calcul du volume du tétraèdre régulier

j'ai récupéré une bonne trentaine de tourillons, et j'ai pu modifier la dernière activité . Je me suis rendu compte que les élèves ont beaucoup de mal à voir dans l'espace . Le fait de fabriquer dans la cour quatre tétraèdres et de les superposer a pu faire percevoir de l'intérieur le volume resté vide . Les élèves ont mis des noeuds sur les arêtes de l'octaèdre et ont pu visualiser en particulier les droites parallèles entre elles.
Le plus amusant, c'est que j'ai senti que mon premier groupe de module avait  besoin de passer à cette construction, alors que le second, prévenu qu'il pouvait être amené à la faire dans la cour et dans le froid, a pensé qu'il pouvait être aussi intéressant de faire une figure en perspective cavalière et sont arrivés assez vite au résultat .
Toujours est-il que le calcul un peu embêtant est celui du volume du tétraèdre régulier .
Les élèves ont appris la formule :
Volume d'une pyramide = un tiers de l'aire de la base multipliée par la hauteur
Mais dans un tétraèdre régulier, qu'est ce la hauteur ; qu'est ce que la base? et comment calculer tout ça ?

Dans une séance de cours ( sans doute un peu nombreux, préférer une séance en demi groupe ), j'ai demandé à trois élèves de construire un tétraèdre régulier avec mes tourillons de deux mètres ( pitons à vis au bout des tourillons, et colson pour les lier ), après leur avoir fait remarquer le nombre d'arêtes à chaque sommet .

Au bout de deux minutes, ce tétraèdre était construit .

(je n'ai pas pris de photos pendant mon cours, j'aurais bien aimé avoir la présence d'esprit de le faire dans le feu de l'action , alors j'en ai pris juste dans ma cour, cela ne rendra pas compte de ce cours très vivant)

Question : alors la hauteur, qu'est ce que c'est ?

Un élève se lève, montre du doigt la hauteur, prend la règle et tente de la mesurer .

Je sors alors un fil à plomb et reprend son idée en l'attachant au sommet de telle sorte que la pointe effleure le sol : voici donc la hauteur. On peut effectivement la mesurer à la règle .

On peut aussi l'estimer en comparant avec ma taille, puisque le sommet arrive à hauteur de mes yeux, à peu près à 1.65mètres . Comme je les laisse circuler autour ou même sous le tétraèdre, les élèves peuvent se faire une idée en fonction de leur propre taille .

Mais y a-t-il un moyen de savoir la valeur exacte ?

Et d'ailleurs, où tombe le fil à plomb ?

les réponses fusent :

- au centre de la base (quel centre du triangle ?)

- le centre du cercle circonscrit

- le centre de gravité

- le centre du cercle inscrit

- l'orthocentre

- à l'intersection des médiatrices ( comment les tracer ?)

- à l'intersection des bissectrices ( comment les tracer précisément ?)

- à l'intersection des hauteurs ( comment les tracer précisément ?)
- à l'intersection des médianes ( comment les tracer ?)

Qui a raison parmi toutes ces propositions ?

- le triangle est équilatéral, donc tout le monde a raison .

OK, on va donc tracer ces droites remarquables . J'ai marqué le milieu de chaque arête . Que peut-on tracer précisément ?

Quelques élèves mettent des ficelles pour représenter les médianes .

Peut-on calculer la longueur de cette médiane ?

- oui, car il y a un triangle rectangle, donc on peut utiliser le théorème de Pythagore .

Avec quelles longueurs ?

- la médiane est confondue avec la hauteur, donc un côté fait 1 mètre et l'hypoténuse fait 2 mètres .

Tout le monde est capable de calculer la médiane ?

Et le centre ? Où se situe-t-il?

Ici, j'ai dû rappeler que le centre de gravité se situe aux  2/3 de chaque médiane, en partant du sommet .

Et la hauteur ?

Là, j'ai eu une surprise . Personne ne déclarait voir qu'il pouvaient se placer sur un triangle rectangle . J'ai sorti mon équerre et je l'ai tournée autour du fil à plomb, en montrant que cette droite était perpendiculaire à chaque droite du sol , et en particulier des médianes tracées . Le silence attentif qui s'est fait à ce moment là montrait qu'il se passait quelque chose, et que la plupart des élèves n'avait pas pris conscience de ce fait .

Les élèves ont consigne alors de se mettre au travail pour calculer toutes les valeurs.

Une figure était tracée avec les noms des points , pour qu'ils aient le même calcul .

 Ceux qui ont des difficultés peuvent rester autour du tétraèdre pour prendre toutes les mesures nécessaires . Ceux qui veulent vérifier leurs calcul peuvent aussi se lever pour mesurer . Ce cours fut vivant et intéressant . Je pense que les élèves en se déplaçant autour et dans un volume à calculer en ont pris une autre conscience et ont développé leur vision dans l'espace, le fait de construire ce tétraèdre et de construire ces droites a apporté aux élèves. Certains élèves très moyens ont d'abord pris les mesures, utilisé les formules pour calculer une valeur approximative du volume , puis ont fait valider leur réponse . Je leur ai demandé alors de faire tous les calculs exacts, avec les explications . Ils sont alors rentrés de bon pied dans le problème .