Activité géométrie dans l'espace ( seconde )

Une activité pour introduire la représentation des solides en perspective cavalière et faire des calculs de volume . Dans un premier temps, l'élève doit construire un tétraèdre en origami. Pour cela, je lui montrerai ce petit film


et il aura une fiche avec des photos pour le faire à tête reposée. Au passage, il pourra réfléchir pour démontrer que les faces obtenues par pliage sont des triangles équilatéraux. Une fois plié, l'élève doit repérer et calculer la longueur du côté, la position du centre de la face puis la hauteur à l'aide du théorème de Pythagore. Il pourra ainsi calculer le volume du tétraèdre qu'il vient de fabriquer. Une fois les tétraèdres fabriqués, les élèves ont la consigne d'assembler les tétraèdres de manière à obtenir un tétraèdre avec des dimensions doublées. on se rend vite compte qu'il ne sert à rien de coller les tétraèdres face contre face, ni même arête contre arête, et qu'en fait, il faut les poser sommet sur sommet, même si le solide obtenu contient un gros trou . Mais quelle est la forme de ce trou ? C'est difficile à voir ... Deux solutions pour mieux s'en rendre compte : des tiges aimantées . 1) On refabrique les quatre tétraèdres les uns sur les autres, puis on enlève ce qui est en trop... 2) On dessine les quatre tétraèdres en perspective cavalière. Au passage, on rappelle les règles : deux droites parallèles dans l'espace sont représentées par deux droites parallèles sur le dessin. Sur des droites parallèles, les proportions de longueur sont conservées. En repassant en rouge les arêtes du trou, on se rend compte qu'on a représenté un octaèdre, et que ses arêtes parallèles se retrouvent sur la figure. On arrive à la partie presque magique de l'activité. Quel est le volume de l'octaèdre obtenu? Les élèves, sûrement un peu refroidis par le calcul du volume du tétraèdre, vont y aller à rebrousse-poil. Et pourtant! Comme le tétraèdre obtenu est un agrandissement du petit tétraèdre initial avec un coefficient 2, le volume a été multiplié par 8. Or, il n'y a que quatre petits tétraèdres. Donc le volume plein est égal à 4 fois le volume initial. Donc la partie vide représente aussi 4 fois le volume initial. L'octaèdre a un volume 4 fois plus important que celui du tétraèdre de même côté. Au passage, on peut remarquer que le tétraèdre ne peut pas paver l'espace, mais que le tétraèdre et l'octaèdre pavent ensemble l'espace, comme l'illustre magnifiquement cette gravure d'Escher, "Planaires".