activité sur les trisectrices

Depuis le temps que ce blog est en sommeil, j'ai expérimenté d'autres objets .
Cette idée d'activité m' a été soufflée par Danielle Salles, du groupe géométrie de l'IREM de Basse Normandie : Les machines à trisecter les angles .

Partager un angle en deux angles égaux est possible à la règle et au compas, tous les élèves se souviennent de la bissectrice . Couper un angle en 4 ou en 8 n'est pas beaucoup plus compliqué et demande juste de la précision . Mais couper un angle quelconque en trois angles égaux n'est pas possible en se servant uniquement de la règle et du compas . C'est un problème ancien, aussi connu que la construction à la règle et au compas de la quadrature du cercle et la duplication du cube .
Par contre, d'autres solutions techniques, utilisant d'autres outils donnent des solutions de ce problème .
Après cette introdution historique, je propose à mes élèves de se mettre en groupe de 3 et d'utiliser les outils suivants, à l'aide du mode d'emploi, afin de comprendre leur fonctionnement. Avant la fin de l'heure, les élèves doivent tourner sur tous les ateliers, fabriquer l'angle trisecté dans chaque cas, et faire valider par le professeur la bonne utilisation de l'objet , puis choisir deux de ces objets et ébaucher une figure géométrique pour illustrer l'objet . L'étude de ces figures est remis à la séance de module suivante, après que l'on ait débattu sur ce que doit avoir une figure mathématique, pour servir de base efficace pour une démonstration .

les objets à trisecter sont :
Le tomahawk ( ou le trisecteur de Bergery )
fabrication : une planchette découpée à la scie sauteuse

La boîte à camembert :
fabrication: une tringle à rideaux, une vis qu s'insère dans cette rainure .
La figure géométrique est presque visible, mais je ne pense pas pouvoir la cacher .

Le té :

Il est à noter que ces trois premiers outils se ramènent exactement à la même figure géométrique et au même raisonnement . Sur les deux outils que l'élève doit étudier, il devra en étudier obligatoirement un parmi ces trois, et choisir le second parmi les trois suivants, qui amènent à des démonstrations tout à fait différentes .

Le double bisecteur :
Des barres de plastique et des attaches parisiennes . On peut opérer une fente sur les barres des trisecteurs, mais on peut aussi se débrouiller en superposant deux bisecteurs .

Inspiré du trisecteur de MacLaurin trouvé sur le site de Geogebra
Fabrication: barres de mecanno et élastiques .

Avec des barres de mécanno :
fabrication: deux tasseaux tournent autour d'une rainure . L'angle formé à la fin par ces deux tasseaux est le tiers d'un angle matérialisé par le triangle construit à l'aide des barres de mécanno .

il existe aussi une méthode de trisection utilisant des pliages, je ne l'ai pas mentionnée, car elle fait un peu redite avec les premières trisectrices .


Les modes d'emploi sont sur ce fichier PDF

Après avoir débattu de la figure mathématique, de ce qu'elle doit comporter ( nom de points, égalité de longueur, angles droits ), les élèves devaient rendre la démonstration du fonctionnement de deux d'entre elles  ( une des 3 premières et une des trois dernières ) .
Les résultats étaient un peu décevants, même s'il y eut des idées très intéressantes d'appropriation du problème . Au vu de certaines erreurs, je me suis aperçu que le fait d'avoir juste la photo ne suffisait pas toujours à faire la figure . Aussi si je recommence cette activité très riche, je laisserai ces objets à la disposition de mes élèves au fond de ma salle, afin qu'ils puissent le manipuler de nouveau s'ils en sentent le besoin et vérifient certaines propriétés qu'ils auraient entrevues .

Quelques extraits de copie :
Des pliages pour représenter les transformations des triangles dans le té :

le passage du dessin à la figure en trois étapes :

Juste un dessin, pas au moment où c'est intéressant :

Au final, ce travail a amené les élèves à réfléchir et à passer, comme le dirait Ruben Rodriguez, d'un passage d'un univers expérimentable des machines à un univers formalisé des figures, puis à un univers des idées et des démonstrations .

Un exemple :

Univers expérimentable de la machine : entre les deux vis E et D, il y a le même nombre de trous qu'entre les deux vis D et C .

Univers formalisé de la figure mathématique :

Univers de la démonstation :
ED = DC donc le triangle EDC est isocèle en D .


Même s'il fut enrichissant, et même si le bagage nécessaire est du niveau de quatrième, ce ne fut pas un exercice facile pour les élèves, car il demande beaucoup de recul, d'autant plus difficile, comme le dit l'une de mes très bonnes élèves, qu'il n'y avait pas la solution sur Internet .



Activité géométrie dans l'espace ( seconde )

Une activité pour introduire la représentation des solides en perspective cavalière et faire des calculs de volume . Dans un premier temps, l'élève doit construire un tétraèdre en origami. Pour cela, je lui montrerai ce petit film


et il aura une fiche avec des photos pour le faire à tête reposée. Au passage, il pourra réfléchir pour démontrer que les faces obtenues par pliage sont des triangles équilatéraux. Une fois plié, l'élève doit repérer et calculer la longueur du côté, la position du centre de la face puis la hauteur à l'aide du théorème de Pythagore. Il pourra ainsi calculer le volume du tétraèdre qu'il vient de fabriquer. Une fois les tétraèdres fabriqués, les élèves ont la consigne d'assembler les tétraèdres de manière à obtenir un tétraèdre avec des dimensions doublées. on se rend vite compte qu'il ne sert à rien de coller les tétraèdres face contre face, ni même arête contre arête, et qu'en fait, il faut les poser sommet sur sommet, même si le solide obtenu contient un gros trou . Mais quelle est la forme de ce trou ? C'est difficile à voir ... Deux solutions pour mieux s'en rendre compte : des tiges aimantées . 1) On refabrique les quatre tétraèdres les uns sur les autres, puis on enlève ce qui est en trop... 2) On dessine les quatre tétraèdres en perspective cavalière. Au passage, on rappelle les règles : deux droites parallèles dans l'espace sont représentées par deux droites parallèles sur le dessin. Sur des droites parallèles, les proportions de longueur sont conservées. En repassant en rouge les arêtes du trou, on se rend compte qu'on a représenté un octaèdre, et que ses arêtes parallèles se retrouvent sur la figure. On arrive à la partie presque magique de l'activité. Quel est le volume de l'octaèdre obtenu? Les élèves, sûrement un peu refroidis par le calcul du volume du tétraèdre, vont y aller à rebrousse-poil. Et pourtant! Comme le tétraèdre obtenu est un agrandissement du petit tétraèdre initial avec un coefficient 2, le volume a été multiplié par 8. Or, il n'y a que quatre petits tétraèdres. Donc le volume plein est égal à 4 fois le volume initial. Donc la partie vide représente aussi 4 fois le volume initial. L'octaèdre a un volume 4 fois plus important que celui du tétraèdre de même côté. Au passage, on peut remarquer que le tétraèdre ne peut pas paver l'espace, mais que le tétraèdre et l'octaèdre pavent ensemble l'espace, comme l'illustre magnifiquement cette gravure d'Escher, "Planaires".

de la topologie des super héros

La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). ( Wiki)
Le premier problème qui peut être relié à la topologie est le problème des 7 ponts de Koenigsberg, étudié en 1736 par la mathématicien suisse Léonard Euler.
Plus tard, en 1895, Henri Poincarré lance les premières bases de la topologie dans son ouvrage analysis situs et introduit la notion d'homologie qui nous intéresse ici.

Pour parler en grand vulgarisateur, on s'intéresse au nombre de trous dans les volumes. Par exemple, on différencie la boule ( pas de trous) du donut ( le tore) qui a un trou. On aura beau déformer continument la boule, sans arrachement, jamais on n'obtiendra de tore, et réciproquement.
Le topologue va malaxer, étirer, déformer à l'envi des volumes de caoutchouc afin d'obtenir des volumes topologiquement équivalents.

Une blague sur les topologues est qu'un topologue confond une tasse avec une anse et un donut .


Le meilleur professeur de topologie que l'on puisse rêver est le professeur Richards, chef des quatre fantastiques, aussi appelé mister Fantastic. Un brillant scientifique doublé d'une boule de caoutchouc continument déformable, c'est le rêve.

En recherchant les différentes manifestations du pouvoirs de Mister Fantastic par le king Jack Kirby, je prétends que Jolly Jack avait compris intuitivement la notion d'équivalence topologique. Exemples à l'appui.

On pourrait résumer le pouvoir de Red Richards en disant qu'il est topologiquement équivalent à une boule .

Donc, par déformation continue, Mister Fantastic peut se transformer en une boule.


Il n'a donc aucun trou, et ne peut donc pas être percé par des balles. En effet, au moindre trou, sa topologie deviendrait celle d'un donut.
Et si Red s'était fait percer une oreille avant d'obtenir ses pouvoirs, ses pouvoirs auraient sans doute été modifiés. Il aurait sans doute pu déformer et déplacer ce trou afin que les balles passent au travers de ce trou.


Donc, il dispose de deux statégies pour une attaque par balle. Retenir les balles en déformant continument son corps de manière à accompagner leur parcours ou se déformer de manière à les éviter ( dessin K Pollard)



La boule est topologiquement équivalente a un pavé rectangualaire ( toute personne qui a fait le la patisserie peut en témoigner) et aussi en sac ( non troué), ce qui peut s'avèrer pratique si on veut capturer Hulk par exemple.


Pour se tranformer en tore, Red doit recoller sa structure, en retenant une partie de son corps avec son bras.



Dans tous les épisodes des FF par Kirby de ma collection, j'ai pu constater qu'il respectait la déformation continue et l'équivalence à la boule. Sauf à ces quelques exceptions près, mais je crois qu'on peut les imputer aux encreurs, moins bons topologues.

Dans FF11, les deux bras semblent soudés au niveau du coude, ce qui le rendrait équivalent au tore. Il s'agit sans aucun doute d'une erreur d'encrage, ou alors il y avait une bulle à la place de l'erreur, cette erreur est trop grossière pour être voulue .



Dans FF14, Mister Fantastic se transforme en filet pour capturer Namor. L'encrage semble donner l'idée d'un volume avec de nombreux trous :


Heureusement, en gros plans, Kirby explique la façon d'obtenir ce filet tout en gardant la structure de boule. Ca semble mieux marcher. Encore faudrait-il étudier cette structure en filet à l'aide de la théorie des graphes pour en être sûr.


Même schéma dans FF17. Kirby semble percer de nombreux trous dans la structure de M. Fantastic . Mais il corrige l'idée dans l'image suivante nous dévoilant son truc et ne laisse plus de doute: c'est bien une erreur d'encrage .


Je ne pense pas que Jack Kirby ait tenu un livre de topologie dans ses mains, mais son intuition de la déformation d'une boule était parfaitement cohérente sur les 102 épisodes qu'il a dessinés.

Mais comme pour comprendre une notion, il peut être intéressant d'avoir des contre-exemples, on m'a signalé ces petits monstres multicolores qui ne connaissent pas la topologie .

le carré magique ( puzzle)

Un devoir maison que j'ai donné en 1S, qui étudie un puzzle vendu sous le nom carré magique. Il est constitué de quatre pièces superposables et peut dans une configuration, donner un carré de côté 10cm et dans une autre, donner un carré un peu plus grand, dans lequel un trou carré de côté 2 cm a été opéré en son centre. J'ai choisi les valeurs afin de trouver dans les calculs un trinôme qui se simplifie facilement et des valeurs simples pour la construction, mais on peut choisir n'importe quelles valeurs au départ. La construction des ce puzzle joue sur un double découpage du plan. 1 un pavage avec deux carrés de tailles différentes: 2 un pavage avec un carré ayant pour sommets les centres des quatre grands carrés reliés par un petit : Cette construction permet de démontrer de façon fort jolie la théorème de Pythagore. Henri Perigal, un agent de change londonien du 19eme a trouvé cette dissection du carré en 1874. Henri Dudeney, le célèbre créateur de jeux mathématiques, l'a popularisé en 1917. Il est à noter que l'on peut avoir les deux solutions en une manipulation, après avoir relié les pièces au moyen d'une charnière . Je ne sais pas si ça existe, mais je pense qu'on peut imaginer des tables carrées sur mesure qui pourraient s'adapter en quelques manoeuvres autour d'un pilier central .

Un problème sur la tapisserie de Bayeux

Professeur dans un lycée de Bayeux, suite à des discussions avec des collègues sur des problèmes de mathématiques concernant le patrimoine local, je me suis mis en quête de monuments de la ville pouvant succiter des questionnements mathématiques.
J'ai arpenté la ville, et, mis à part une courbe du midi sur la façade de l'hotel du cadran,
et un tétraèdre issu des plages du Débarquement (le même que ceux-ci)

, je n'ai pas trouvé grand chose.
Et puis, j'ai pensé à un roman que j'ai lu il y a deux ans, "Intrigue à l'anglaise" d'Adrien Goetz, qui se déroule à Bayeux autour de sa broderie et dans lequel l'un des héros s'amuse avec une reproduction de la tapisserie de Bayeux, en l'enroulant autour d'un cylindre. Une théorie amusante, qui peut faire penser aux colonnes de Trajan ou à des colonnes du XIeme siècle retrouvées en Allemagne et retraçant des scènes de la vie du Christ . Une idée astucieuse et séduisante, à prendre comme elle est. En tout cas, cela pose des questions mathématiques intéressantes.
J'ai écrit à l'auteur du roman qui était ravi et qui m'a donnée les références d'un livre avec une reproduction de la tapisserie très pratique pour faire une maquette.
A l'aide d'extraits du roman, j'ai créé ce devoir en temps libre et cette maquette.




Sur cette maquette, avec les alignements évoqués dans le roman, on peut retrouver le diamètre de cette colonne hypothétique et on trouve des coincidences amusantes.
Presque sur le même verticale, le serment d'Harold , puis, au dessus le doigt de Dieu qui viendrait attester ce serment, puis encore au dessus, la comète, sorte de message divin.

Je n'ai pas encore donné le devoir, j'espère que cette vision amusante de notre trésor local les motivera davantage, et que le côté "lecture d'un extrait de roman à l'aide des maths" séduira les élèves et leur offrira des ouvertures. Une discussion avec un élève de 1S qui se dit plus littéraire que matheux m'invite à croire que c'est une piste intéressante .
Le regret que j'ai, c'est qu'il n'existe pas ou plus de colonne pouvant coller avec les résultats trouvés. J'aurais tant aimé faire une sortie à la cathédrale de Bayeux avec tous mes élèves armés de mètres de couturières pour mesurer le tour des cylindres, mais aucun pilier n'est cylindrique.
Ni dans l'abbaye aux dames, ni dans l'abbaye aux hommes, d'ailleurs.

Planche de Galton (seconde, première)

Cette année, je suis nommé en lycée, et mon projet de faire des bricolages pour le programme de collège se trouve modifié. Réaliser des outils visuels et tactiles pour l'enseignement des maths en lycée me semble un peu plus ardu, et limite hors sujet, le programme allant vers davantage d'abstraction. Toutefois, pour certaines leçons, comme la géométrie dans l'espace, cette approche peut être intéressante. J'avais réalisé cet objet il y a quelques années, mais comme j'en aurai certainement besoin cette année, je l'ai récupéré ( Merci Jacques). Une planche de Galton, du nom de son inventeur, Sir Francis Galton . Deux barres amovibles en haut et en bas pour libérer les billes. J'ai utilisé des vis à tête hexagonales, afin d'avoir une probabilité 1/2 pour chaque côté. Les résultats sont corrects, j'ai voulu utiliser des obstacles à section circulaire pour fabriquer une autre planche( des tourillons en bois ), mais les résultats sont très décevants ( les billes vont très souvent sur les côtés). Avec les vis, une fois la planche posée sur un endroit équilibré, nous avons des résultats plutôt corrects. C'est le premier objet que j'avais bricolé, le gros défaut qu'il a , c'est que le matériel m'a coûté assez cher, notamment les vis de 21 ( aux alentours de 25€, si je me souviens bien)



Avec les nouveaux programmes de seconde, une place intéressante est donné à l'algorithmique, et je me suis replongé avec délice dans la programmation de petits programmes. J'ai utilisé le logiciel scratch pour l'écrire, parce que les nouveaux programmes de seconde nous proposent de découvrir ce logiciel. Je me suis amusé à effectuer une simulation de cette planche de Galton. L'un des aspects sympathiques de Scratch, c'est la possibilité de partager nos programmes aux autres internautes, qui peuvent les télécharger et les utiliser et modifier s'ils le désirent . Voici ma simulation ( prendre une valeur inférieure à 150, SVP) Activité se rapportant à la planche de Galton : Après un lancer d'une soixantaine de billes, établir un tableau des fréquences pour chaque colonne. Comment expliquer cette courbe en cloche? Lancer de billes : où la bille va-t-elle tomber? Pourquoi la bille tombe-t-elle plus souvent dans la colonne centrale? Propriété: la probabilité pour la bille de tomber dans une colonne est proportionnelle au nombre de chemins qui mènent à cette colonne. Il faut donc compter, pour chaque colonne le nombre de chemins qui y mènent. Notation d'un chemin : A chaque obstacle, la bille va soit à gauche, soit à droite. En notant G et D le fait d'aller à gauche ou à droite pour chaque obstacle, dessiner le chemin GGDDGGGD. Où la bille tombe-t-elle après ce chemin? Donner un autre chemin qui mène à la même colonne. Combien y a-t-il de chemin qui mènent dans la colonne la plus à droite? Quel est son codage? En étudiant le nombre de possibilités à chaque obstacle 1) sur les bords 2) sur un obstacle non situé sur les bords, on arrive à se rendre compte qu'on peut obtenir de proche en proche le nombre de chemins qui mènent à chaque étape. On obtient le triangle de Pascal, connu des chinois dès le 14eme siecle