un sixième sens que l'humanité est en train de développer qui pourrait s'appeler "sens de l'interactivité", je m'égare, mais je sens que l'élève aurait été moins impliqué dans sa perception.
En faisant essayer à ma femme, qui n'a pas fait de maths depuis quinze ans, elle m'a dit qu'après avoir manipulé l'objet, elle sentait le théorème, elle percevait son utilité et sa beauté. C'est pourquoi j'ai pensé que l'idée était à creuser et que je me suis donné le défi de construire d'autres objets mettant en jeu le sens du toucher pour faire "sentir" les propriétés. J'ai pour l'instant une petite dizaine d'idées, et je les mettrai sur ce blog dès qu'elles seront réalisées.
J'attends vos commentaires avec impatience et appréhension.
tombe sous le sens et est très facile à expliquer aux élèves, autant les deux autres identités sont laborieuses à illustrer. Donc j'étais assez content pour en faire un petit gif animé .
