Je vais vous relater une aventure mathématique qui m'est arrivée il y a deux jours, non pour me vanter, mais parce qu'elle est chargée d'émotions en montagnes russes et que ça m'aidera peut être à faire le point sur ce que j'ai trouvé ou pas... Une narration de recherche de prof et ses conséquences.
Pendant les vacances, pour des raisons que je dévoilerai plus tard, je me suis penché sur le théorème de Pythagore.
Je l'aime bien ce théorème.
Premièrement, c'est l'un des résultats dont on a la trace depuis le plus longtemps, sur des tablettes d'argile . A Babylone, il était connu bien avant la naissance de Pythagore. D'ailleurs, je ne sais pas pourquoi il porte ce nom.
Deuxièmement, c'est un résultat très pratique, dont il y a des applications dans de nombreux domaines, et on s'en sert tout le temps sans le savoir dès qu'on fait de la géométrie repérée.
Troisièmement, il y a beaucoup de démonstrations de ce théorème . Beaucoup. plus de 200. Ce qui laisse le champ à l'imagination quand on veut démontrer ce théorème par jeu. Je savais qu'il existait un site ( https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/# , écrit par Alexander Bogomolny , décédé en 2018 ) qui en récensait plus d'une centaine même si j'avais oublié l'adresse. Il existe aussi un recueil de 256 démonstrations différentes dans le livre The Pythagorean Proposition (en anglais), de Elisha Loomis, qui date de 1927 mais ça aussi, j'ai retrouvé la référence plus tard.
Bref, démontrer le théorème de Pythagore, c'est un vaste sujet. Il y a moyen .
Au collège, une démonstration classique se base sur un puzzle carré.
Deux positions différentes de placer 4 triangles rectangles identiques de côté a, b et c dans un carré de côté a +b laisse apparaitre un carré de côté c d'une part et deux carrés de côtés a et b, d'autre part . On a enlevé les mêmes triangles aux même carré, donc a² +b² = c² .
J'aime bien la figure du moulin à vent qui illustre bien le théorème de Pythagore. Il est à la base de nombreux raisonnements.
Si on réussit à découper le grand carré avec des pièces de même aire que la somme des aires des deux autres carrés, on aura démontré que c² = a² + b²
Une démonstration classique qui en découle est celle donnée dans les éléments d'Euclide, que je me suis amusé à transformer en gif .
2) on effectue une rotation, le triangle garde la même aire.
3) On garde la même base, et la hauteur restant constante, les triangles gardent la même aire .
Ainsi, on a dessiné dans le grand carré un triangle de même aire que la moitié du carré moyen .
SI on ajoute l'aire du triangle bleu (égale à celle du triangle rouge), on a une aire équivalente au carré moyen.
En raisonnant de même avec le triangle jaune et le vert, on montre que l'aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux autres carrés.
J'aime bien cette interprétation géométrique du moulin à vent et j'ai essayé de la retrouver autrement.
J'y ai pensé avant de me coucher et du coup, je n'arrive pas bien à dormir.
Je saute de mon lit, avec une intuition qu'il me faut vérifier sur le champ.
Je l'ai peut être appris ou lu quelque part, mais je redécouvre le fait que les aires des triangles entourant les carrés du moulin à vent ont la même aire.
Le lendemain, je démontre ce résultat à l'aide de la formule de l'aire d'un triangle A= 1/2 a b sin(alpha) et de la formule des sinus des angles associés, même s'il y sans doute plus simple et continue l'exploration grâce à geogebra.
je poste la figure sur Twitter, avec un très bon retour, ce qui me fait dire que le fait n'est pas forcément connu. Mon inspecteur m'apprend alors qu'on parle d'extriangles, et de moulin à vents.
Est il possible d'obtenir une figure dont on peut facilement calculer l'aire à partir de cette figure? Par symétrie centrale des milieux des côtés extérieurs, je construis les parallélogrammes pour voir ce que ça donne.
En apercevant des droites parallèles, je me demande si on peut construire un rectangle en prolongeant certains côtés.
Surprise, les triangles manquants ont tous les mêmes dimensions !
Ca se vérifie facilement
On peut alors calculer l'aire du rectangle obtenu de deux manières différentes, longueur * largeur et comme somme des aires des carrés et des triangles.
Eureka ! Ca marche !
Chouette, j'ai réussi à démontrer le théorème de Pythagore, je suis content, parce que j'avais lu des démonstrations, je savais les reproduire, mais je ne m'étais pas attelé à le démontrer moi même . Je suis assez fier .
Je sais que Vincent Pantaloni avait mentionné sur Twitter le site avec une centaine de démonstrations, je lui demande l'adresse pour voir d'autres stratégies.
En première lecture, je ne trouve pas la mienne dans la liste .
En particulier, il y en a peu qui entourent le moulin à vent d'un rectangle et je trouve ça intéressant.
ouah, aurais je trouvé une nouvelle démo? j'en doute encore, je sais qu'il y en a d'autres qui ne sont pas dans le site
Je poste mon résultat sur twitter encore une fois, parce que je trouve ma stratégie assez amusante, pour voir ce qu'il en découlera. Elle est de fait un peu retweetée et assez commentée.
Avec le retweet de Vincent Pantaloni, l'idée traverse même l'Atlantique.
A new (?) proof of the Pythagorean theorem by .
Traduire le Tweet
Trois remarques me font réfléchir : les deux parallélogrammes ennuient un peu certaines personnes, inutilement compliqués, un twitto sous entendant peut être que j'ai maquillé une démo simple en quelque chose de plus compliqué.
Took me a while to see what was going on here, but I like it! Whatever a, b and c are, you can construct these nine extra triangles, each with the same area, plus the squares on each side, to form a square.
I mean, it’s a bit Heath-Robinson, but it’s still neat :-)
Il m'a fallu un certain temps pour voir ce qui se passait ici, mais j'aime ça! Quels que soient a, b et c, vous pouvez construire ces neuf triangles supplémentaires, chacun avec la même aire, plus les carrés de chaque côté, pour former un carré.
Je veux dire, c'est un peu Heath-Robinson, mais c'est toujours chouette :-)
En réponse à
Je ne vois pas pq les parallélogrammes sont décomposés en triangles obtus plutôt que rectangles, comme l‘indique le calcul
En réponse à
You can get 4 more by reposition that square. I see what was done. This is an augmentation of the original proof. The original proof is sitting in the bottom left corner.
Vous pouvez en obtenir 4 supplémentaires en repositionnant ce carré. Je vois ce qui a été fait. Ceci est une augmentation de la preuve originale. La preuve originale se trouve dans le coin inférieur gauche.
On peut remplacer les parallélogrammes par des triangles rectangles. C'est vrai, je n'avais pas remarqué, j'avais pris un autre chemin . On obtient une figure plus simple.
En réponse à
Ça me donne l'impression d'avoir une combinaison de ces deux figures là
Ah oui, est ce que ma démonstration est encore intéressante, alors ? J'ai tendance à le penser encore, parce que le moulin à vents, clef de la démonstration reste tout à fait visible, mais bon, vu comme ça, c'est vrai que ça fait un peu bricolage.
Quoique, j'aurai tendance à penser que c'est possible que la démonstration a été trouvée ainsi, avec le moulin à vents, puis simplifiée juste dans le carré.
Là dessus, je revérifie sur le site https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ et je trouve que ma démo ressemble un peu à la #87
https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Pyth3Trapezoids.shtml
Bien que j'aie du mal à comprendre le découpage pour obtenir un trapèze, mais j'ai fait aussi des choix qui ont surpris.
Au final, j'ai démontré le théorème de Pythagore par mes propres moyens. Que cette démonstration existe ou pas est finalement de peu d'importance, le résultat est vrai de toute façon. Que la démonstration soit nouvelle ou pas, je n'ai pas vraiment réussi à trancher. C'est une amusette comme j'aime bien en tout cas .
Le débat qui a suivi sur Twitter était aussi intéressant.
Cela m'a montré en tout cas une fois de plus qu'on peut s'amuser avec les maths et en ressentir bien des émotions .