calcul du volume du tétraèdre régulier

j'ai récupéré une bonne trentaine de tourillons, et j'ai pu modifier la dernière activité . Je me suis rendu compte que les élèves ont beaucoup de mal à voir dans l'espace . Le fait de fabriquer dans la cour quatre tétraèdres et de les superposer a pu faire percevoir de l'intérieur le volume resté vide . Les élèves ont mis des noeuds sur les arêtes de l'octaèdre et ont pu visualiser en particulier les droites parallèles entre elles.
Le plus amusant, c'est que j'ai senti que mon premier groupe de module avait  besoin de passer à cette construction, alors que le second, prévenu qu'il pouvait être amené à la faire dans la cour et dans le froid, a pensé qu'il pouvait être aussi intéressant de faire une figure en perspective cavalière et sont arrivés assez vite au résultat .
Toujours est-il que le calcul un peu embêtant est celui du volume du tétraèdre régulier .
Les élèves ont appris la formule :
Volume d'une pyramide = un tiers de l'aire de la base multipliée par la hauteur
Mais dans un tétraèdre régulier, qu'est ce la hauteur ; qu'est ce que la base? et comment calculer tout ça ?

Dans une séance de cours ( sans doute un peu nombreux, préférer une séance en demi groupe ), j'ai demandé à trois élèves de construire un tétraèdre régulier avec mes tourillons de deux mètres ( pitons à vis au bout des tourillons, et colson pour les lier ), après leur avoir fait remarquer le nombre d'arêtes à chaque sommet .

Au bout de deux minutes, ce tétraèdre était construit .

(je n'ai pas pris de photos pendant mon cours, j'aurais bien aimé avoir la présence d'esprit de le faire dans le feu de l'action , alors j'en ai pris juste dans ma cour, cela ne rendra pas compte de ce cours très vivant)

Question : alors la hauteur, qu'est ce que c'est ?

Un élève se lève, montre du doigt la hauteur, prend la règle et tente de la mesurer .

Je sors alors un fil à plomb et reprend son idée en l'attachant au sommet de telle sorte que la pointe effleure le sol : voici donc la hauteur. On peut effectivement la mesurer à la règle .

On peut aussi l'estimer en comparant avec ma taille, puisque le sommet arrive à hauteur de mes yeux, à peu près à 1.65mètres . Comme je les laisse circuler autour ou même sous le tétraèdre, les élèves peuvent se faire une idée en fonction de leur propre taille .

Mais y a-t-il un moyen de savoir la valeur exacte ?

Et d'ailleurs, où tombe le fil à plomb ?

les réponses fusent :

- au centre de la base (quel centre du triangle ?)

- le centre du cercle circonscrit

- le centre de gravité

- le centre du cercle inscrit

- l'orthocentre

- à l'intersection des médiatrices ( comment les tracer ?)

- à l'intersection des bissectrices ( comment les tracer précisément ?)

- à l'intersection des hauteurs ( comment les tracer précisément ?)
- à l'intersection des médianes ( comment les tracer ?)

Qui a raison parmi toutes ces propositions ?

- le triangle est équilatéral, donc tout le monde a raison .

OK, on va donc tracer ces droites remarquables . J'ai marqué le milieu de chaque arête . Que peut-on tracer précisément ?

Quelques élèves mettent des ficelles pour représenter les médianes .

Peut-on calculer la longueur de cette médiane ?

- oui, car il y a un triangle rectangle, donc on peut utiliser le théorème de Pythagore .

Avec quelles longueurs ?

- la médiane est confondue avec la hauteur, donc un côté fait 1 mètre et l'hypoténuse fait 2 mètres .

Tout le monde est capable de calculer la médiane ?

Et le centre ? Où se situe-t-il?

Ici, j'ai dû rappeler que le centre de gravité se situe aux  2/3 de chaque médiane, en partant du sommet .

Et la hauteur ?

Là, j'ai eu une surprise . Personne ne déclarait voir qu'il pouvaient se placer sur un triangle rectangle . J'ai sorti mon équerre et je l'ai tournée autour du fil à plomb, en montrant que cette droite était perpendiculaire à chaque droite du sol , et en particulier des médianes tracées . Le silence attentif qui s'est fait à ce moment là montrait qu'il se passait quelque chose, et que la plupart des élèves n'avait pas pris conscience de ce fait .

Les élèves ont consigne alors de se mettre au travail pour calculer toutes les valeurs.

Une figure était tracée avec les noms des points , pour qu'ils aient le même calcul .

 Ceux qui ont des difficultés peuvent rester autour du tétraèdre pour prendre toutes les mesures nécessaires . Ceux qui veulent vérifier leurs calcul peuvent aussi se lever pour mesurer . Ce cours fut vivant et intéressant . Je pense que les élèves en se déplaçant autour et dans un volume à calculer en ont pris une autre conscience et ont développé leur vision dans l'espace, le fait de construire ce tétraèdre et de construire ces droites a apporté aux élèves. Certains élèves très moyens ont d'abord pris les mesures, utilisé les formules pour calculer une valeur approximative du volume , puis ont fait valider leur réponse . Je leur ai demandé alors de faire tous les calculs exacts, avec les explications . Ils sont alors rentrés de bon pied dans le problème .

activité sur les trisectrices

Depuis le temps que ce blog est en sommeil, j'ai expérimenté d'autres objets .
Cette idée d'activité m' a été soufflée par Danielle Salles, du groupe géométrie de l'IREM de Basse Normandie : Les machines à trisecter les angles .

Partager un angle en deux angles égaux est possible à la règle et au compas, tous les élèves se souviennent de la bissectrice . Couper un angle en 4 ou en 8 n'est pas beaucoup plus compliqué et demande juste de la précision . Mais couper un angle quelconque en trois angles égaux n'est pas possible en se servant uniquement de la règle et du compas . C'est un problème ancien, aussi connu que la construction à la règle et au compas de la quadrature du cercle et la duplication du cube .
Par contre, d'autres solutions techniques, utilisant d'autres outils donnent des solutions de ce problème .
Après cette introdution historique, je propose à mes élèves de se mettre en groupe de 3 et d'utiliser les outils suivants, à l'aide du mode d'emploi, afin de comprendre leur fonctionnement. Avant la fin de l'heure, les élèves doivent tourner sur tous les ateliers, fabriquer l'angle trisecté dans chaque cas, et faire valider par le professeur la bonne utilisation de l'objet , puis choisir deux de ces objets et ébaucher une figure géométrique pour illustrer l'objet . L'étude de ces figures est remis à la séance de module suivante, après que l'on ait débattu sur ce que doit avoir une figure mathématique, pour servir de base efficace pour une démonstration .

les objets à trisecter sont :
Le tomahawk ( ou le trisecteur de Bergery )
fabrication : une planchette découpée à la scie sauteuse

La boîte à camembert :
fabrication: une tringle à rideaux, une vis qu s'insère dans cette rainure .
La figure géométrique est presque visible, mais je ne pense pas pouvoir la cacher .

Le té :

Il est à noter que ces trois premiers outils se ramènent exactement à la même figure géométrique et au même raisonnement . Sur les deux outils que l'élève doit étudier, il devra en étudier obligatoirement un parmi ces trois, et choisir le second parmi les trois suivants, qui amènent à des démonstrations tout à fait différentes .

Le double bisecteur :
Des barres de plastique et des attaches parisiennes . On peut opérer une fente sur les barres des trisecteurs, mais on peut aussi se débrouiller en superposant deux bisecteurs .

Inspiré du trisecteur de MacLaurin trouvé sur le site de Geogebra
Fabrication: barres de mecanno et élastiques .

Avec des barres de mécanno :
fabrication: deux tasseaux tournent autour d'une rainure . L'angle formé à la fin par ces deux tasseaux est le tiers d'un angle matérialisé par le triangle construit à l'aide des barres de mécanno .

il existe aussi une méthode de trisection utilisant des pliages, je ne l'ai pas mentionnée, car elle fait un peu redite avec les premières trisectrices .


Les modes d'emploi sont sur ce fichier PDF

Après avoir débattu de la figure mathématique, de ce qu'elle doit comporter ( nom de points, égalité de longueur, angles droits ), les élèves devaient rendre la démonstration du fonctionnement de deux d'entre elles  ( une des 3 premières et une des trois dernières ) .
Les résultats étaient un peu décevants, même s'il y eut des idées très intéressantes d'appropriation du problème . Au vu de certaines erreurs, je me suis aperçu que le fait d'avoir juste la photo ne suffisait pas toujours à faire la figure . Aussi si je recommence cette activité très riche, je laisserai ces objets à la disposition de mes élèves au fond de ma salle, afin qu'ils puissent le manipuler de nouveau s'ils en sentent le besoin et vérifient certaines propriétés qu'ils auraient entrevues .

Quelques extraits de copie :
Des pliages pour représenter les transformations des triangles dans le té :

le passage du dessin à la figure en trois étapes :

Juste un dessin, pas au moment où c'est intéressant :

Au final, ce travail a amené les élèves à réfléchir et à passer, comme le dirait Ruben Rodriguez, d'un passage d'un univers expérimentable des machines à un univers formalisé des figures, puis à un univers des idées et des démonstrations .

Un exemple :

Univers expérimentable de la machine : entre les deux vis E et D, il y a le même nombre de trous qu'entre les deux vis D et C .

Univers formalisé de la figure mathématique :

Univers de la démonstation :
ED = DC donc le triangle EDC est isocèle en D .


Même s'il fut enrichissant, et même si le bagage nécessaire est du niveau de quatrième, ce ne fut pas un exercice facile pour les élèves, car il demande beaucoup de recul, d'autant plus difficile, comme le dit l'une de mes très bonnes élèves, qu'il n'y avait pas la solution sur Internet .



Activité géométrie dans l'espace ( seconde )

Une activité pour introduire la représentation des solides en perspective cavalière et faire des calculs de volume . Dans un premier temps, l'élève doit construire un tétraèdre en origami. Pour cela, je lui montrerai ce petit film


et il aura une fiche avec des photos pour le faire à tête reposée. Au passage, il pourra réfléchir pour démontrer que les faces obtenues par pliage sont des triangles équilatéraux. Une fois plié, l'élève doit repérer et calculer la longueur du côté, la position du centre de la face puis la hauteur à l'aide du théorème de Pythagore. Il pourra ainsi calculer le volume du tétraèdre qu'il vient de fabriquer. Une fois les tétraèdres fabriqués, les élèves ont la consigne d'assembler les tétraèdres de manière à obtenir un tétraèdre avec des dimensions doublées. on se rend vite compte qu'il ne sert à rien de coller les tétraèdres face contre face, ni même arête contre arête, et qu'en fait, il faut les poser sommet sur sommet, même si le solide obtenu contient un gros trou . Mais quelle est la forme de ce trou ? C'est difficile à voir ... Deux solutions pour mieux s'en rendre compte : des tiges aimantées . 1) On refabrique les quatre tétraèdres les uns sur les autres, puis on enlève ce qui est en trop... 2) On dessine les quatre tétraèdres en perspective cavalière. Au passage, on rappelle les règles : deux droites parallèles dans l'espace sont représentées par deux droites parallèles sur le dessin. Sur des droites parallèles, les proportions de longueur sont conservées. En repassant en rouge les arêtes du trou, on se rend compte qu'on a représenté un octaèdre, et que ses arêtes parallèles se retrouvent sur la figure. On arrive à la partie presque magique de l'activité. Quel est le volume de l'octaèdre obtenu? Les élèves, sûrement un peu refroidis par le calcul du volume du tétraèdre, vont y aller à rebrousse-poil. Et pourtant! Comme le tétraèdre obtenu est un agrandissement du petit tétraèdre initial avec un coefficient 2, le volume a été multiplié par 8. Or, il n'y a que quatre petits tétraèdres. Donc le volume plein est égal à 4 fois le volume initial. Donc la partie vide représente aussi 4 fois le volume initial. L'octaèdre a un volume 4 fois plus important que celui du tétraèdre de même côté. Au passage, on peut remarquer que le tétraèdre ne peut pas paver l'espace, mais que le tétraèdre et l'octaèdre pavent ensemble l'espace, comme l'illustre magnifiquement cette gravure d'Escher, "Planaires".

de la topologie des super héros

La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). ( Wiki)
Le premier problème qui peut être relié à la topologie est le problème des 7 ponts de Koenigsberg, étudié en 1736 par la mathématicien suisse Léonard Euler.
Plus tard, en 1895, Henri Poincarré lance les premières bases de la topologie dans son ouvrage analysis situs et introduit la notion d'homologie qui nous intéresse ici.

Pour parler en grand vulgarisateur, on s'intéresse au nombre de trous dans les volumes. Par exemple, on différencie la boule ( pas de trous) du donut ( le tore) qui a un trou. On aura beau déformer continument la boule, sans arrachement, jamais on n'obtiendra de tore, et réciproquement.
Le topologue va malaxer, étirer, déformer à l'envi des volumes de caoutchouc afin d'obtenir des volumes topologiquement équivalents.

Une blague sur les topologues est qu'un topologue confond une tasse avec une anse et un donut .


Le meilleur professeur de topologie que l'on puisse rêver est le professeur Richards, chef des quatre fantastiques, aussi appelé mister Fantastic. Un brillant scientifique doublé d'une boule de caoutchouc continument déformable, c'est le rêve.

En recherchant les différentes manifestations du pouvoirs de Mister Fantastic par le king Jack Kirby, je prétends que Jolly Jack avait compris intuitivement la notion d'équivalence topologique. Exemples à l'appui.

On pourrait résumer le pouvoir de Red Richards en disant qu'il est topologiquement équivalent à une boule .

Donc, par déformation continue, Mister Fantastic peut se transformer en une boule.


Il n'a donc aucun trou, et ne peut donc pas être percé par des balles. En effet, au moindre trou, sa topologie deviendrait celle d'un donut.
Et si Red s'était fait percer une oreille avant d'obtenir ses pouvoirs, ses pouvoirs auraient sans doute été modifiés. Il aurait sans doute pu déformer et déplacer ce trou afin que les balles passent au travers de ce trou.


Donc, il dispose de deux statégies pour une attaque par balle. Retenir les balles en déformant continument son corps de manière à accompagner leur parcours ou se déformer de manière à les éviter ( dessin K Pollard)



La boule est topologiquement équivalente a un pavé rectangualaire ( toute personne qui a fait le la patisserie peut en témoigner) et aussi en sac ( non troué), ce qui peut s'avèrer pratique si on veut capturer Hulk par exemple.


Pour se tranformer en tore, Red doit recoller sa structure, en retenant une partie de son corps avec son bras.



Dans tous les épisodes des FF par Kirby de ma collection, j'ai pu constater qu'il respectait la déformation continue et l'équivalence à la boule. Sauf à ces quelques exceptions près, mais je crois qu'on peut les imputer aux encreurs, moins bons topologues.

Dans FF11, les deux bras semblent soudés au niveau du coude, ce qui le rendrait équivalent au tore. Il s'agit sans aucun doute d'une erreur d'encrage, ou alors il y avait une bulle à la place de l'erreur, cette erreur est trop grossière pour être voulue .



Dans FF14, Mister Fantastic se transforme en filet pour capturer Namor. L'encrage semble donner l'idée d'un volume avec de nombreux trous :


Heureusement, en gros plans, Kirby explique la façon d'obtenir ce filet tout en gardant la structure de boule. Ca semble mieux marcher. Encore faudrait-il étudier cette structure en filet à l'aide de la théorie des graphes pour en être sûr.


Même schéma dans FF17. Kirby semble percer de nombreux trous dans la structure de M. Fantastic . Mais il corrige l'idée dans l'image suivante nous dévoilant son truc et ne laisse plus de doute: c'est bien une erreur d'encrage .


Je ne pense pas que Jack Kirby ait tenu un livre de topologie dans ses mains, mais son intuition de la déformation d'une boule était parfaitement cohérente sur les 102 épisodes qu'il a dessinés.

Mais comme pour comprendre une notion, il peut être intéressant d'avoir des contre-exemples, on m'a signalé ces petits monstres multicolores qui ne connaissent pas la topologie .

le carré magique ( puzzle)

Un devoir maison que j'ai donné en 1S, qui étudie un puzzle vendu sous le nom carré magique. Il est constitué de quatre pièces superposables et peut dans une configuration, donner un carré de côté 10cm et dans une autre, donner un carré un peu plus grand, dans lequel un trou carré de côté 2 cm a été opéré en son centre. J'ai choisi les valeurs afin de trouver dans les calculs un trinôme qui se simplifie facilement et des valeurs simples pour la construction, mais on peut choisir n'importe quelles valeurs au départ. La construction des ce puzzle joue sur un double découpage du plan. 1 un pavage avec deux carrés de tailles différentes: 2 un pavage avec un carré ayant pour sommets les centres des quatre grands carrés reliés par un petit : Cette construction permet de démontrer de façon fort jolie la théorème de Pythagore. Henri Perigal, un agent de change londonien du 19eme a trouvé cette dissection du carré en 1874. Henri Dudeney, le célèbre créateur de jeux mathématiques, l'a popularisé en 1917. Il est à noter que l'on peut avoir les deux solutions en une manipulation, après avoir relié les pièces au moyen d'une charnière . Je ne sais pas si ça existe, mais je pense qu'on peut imaginer des tables carrées sur mesure qui pourraient s'adapter en quelques manoeuvres autour d'un pilier central .

Un problème sur la tapisserie de Bayeux

Professeur dans un lycée de Bayeux, suite à des discussions avec des collègues sur des problèmes de mathématiques concernant le patrimoine local, je me suis mis en quête de monuments de la ville pouvant succiter des questionnements mathématiques.
J'ai arpenté la ville, et, mis à part une courbe du midi sur la façade de l'hotel du cadran,
et un tétraèdre issu des plages du Débarquement (le même que ceux-ci)

, je n'ai pas trouvé grand chose.
Et puis, j'ai pensé à un roman que j'ai lu il y a deux ans, "Intrigue à l'anglaise" d'Adrien Goetz, qui se déroule à Bayeux autour de sa broderie et dans lequel l'un des héros s'amuse avec une reproduction de la tapisserie de Bayeux, en l'enroulant autour d'un cylindre. Une théorie amusante, qui peut faire penser aux colonnes de Trajan ou à des colonnes du XIeme siècle retrouvées en Allemagne et retraçant des scènes de la vie du Christ . Une idée astucieuse et séduisante, à prendre comme elle est. En tout cas, cela pose des questions mathématiques intéressantes.
J'ai écrit à l'auteur du roman qui était ravi et qui m'a donnée les références d'un livre avec une reproduction de la tapisserie très pratique pour faire une maquette.
A l'aide d'extraits du roman, j'ai créé ce devoir en temps libre et cette maquette.




Sur cette maquette, avec les alignements évoqués dans le roman, on peut retrouver le diamètre de cette colonne hypothétique et on trouve des coincidences amusantes.
Presque sur le même verticale, le serment d'Harold , puis, au dessus le doigt de Dieu qui viendrait attester ce serment, puis encore au dessus, la comète, sorte de message divin.

Je n'ai pas encore donné le devoir, j'espère que cette vision amusante de notre trésor local les motivera davantage, et que le côté "lecture d'un extrait de roman à l'aide des maths" séduira les élèves et leur offrira des ouvertures. Une discussion avec un élève de 1S qui se dit plus littéraire que matheux m'invite à croire que c'est une piste intéressante .
Le regret que j'ai, c'est qu'il n'existe pas ou plus de colonne pouvant coller avec les résultats trouvés. J'aurais tant aimé faire une sortie à la cathédrale de Bayeux avec tous mes élèves armés de mètres de couturières pour mesurer le tour des cylindres, mais aucun pilier n'est cylindrique.
Ni dans l'abbaye aux dames, ni dans l'abbaye aux hommes, d'ailleurs.