Décomposition de vecteurs ( première S)

Pour faire réfléchir à la décomposition de vecteurs, j'ai utilisé un jeu de baguettes en bambou  (60 cm et 90 cm) et de tourillon de  2 mètres .

En origami, j'ai fabriqué des triangles équilatéraux, que j'ai placés au bout de mes tiges, afin de figurer le sens des vecteurs . Sur cette flèche, j'ai nommé les vecteurs u , v, w .
Avec du Patafix, j'ai collé un vecteur u (tige de  60 cm ), un vecteur v ( tige de  90 cm)  et un vecteur w (tige de 2 mètres) , non colinéaires 2 à 2, en faisant en sorte que les extrémités correspondent à peu près au carrelage du sol. (au besoin, ajuster en enfonçant plus ou moins la flèche ).
La consigne était de trouver les valeurs de x et de y telles que w =  x u +  y v .
Le matériel à leur disposition: un mètre , des tiges de deux mètres, des vecteurs u et v mobiles posés à côté des vecteurs u et v fixés .
En poussant les tables, j'ai pu trouver la place de mettre deux jeux différents et en demi groupe, j'ai donc fait travailler deux groupes de 7 personnes qui ont débattu et établi des stratégies pour répondre à la consigne . certains ont utilisé le tableau pour noter leurs calculs .

Plusieurs stratégies se sont mises en place au bout d'un certain temps: une approche purement géométrique et une approche analytique .

L'une des situations étudiées

En posant le problème sur le sol, j'ai pu observer d'autres comportements de mes élèves que ceux que j'ai d'habitude avec un problème sur le papier . Le débat était plus vivant, parce que souvent, ils joignaient le geste à la parole ( tu vas dans cette direction, tu prends deux carreaux par là, six carreaux par là, ... ).  Parfois , les élèves dessinaient sur le sol avec un marqueur effaçable les vecteurs i et j correspondants aux carreaux .
La taille des vecteurs aussi pose le problème d'une manière inhabituelle pour les élèves qui ont l'habitude de travailler sur le cahier.
Sans doute le travail aurait-il été encore plus riche avec des groupes de 4, mais j'ai manqué de temps et de place pour déplacer les tables et positionner mes jeux de vecteurs .
La position des vecteurs était un peu due au hasard, avec les contraintes suivantes : coordonnées entières sur les carreaux de la salle, non colinéarité. Les résultats ne tombaient pas juste, ce qui ne me dérangeait pas, au contraire.

En sortant le problème du cadre habituel, j'aime à penser que les élèves se souviendront mieux des techniques , pour deux raisons : il sera facile de rappeler le problème ( vous vous souvenez, les vecteurs sur le sol), et les débats ont été riches de propositions, chacun ayant mis la main  à la pâte.

arc capable

Un exercice peut être hors programme, mais intéressant dans la manipulation, et qui peut amener d'intéressantes méthodes de construction une fois qu'on a admis le résultat.
Un plan de la côte normande, que j'ai plastifié .

Voici l'énoncé : Un bateau navigue sur la Manche par une nuit nuageuse . Le GPS tombe en panne . Le capitaine aperçoit au loin les lumières des phares de Port en Bessin, de Courseulles et de Ouistreham . Il mesure les angles azimutaux entre ces différents phares .
Entre Port en Bessin et Courseulles, il trouve un angle  de + pi/6 .
Entre Courseulles et Ouistreham, il trouve un angle de + pi/4
Où se trouve le bateau ?
Derrière la feuille plastifiée, j'ai placé trois punaises aux positions des trois phares . On dispose de plus d'un feutre effaçable et de deux équerres ( une équerre à 30°,60°, 90° et une équerre à 45° )

Je noterai B le bateau, P Port en Bessin, C Courseulles et O Ouistreham
Phase d'exploration  : En faisant les côtés de l'équerre autour de deux punaises, on peut déterminer la position des points qui vérifie (BC, BO) = pi/ 4 . On obtient un bel arc de cercle . De même pour le deuxième angle . Le bateau est à l'intersection des deux arcs de cercle qui n'est pas C .

On admet ensuite le théorème de l'arc capable :

Théorème —  Soient A et B deux points du plan et  un réel donné tel que . L'ensemble des points M du plan différents de A et B tels que  est un arc de cercle  ouvert ( c'est-à-dire dont les extrémités A et B sont exclues).

On peut justifier ce théorème à l'aide du théorème de l'angle inscrit.

La construction à la règle, au compas et au rapporteur ( ou bien avec geogebra  ) de ces arcs de cercle demande une petite réflexion . J'ai utilisé la médiatrice et le théorème de l'angle au centre pour trouver le centre des arcs de cercle, 

EDIT : Lors du stage de jeudi, une collègue a immédiatement juxtaposé les deux équerres dans la bonne position, j'ai trouvé ça brillant . Même si ça annihile toutes les considérations sur la nécessité de la construction des arcs de cercles.

Visualisation du cosinus et du sinus .

Voila un certain temps que je n'ai pas posté quelque chose d'intéressant sur ce blog. Pour en avoir envie, il faut en premier lieu que je sente que les articles que je vais écrire soient suffisamment intéressants et assez étayés . Je vais co-animer dans quelques semaines un stage qui se nomme " toucher les maths"; et j'avais envie de revenir à mes fondamentaux, c'est à dire l'envie de partager et réfléchir sur ces bricolages pédagogiques, envie de retrouver l'envie d'en refaire .

 Je vais présenter aujourd'hui trois bricolages qui permettent de visualiser le cosinus et le sinus d'un angle . Tous trois utilisent plus ou moins explicitement le cercle de rayon 1, chacun d'eux doit permettre de visualiser les angles . L'objectif est d'établir un lien entre deux grandeurs : la mesure de l'angle et le cosinus de l'angle ; ou entre la mesure de l'angle et le sinus de cet angle . Le premier bricolage, que j'ai déjà présenté, peut être utilisé en 4ème, pour présenter le cosinus d'un angle aigu . Il consiste en un bras articulé autour d'un axe , de longueur une unité , au bout duquel on attache un fil à plomb.

En tenant l'objet verticalement, le fil à plomb permet de visualiser le projeté orthogonal du point sur le côté adjacent . cos ( alpha) = côté adjacent / hypoténuse = côté adjacent / 1 = côté adjacent . On remarque que le quart de cercle n'est pas tracé, la question en quatrième est surtout l'étude des triangles rectangles . Cela dit, au bout de quelques année d'utilisation , le cercle se dessine avec l'usure de l'objet.

Le deuxième objet que j'utilise dès la seconde pour présenter les angles orientés, est une extension du précédent objet à tout le cercle trigonométrique . Ici, le cercle est tracé explicitement, les angles sont placés en radians, sur les points du cercle pour rappeler l'enroulement de la droite autour du cercle . On peut marquer aussi les angles en dizaines de degré, sans les écrire, pour faire réfléchir sur les conversions .

 Au bout du bras articulé, sur le même principe , un fil à plomb, qui va permettre de projeter orthogonalement sur l'axe des cosinus .

(prévoir de la laine de couleur plutôt que du fil de pêche)

On se retrouve avec deux problèmes : 1) si l'angle orienté est compris entre pi et 2pi, le fil à plomb ne va pas couper l'axe . Avec un peu d'entrainement, en accrochant la planche autour du cou , on peut synchroniser la rotation de l'axe et la droite verticale . 2) pour le sinus, il est difficile d'obtenir une droite horizontale, j'ai quelques astuces mais elles sont peu probantes : on fixe une tige mobile autour du clou, parfaitement équilibrée, tarée de chaque côté d'un même poids de quelques centaines de grammes . La tige arrive à un équilibre vertical, certes, mais ça tangue . Le mieux est de synchroniser le mouvement du bras et du fil pour avoir un fil horizontal .

Bon, on peut me dire, j'ai l'animation sur géogébra, pourquoi se casser les pieds avec ces manipulations parfois saugrenues ? Je trouve que la manipulation de l'objet peut donner des séquences très vivantes, très parlantes et assez mémorables pour les élèves.
Les moments où on tient l'objet devant soi, pour présenter les notions, ou, plus tard, pour interroger un élève sur les valeurs remarquables ou les variations sont des moments assez forts où on fait corps avec les notions, c'est indéfinissable .

Cet objet est particulièrement intéressant pour aborder les mesures principales, le signe d'un cosinus et d'un sinus et surtout les variations de ces deux fonctions , assez intéressant pour résoudre des équations trigonométriques .Il peut être sorti à tout moment où on peut poser ce genre de questions et peut devenir un objet de référence accroché sur un mur . C'est un objet complémentaire à celui proposé par une animation geogebra.


 Pour le dernier objet, j'ai repris l'idée de Gérald Giangrande, un collègue animateur de l'irem de Caen très inventif, qui aime fabriquer des objets mathématiques , très beaux, beaucoup plus fignolés que les miens , pour le plaisir de l'idée, mais qui n'utilise ces objets que rarement en cours . Son idée est d'utiliser le cercle de diamètre 1, tournant autour de l'axe .

Cet objet utilise le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle : Le point H appartient au cercle de diamètre[OM], donc le triangle OMH est rectangle en H . Comme H appartient à l'axe des abscisses, le point H est le projeté orthogonal de M sur L'axe des abscisses . On peut donc lire le cosinus de l'angle IOM . Cet objet est un théorème en action, qui permet une lecture de mesures .

Pour fabriquer l'objet, j'ai utilisé le même principe que pour le bricolage pour le cercle circonscrit , c'est à dire trois couches de cartons superposés permettant à un point mobile ( en fait un bouton de jean surmonté d'un piton à vis ) de circuler sur un rail .

Autour du centre du cercle en carton, une plaque de plexiglas( ? , un truc récupéré sur un vieux cadre en tout cas ) va tourner à l'aide d'une vis, d'une rondelle et d'un boulon) .

J'aime particulièrement l'idée de l'objet, même si je trouve la lecture du sens de variation des fonctions beaucoup moins intuitive, il y a un obstacle , il faut ne pas oublier qu'on visualise l'intersection d'un cercle et d'une droite, il faut se dire sans cesse qu'on a le projeté orthogonal, puis qu'on obtient le cosinus et le sinus . Cela fait beaucoup d'opérations mentales.

Cela dit, c'est peut être ce qui fait que cet objet est si intéressant, il est intrigant, il ne se laisse dévoiler qu'après une certaine réflexion, quand on comprend ce que ça veut dire, on est très content, un ahah mathématique comme dirait Martin Gardner, ça chatouille comme une oeuvre d'art.

Je pense que mon collègue aura trouvé une méthode plus élégante et fabriqué un objet plus beau, un objet d'art .

J'aime assez l'idée qu'on puisse  fabriquer des objets intéressants avec des bouts de carton.

pliage fractal

Ces jours-ci, j'ai acheté le numéro de Tangente consacré à Benoit Mandelbrot et aux fractales . Je vais aborder les suites en première, et j'ai pensé à un pliage qui m'avait beaucoup amusé il y a quelques années .
On plie une feuille en deux, on trace la diagonale,,et on marque le milieu du pli . On trace un trait perpendiculaire au pli passant par ce point et s'arrêtant sur la diagonale .

On découpe ce segment puis on plie en escalier . Un côté du rectangle doit se retrouver sur le haut de la feuille .

Après avoir assoupli le pli, on aène ce rectangle vers l'intérieur et on obtient une espèce de pavé " en creux" .

La première étape est terminée .
On peut compter différentes choses :
C'est le moment d'introduire les notations .
Le nombre de coup de ciseaux nécessaires à chaque étape: un
Le nombre de pavés supplémentaires obtenus à chaque étape :vn
Le nombre total de pavés à chaque étape : wn
Si l'on considère qu'on plie à 90°, et qu'on remplit ces pavés droits, le volume ajouté à chaque étape sn
Le volume total des pavés obtenu à chaque étape : tn
u1 =1 ; v1=1 ; w1 = 1 ; s1 et t1 dépendent des dimensions de la feuille et valent 1/32 L * l.
Je demande de faire les comptes après la septième étape .
Etape 2 : on place le milieu de chaque pli et on plie en escalier .

Puis on plie vers l'intérieur . une espèce de masque apparait .

u2 = 2 ; v2 =3 ; w 2 = 4 ; s2 = 3/8 s1; t2 = t1 + 3/8 t1 ( résultats trouvés à l'aide des réduction de rapport 1/2)

On peut continuer les plis . Etape 3

u3 = 4 ; v3 = 9 ; w3 = 13 ; s3= 9/64 *s1 ;
t 3 = t2 + 9/64 * t1
Etape 4

Plus le montage avance, plus il est difficile de couper certaines bandes, le nombre de plis rendant chaque fois plus épais la bande à couper . Il serait sans doute intéressant d'ailleurs de compter les épaisseurs à chaque position .
Mais c'est plus difficile à formaliser avec des suites.

Etape 5, je vais m'arrêter là cette fois_ci, même si je crois déjà avoir obtenu l'étape 6 avec une feuille A3 .

A mesure que le nombre d'étapes augmente, on ne voit de moins en moins des pavés , mais la structure ressemble de plus en plus au triangle de Sierpinski .

C'est aussi un plaisir de dessiner cet objet en perspective .

La suite u est géométrique de raison 2, la suite v est géométrique de raison 3, la suite s est géométrique de raison 3/8 . Les élèves trouvent assez rapidement les formules et les utilisent pour calculer le 7eme terme .
Les autres suites sont des séries. Les élèves trouvent les résultats en calculant tous les termes des autres suites mais pourront vérifier les résultats quand on abordera la somme des termes d'une suite géométrique .

autour de la parabole

Deux bricolages que j'ai utilisés en début d'année scolaire, pour se poser la question : " est ce que les courbes tracées sont des paraboles avec des façons de les appréhender bien différentes .

Acte 1 : en module :

Le premier bricolage utilise le fait que la parabole est le lieu des points équidistants d'une droite et d'un point hors de cette droite .
Sur une planche, visser une tringle à rideaux  " chemin de fer " tout en haut .
Ensuite, découper le crochet en plastique avec un couteau pour avoir une surface plane  .

Sur la planche, scotcher une feuille de papier qui sera remplacée après chaque utilisation ou du film adhésif blanc velleda .
Avec quatre barres de meccano, fabriquer un losange . Deux sommets opposés sont fabriqués avec des vis et écrous, les deux autres sont fabriqués à l'aide de punaises qui sont fixées l'une sur le crochet modifié, l'autre sur la planche .
Accrocher un fil à plomb sur la punaise du crochet et un élastique entre les deux vis .

Il faudra sans doute ajouter un niveau pour s'assurer que le fil est bien perpendiculaire à la tringle .
tracer au feutre le point d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb .
La punaise sur la tringle est mobile. Tout en la bougeant, repérer quelques autres points d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb.

Une fois qu'on en a quelques uns, voire une dizaine, on peut poser la question de la courbe formée si on plaçait tous ces points d'intersection .
C'est la première fois de l'année que l'on peut se poser la question du lieu géométrique et les questions qu'il faut se poser en premier lieu : qu'est ce qui est fixe dans cet objet ? qu'est ce qui est mobile ? De quel point étudie-t-on la position ?
La forme évoque la parabole, mais il faut justifier qu'on obtient bien une parabole .
Deux approches, l'une numérique, l'autre géométrique que l'on travaillera sur Geogebra .
Approche géométrique
Mais avant de travailler sur geogebra, il faut sans doute un peu dégrossir la figure pour en dégager les points importants .
Un obstacle important à la compréhension de la figure est le fait que les barres de Meccano cachent presque le reste de la figure, alors qu'il faut avant tout réfléchir sur la nature de la droite portée par l'élastique . En réflechissant ensemble, on arrive au fait que le point M est sur la médiatrice du segment [HF] qui lie les deux punaises , puis que le point M est équidistant de la droite d et du point F . On arrive à la définition de la courbe avec foyer et directrice .
On essaye ensuite d'imaginer cette construction sans les contraintes physiques de la longueur de la tringle et de la longueur de la barre de meccano . La courbe est-elle limitée ?
Une fois cela mis à plat, les élèves vont modéliser la courbe en utilisant géogébra . C'est alors assez facile .
Plus facile que d'insérer les applets de geogebra en tout cas.

Approche numérique .
Comment définit-on une parabole ? Pour l'instant, les élèves en ont une conception numérique, c'est une courbe d'équation y = a x² + b x + c . Il faudrait trouver a, b et c . Mais cela n'a un sens que si on se place dans un repère . Il faut le choisir .
Les objets fixes sont fixes dans ce repère . On peut choisir ce repère en fonction de ceux-ci . En posant la tringle comme axe des abscisses et la punaise comme le point de coordonnées F( 0 ; - 2 ) , par exemple .
Les points mobiles sont définis à partir de la seconde punaise, puisque c'est elle qui permet de trouver les points de la parabole . Puisqu'elle appartient au rail, son ordonnée est 0 , et ses coordonnées sont H( x ; 0 ), avec x réel et le but du calcul est de trouver le point M d'abscisse x, tel que HM = FM .

Entracte:
En devoir à la maison, j'ai demandé de construire la figure la plus simple possible sur geogebra et de la sauver sous leur nom dans le répertoire classe du LCS, et de déterminer algébriquement l'équation de cette courbe en plaçant l'axe des abscisses sur la tringle à rideaux et la punaise au point de coordonnées (0 ; - 2) .
Dans un autre exercice de ce devoir, j'ai demandé aux élèves de déterminer l'équation de la parabole qui passe par trois points donnés non alignés .
Après le rendu des devoirs, on peut conclure que par trois points non alignés, on peut trouver un seul trinome qui correspond et donc qu'il y a une seule parabole .

Acte 2 :
En tendant une drisse entre deux points situés à la même hauteur, on obtient une courbe . Cette courbe est-elle une parabole ? Justifier .
Un débat s'instaure .
Réponses des élèves :
Si c'est une parabole, on peut déterminer son équation quitte à choisir un repère .
On peut utiliser un logiciel de traitement d'image pour avoir des coordonnées;
Ou un logiciel de géométrie .
Une fois qu'on peut trouver les coordonnées de 3 points, on peut obtenir le trinome. Si les autres points vérifient l'équation trouvée, alors c'est une parabole, sinon...

J'ai pris une photo de cette coube, et je l'ai placée dans leur répertoire de travail .
En ouvrant un fichier geogebra et en insérant cette image, les élèves peuvent placer cette image dans un repère et placer quelques points de cette coube, afin d'en déterminer les coordonnées de façon plutôt précises .
Les élèves à l'aise ont choisi leur repère de façon à ce que les coordonnées soient les plus simples possible, d'autres ont choisi un repère de façon aléatoire et ont dû se trouver devant un système d'équations très compliqué .
En déplaçant le repère et en changeant les axes avec la molette, on peut obtenir ceci :

Quand ils ont trouvé les valeurs de a, b , c pour que la courbe passe par trois points, ils peuvent remarquer qu'un quatrième point ne passe pas par cette parabole .

En fait, cette courbe s'appelle une chainette, et son équation utilise des fonctions qu'ils verront en terminale .

Ainsi, à deux reprises , les élèves se sont posé la question " est ce que la courbe est une parabole ?" et la méthode de réponse n'est pas la même : dans le premier cas, c'est une parabole, la formule qu'on va trouver est un trinome pour tous les points ( prouvée dans le cadre général) , dans le second, ce n'est pas une parabole et on trouve un contre-exemple .

le carré magique ( puzzle)

Un devoir maison que j'ai donné en 1S, qui étudie un puzzle vendu sous le nom carré magique. Il est constitué de quatre pièces superposables et peut dans une configuration, donner un carré de côté 10cm et dans une autre, donner un carré un peu plus grand, dans lequel un trou carré de côté 2 cm a été opéré en son centre. J'ai choisi les valeurs afin de trouver dans les calculs un trinôme qui se simplifie facilement et des valeurs simples pour la construction, mais on peut choisir n'importe quelles valeurs au départ. La construction des ce puzzle joue sur un double découpage du plan. 1 un pavage avec deux carrés de tailles différentes: 2 un pavage avec un carré ayant pour sommets les centres des quatre grands carrés reliés par un petit : Cette construction permet de démontrer de façon fort jolie la théorème de Pythagore. Henri Perigal, un agent de change londonien du 19eme a trouvé cette dissection du carré en 1874. Henri Dudeney, le célèbre créateur de jeux mathématiques, l'a popularisé en 1917. Il est à noter que l'on peut avoir les deux solutions en une manipulation, après avoir relié les pièces au moyen d'une charnière . Je ne sais pas si ça existe, mais je pense qu'on peut imaginer des tables carrées sur mesure qui pourraient s'adapter en quelques manoeuvres autour d'un pilier central .

Un problème sur la tapisserie de Bayeux

Professeur dans un lycée de Bayeux, suite à des discussions avec des collègues sur des problèmes de mathématiques concernant le patrimoine local, je me suis mis en quête de monuments de la ville pouvant succiter des questionnements mathématiques.
J'ai arpenté la ville, et, mis à part une courbe du midi sur la façade de l'hotel du cadran,
et un tétraèdre issu des plages du Débarquement (le même que ceux-ci)

, je n'ai pas trouvé grand chose.
Et puis, j'ai pensé à un roman que j'ai lu il y a deux ans, "Intrigue à l'anglaise" d'Adrien Goetz, qui se déroule à Bayeux autour de sa broderie et dans lequel l'un des héros s'amuse avec une reproduction de la tapisserie de Bayeux, en l'enroulant autour d'un cylindre. Une théorie amusante, qui peut faire penser aux colonnes de Trajan ou à des colonnes du XIeme siècle retrouvées en Allemagne et retraçant des scènes de la vie du Christ . Une idée astucieuse et séduisante, à prendre comme elle est. En tout cas, cela pose des questions mathématiques intéressantes.
J'ai écrit à l'auteur du roman qui était ravi et qui m'a donnée les références d'un livre avec une reproduction de la tapisserie très pratique pour faire une maquette.
A l'aide d'extraits du roman, j'ai créé ce devoir en temps libre et cette maquette.




Sur cette maquette, avec les alignements évoqués dans le roman, on peut retrouver le diamètre de cette colonne hypothétique et on trouve des coincidences amusantes.
Presque sur le même verticale, le serment d'Harold , puis, au dessus le doigt de Dieu qui viendrait attester ce serment, puis encore au dessus, la comète, sorte de message divin.

Je n'ai pas encore donné le devoir, j'espère que cette vision amusante de notre trésor local les motivera davantage, et que le côté "lecture d'un extrait de roman à l'aide des maths" séduira les élèves et leur offrira des ouvertures. Une discussion avec un élève de 1S qui se dit plus littéraire que matheux m'invite à croire que c'est une piste intéressante .
Le regret que j'ai, c'est qu'il n'existe pas ou plus de colonne pouvant coller avec les résultats trouvés. J'aurais tant aimé faire une sortie à la cathédrale de Bayeux avec tous mes élèves armés de mètres de couturières pour mesurer le tour des cylindres, mais aucun pilier n'est cylindrique.
Ni dans l'abbaye aux dames, ni dans l'abbaye aux hommes, d'ailleurs.