Triangle rectangle et cercle circonscrit ( 4ème)

J'ai bricolé cet objet juste avant la rentrée de septembre. En travaillant sur le manuel de 4ème, j'ai cherché comment bien montrer aux élèves la simplicité des propriétés du cercle circonscrit et du triangle rectangle, compte tenu de la complexité de sa formulation.

Autant ces propriétés sont faciles à "toucher", autant leur formulation est complexe.

L'idée de fabriquer l'objet" théorème" m'est venue ainsi.

Matériel nécessaire:

4 planches de carton ( épaisseur 5mm), Trois boutons de culotte ( diamètre extérieur env. 13 mm, diamètre intérieur env.5mm), trois pitons à vis, fil élastique de couleur ( 60 cm environ)

Cet objet est constitué de quatre plaques de gros cartons collées l'une sur l'autre. Sur les trois plaques supérieures, j'ai découpé des disques de diamètres différents, afin de faire circuler les points le long de la couronne.

section sur un diamètre. La différence entre les deux diamètres de la couronne supérieure est de 6mm environ, celle entre les deux diamètres des couronnes intérieures est de 20 mm environ

Les points sont représentés par des boutons de pantalon auxquels j'ai vissé des crochets pour une prise en main plus facile. A insérer lors du collage pour plus de solidité.

On fait un noeud avec le fil élastique et on entoure les trois points

La consigne collée sous l'objet est:

1) En déplaçant les points sur le cercle, construis un triangle rectangle.

2) Une fois le triangle rectangle construit, en ne déplaçant qu'un point, construis-en deux autres.

Déroulement de la séance
Je donne les consignes suivantes:

1) Soit un triangle avec trois angles aigus, tracer le cercle circonscrit à ce triangle

2) Soit un triangle avec un angle obtus, tracer le cercle circonscrit à ce triangle.

3) Quelle différence peut-on trouver sur le centre du cercle circonscrit dans ces deux cas?

J'ajoute malicieusement: pour ceux qui auront trouvé les premiers, j'ai une petite surprise.

Cet exercice permet de remettre en tête les médiatrices des segments, les médiatrices des triangles et le centre du cercle circonscrit.

Au premier qui a tracé les deux cercles et trouvé la différence ( centre à l'intérieur du triangle, centre à l'extérieur du triangle), je confie l'objet, et lui demande de rédiger ses commentaires sur les deux questions . La curiosité des autres les pousse à finir l'exercice pour manipuler l'objet. La manipulation ne prend qu'une minute par table, et l'objet circule. Avec un seul objet, tout le monde a manipulé en un quart d'heure. Je pense que l'année prochaine, j'en fabriquerai deux supplémentaires pour un bon gain de temps.

La consigne " 1) En déplaçant les points sur le cercle, construis un triangle rectangle." permet de mettre en évidence que si le triangle est rectangle, alors un côté est un diamètre. La consigne "2) Une fois le triangle rectangle construit, en ne déplaçant qu'un point, construis-en deux autres. " fait voir que si un côté est un diamètre du cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle.

Certains élèves ont réussi une formulation correcte de la propriété ou de la réciproque.

Dans une classe de quatrième, j'ai commencé le cours par la propriété :" Dans un triangle rectangle, le diamètre du cercle circonscrit est l'hypoténuse de ce triangle" , et ses conséquences. Dans l'autre, j'ai commencé par la réciproque " Si le côté d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors le triangle ets rectangle" , et les conséquences, en suivant le déroulement du débat dans la classe. En tout cas, les formulations de élèves étaient plus construites à mon avis que ce que j'ai pu entendre les années précédentes.

Plus que la formulation un peu compliquée, je pense que les élèves visualisent le théorème et se l'approprient avec leurs sens (vue mais aussi toucher) . L'emploi de l'outil informatique ( Géoplan) par exemple peut peut être arriver au même résultat, mais fait moins appel au sens du toucher, à autre chose, plutôt à un sixième sens que l'humanité est en train de développer qui pourrait s'appeler "sens de l'interactivité", je m'égare, mais je sens que l'élève aurait été moins impliqué dans sa perception.

En faisant essayer à ma femme, qui n'a pas fait de maths depuis quinze ans, elle m'a dit qu'après avoir manipulé l'objet, elle sentait le théorème, elle percevait son utilité et sa beauté. C'est pourquoi j'ai pensé que l'idée était à creuser et que je me suis donné le défi de construire d'autres objets mettant en jeu le sens du toucher pour faire "sentir" les propriétés. J'ai pour l'instant une petite dizaine d'idées, et je les mettrai sur ce blog dès qu'elles seront réalisées.

J'attends vos commentaires avec impatience et appréhension.