puzzle de Lloyd (6eme)

Outre le tangram, les puzzles mathématiques, basés sur des pavages et des découpages sont riches et fascinants.

Sam Lloyd était, avec Henry Dudeney, un remarquable inventeur de jeux mathématiques.

Le puzzle de Lloyd comporte cinq pièces. La consigne permettant de le fabriquer à partir d'un carré n'est pas compliquée pour un élève de sixième.

Avec ce puzzle, on peut réaliser un carré, un rectangle, un triangle rectangle, un parallélogramme, une croix et un quadrilatère qui possède deux angles droits.

Les solutions peuvent se dessiner sur la figure suivante.

On peut se servir d'une activité parlant de ce puzzle dans le cadre d'un PPRE. Ecriture des consignes de construction du puzzle. Recherche des solutions pour les différentes figures et tracé précis des solutions pour un côté du carré donné.

En utilisant plusieurs puzzles, avec différents recouvrements et en prenant le petit carré comme unité d'aire, on peut aussi demander d'exprimer l'aire de chaque pièce du puzzle, et ainsi retrouver que l'aire du grand carré est 5 unités d'aire.

(petit triangle : 1/4 u.a , trapèze: 3/4 u.a , Carré : 1 u.a, grand triangle : 5/4 u.a, hexagone: 7/4)

Le lien Wikipédia sur Sam Lloyd avec des liens vers ses énigmes

http://en.wikipedia.org/wiki/Sam_Loyd

le théorème de Thalès (4eme et 3eme)

Pour affichage après la formule du cours.

La plaque est en contreplaqué.
Les baguettes sont graduées des deux côtés, chaque baguette dans une couleur différente (une couleur pour chaque rapport de longueur). Dans la première configuration, les graduations sont faites à partir du premier trou.

En changeant la position de la vis, on obtient le Thales papillon. On retourne les baguettes, graduées cette fois ci par rapport au second trou.

Améliorations à apporter:

Placer les noms des points à l'aide de punaises. Trouver une graduation des ficelles.

L'emploi du fil à plomb n'est pas la seule solution pour obtenir des droites parallèles. On peut utiliser par exemple un parallélogramme articulé, mais cela alourdirait la figure.

La ficelle

Il n' y a pas toujours de compas de tableau dans mes salles de cours. Ca peut être gênant quand on veut mettre en évidence un report de longueur ou tracer un cercle. J'ai toujours un bout de ficelle dans mon cartable. Auparavant, je me suis parfois trouvé obligé de démonter mon lacet ( effet théatral garanti, mais le lacet s'abime et il est difficile à remettre ensuite).

la corde à 13 noeuds
En fait, ma ficelle est plutôt une corde à treize noeuds. Pas difficile à fabriquer, un nom à la fois très concret et très évocateur, la corde à treize noeuds est l'un des outils mathématiques les plus anciens. Les Egyptiens l'utilisaient 2000 ans avant JC (Et pour quoi faire? Des pyramides?).

Après la réciproque du théorème de Pythagore, et avoir démontré que le triangle 3-4-5 est retcangle, je sors ma corde à treize noeuds en tenant les deux bouts et le cinquième point en demandant à un élève de tendre au 3eme point. Le triangle rectangle apparait et frappe les esprits. Un peu d'histoire des maths ne fait pas de mal.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corde_%C3%A0_treize_n%C5%93uds

Appel

Si vous avez des idées à proposer, n'hésitez pas à les mettre dans les commentaires de ce message.

pliages mathématiques (5eme - 4ème)

Les pliages offrent de nombreuses possibilités en géométrie.

Outre la classique équerre en papier qui a tiré plus d'un élève d'un mauvais pas quand l'equerre en plastique est retrouvée en morceaux dans le cartable (je l'ai vécu moi-même en quatrième et jamais oublié), le pliage permet de façon très naturelle de trouver le milieu d'un segment, d'obtenir la bissectrice intérieure d'un angle, ainsi que la médiatrice d'un segment et des droites perpendiculaires passant par un point donné.

Ainsi toutes les droites remarquables du triangle peuvent être obtenues par pliage. Les années précédentes, j'ai essayé de faire un séance de révision en quatrième sur les droites remarquables, mais le résultat n'était pas satisfaisant, notamment à cause de l'hétérogénéité des capacités manuelles des élèves. Tous les élèves arrivaient au résultat mais en plus ou moins de temps. Par contre, bien présentée , cette activité peut donner lieu à un devoir à la maison.

Principe: Les élèves découpent quatre triangles isométriques puis obtiennent les droites remarquables par pliage. Ils devront ensuite repasser les plis en couleur, coder les propriétés et coller leurs triangles sur une feuille présentant les différents objets obtenus.
Le devoir n'est pas encore mis en forme, mais présentera les différentes techniques de pli.

Pour obtenir quatre triangles isométriques, plier la feuille en quatre, puis tracer un triangle sur le quart de feuille supérieur Nommer les sommets (à l'intérieur) . Découper le triangle. Les quatre triangles ont la même dimension. Donner les dimensions du triangle afin qu'il soit à la fois assez grand, non particulier et ait tous ses angles aigus ( pour que le centre du cercle circonscrit ne se retrouve pas à l'extérieur. (mon exempple, 12, 14 et 9 centimètres. Je me rappelle un article donnant les dimensions d'un bon triangle quelconque, mais je ne sais plus où le trouver)

Nommer les 4 triangles obtenus ABC.

Avec les techniques ci-dessous, obtenir le centre du cercle circonscrit d'un triangle, le centre du cercle inscrit de second, l'orthocentre du troisième et le centre de gravité du dernier.

Cosinus ( 4eme)

Me voila lancé!

Le bricolage que je propose ici permet de visualiser le cosinus d'un angle aigu.

Il a des vertus d'affichage et d'estimation du cosinus connaissant la mesure de l'angle.

A mon avis, il est à afficher après avoir donné la formule du cosinus dans un triangle rectangle.

Cos (Alpha) = Côté adjacent / Hypoténuse.

A ce moment là, on se donne un triangle d'hypoténuse 1 unité.

Dans ces conditions, le cosinus correspond à la longueur du côté adjacent.

Il faut poser l'objet contre le mur en respectant scrupuleusement l'horizontale.

Le fil à plomb assure alors l'orthogonalité des deux côtés.

Comme utilisation, on peut avoir une activité demandant d'estimer le cosinus de quelques angles. Et inviter des élèves au tableau afin d'effectuer la mesure.

J'imagine qu'avec cet objet, les élèves auront moins tendance à confondre le cosinus et l'angle.

De plus, on peut remarquer que le cosinus est inférieur à 1, que si l'angle est petit, le cosinus est proche de 1 et qu'il a tendance à diminuer lorsque l'angle devient grand.

Ca fait de beaux objets à afficher en permanence dans la classe.

Comme extension, en graduant la ficelle, on pourra parler du sinus de l'angle en troisième.

Triangle rectangle et cercle circonscrit ( 4ème)

J'ai bricolé cet objet juste avant la rentrée de septembre. En travaillant sur le manuel de 4ème, j'ai cherché comment bien montrer aux élèves la simplicité des propriétés du cercle circonscrit et du triangle rectangle, compte tenu de la complexité de sa formulation.

Autant ces propriétés sont faciles à "toucher", autant leur formulation est complexe.

L'idée de fabriquer l'objet" théorème" m'est venue ainsi.

Matériel nécessaire:

4 planches de carton ( épaisseur 5mm), Trois boutons de culotte ( diamètre extérieur env. 13 mm, diamètre intérieur env.5mm), trois pitons à vis, fil élastique de couleur ( 60 cm environ)

Cet objet est constitué de quatre plaques de gros cartons collées l'une sur l'autre. Sur les trois plaques supérieures, j'ai découpé des disques de diamètres différents, afin de faire circuler les points le long de la couronne.

section sur un diamètre. La différence entre les deux diamètres de la couronne supérieure est de 6mm environ, celle entre les deux diamètres des couronnes intérieures est de 20 mm environ

Les points sont représentés par des boutons de pantalon auxquels j'ai vissé des crochets pour une prise en main plus facile. A insérer lors du collage pour plus de solidité.

On fait un noeud avec le fil élastique et on entoure les trois points

La consigne collée sous l'objet est:

1) En déplaçant les points sur le cercle, construis un triangle rectangle.

2) Une fois le triangle rectangle construit, en ne déplaçant qu'un point, construis-en deux autres.

Déroulement de la séance
Je donne les consignes suivantes:

1) Soit un triangle avec trois angles aigus, tracer le cercle circonscrit à ce triangle

2) Soit un triangle avec un angle obtus, tracer le cercle circonscrit à ce triangle.

3) Quelle différence peut-on trouver sur le centre du cercle circonscrit dans ces deux cas?

J'ajoute malicieusement: pour ceux qui auront trouvé les premiers, j'ai une petite surprise.

Cet exercice permet de remettre en tête les médiatrices des segments, les médiatrices des triangles et le centre du cercle circonscrit.

Au premier qui a tracé les deux cercles et trouvé la différence ( centre à l'intérieur du triangle, centre à l'extérieur du triangle), je confie l'objet, et lui demande de rédiger ses commentaires sur les deux questions . La curiosité des autres les pousse à finir l'exercice pour manipuler l'objet. La manipulation ne prend qu'une minute par table, et l'objet circule. Avec un seul objet, tout le monde a manipulé en un quart d'heure. Je pense que l'année prochaine, j'en fabriquerai deux supplémentaires pour un bon gain de temps.

La consigne " 1) En déplaçant les points sur le cercle, construis un triangle rectangle." permet de mettre en évidence que si le triangle est rectangle, alors un côté est un diamètre. La consigne "2) Une fois le triangle rectangle construit, en ne déplaçant qu'un point, construis-en deux autres. " fait voir que si un côté est un diamètre du cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle.

Certains élèves ont réussi une formulation correcte de la propriété ou de la réciproque.

Dans une classe de quatrième, j'ai commencé le cours par la propriété :" Dans un triangle rectangle, le diamètre du cercle circonscrit est l'hypoténuse de ce triangle" , et ses conséquences. Dans l'autre, j'ai commencé par la réciproque " Si le côté d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors le triangle ets rectangle" , et les conséquences, en suivant le déroulement du débat dans la classe. En tout cas, les formulations de élèves étaient plus construites à mon avis que ce que j'ai pu entendre les années précédentes.

Plus que la formulation un peu compliquée, je pense que les élèves visualisent le théorème et se l'approprient avec leurs sens (vue mais aussi toucher) . L'emploi de l'outil informatique ( Géoplan) par exemple peut peut être arriver au même résultat, mais fait moins appel au sens du toucher, à autre chose, plutôt à un sixième sens que l'humanité est en train de développer qui pourrait s'appeler "sens de l'interactivité", je m'égare, mais je sens que l'élève aurait été moins impliqué dans sa perception.

En faisant essayer à ma femme, qui n'a pas fait de maths depuis quinze ans, elle m'a dit qu'après avoir manipulé l'objet, elle sentait le théorème, elle percevait son utilité et sa beauté. C'est pourquoi j'ai pensé que l'idée était à creuser et que je me suis donné le défi de construire d'autres objets mettant en jeu le sens du toucher pour faire "sentir" les propriétés. J'ai pour l'instant une petite dizaine d'idées, et je les mettrai sur ce blog dès qu'elles seront réalisées.

J'attends vos commentaires avec impatience et appréhension.