arc capable

Un exercice peut être hors programme, mais intéressant dans la manipulation, et qui peut amener d'intéressantes méthodes de construction une fois qu'on a admis le résultat.
Un plan de la côte normande, que j'ai plastifié .

Voici l'énoncé : Un bateau navigue sur la Manche par une nuit nuageuse . Le GPS tombe en panne . Le capitaine aperçoit au loin les lumières des phares de Port en Bessin, de Courseulles et de Ouistreham . Il mesure les angles azimutaux entre ces différents phares .
Entre Port en Bessin et Courseulles, il trouve un angle  de + pi/6 .
Entre Courseulles et Ouistreham, il trouve un angle de + pi/4
Où se trouve le bateau ?
Derrière la feuille plastifiée, j'ai placé trois punaises aux positions des trois phares . On dispose de plus d'un feutre effaçable et de deux équerres ( une équerre à 30°,60°, 90° et une équerre à 45° )

Je noterai B le bateau, P Port en Bessin, C Courseulles et O Ouistreham
Phase d'exploration  : En faisant les côtés de l'équerre autour de deux punaises, on peut déterminer la position des points qui vérifie (BC, BO) = pi/ 4 . On obtient un bel arc de cercle . De même pour le deuxième angle . Le bateau est à l'intersection des deux arcs de cercle qui n'est pas C .

On admet ensuite le théorème de l'arc capable :

Théorème —  Soient A et B deux points du plan et  un réel donné tel que . L'ensemble des points M du plan différents de A et B tels que  est un arc de cercle  ouvert ( c'est-à-dire dont les extrémités A et B sont exclues).

On peut justifier ce théorème à l'aide du théorème de l'angle inscrit.

La construction à la règle, au compas et au rapporteur ( ou bien avec geogebra  ) de ces arcs de cercle demande une petite réflexion . J'ai utilisé la médiatrice et le théorème de l'angle au centre pour trouver le centre des arcs de cercle, 

EDIT : Lors du stage de jeudi, une collègue a immédiatement juxtaposé les deux équerres dans la bonne position, j'ai trouvé ça brillant . Même si ça annihile toutes les considérations sur la nécessité de la construction des arcs de cercles.

Détournement d'objet

Il y a bien longtemps que je n'avais pas mis à jour ce blog.

Pourtant, j'ai pensé à de nombreux autres objets. Mais pas eu le temps de les mettre en ligne. Et le temps passe vite.

Hier, en utilisant mon objet théorème " cercle circonscrit et triangle rectangle" dans un exercice classique portant sur les angles:

1) démontrer que le triangle est rectangle

2) calculer la mesure de l'angle BAC

3) en déduire la mesure de l'angle BOC ( angle au centre)

J'ai laissé chercher calculer cet angle avec les méthodes de cinquième, avant de le généraliser. Et puis je me suis rendu compte que l'objet cercle circonscrit pouvait tout à fait illustrer le théorème de l'angle inscrit. Il suffit de placer une partie de l'élastique , un des côtés du triangle à l'intérieur du mécanisme, ne laissant plus visible qu'un seul angle inscrit. En laissant l'arc constant et en bougeant le troisième point, on se rend compte que l'angle est constant.

Le fait d'exposer l'objet en action a marqué les esprits de mes élèves, je crois.

Ca a permis de mettre en action les objets en jeu et de bien rappeler le vocabulaire.