jeudi 22 janvier 2015
Un ancètre des mathématiques dynamiques
En regardant les premiers essais de dessins animé sur une chaîne youtube , je suis tombé par hasard sur une pépite fascinante datant de 1911 ou 1912.
Elle est l'oeuvre d'un professeur allemand, Ludwig Münch, dont je n'ai pas trouvé d'autres traces par ailleurs . Il a réalisé de nombreux dessins animés didactiques, des folioscopes (flip-books ) montrant des propriétés géométriques, des démonstrations, ainsi que des recherches de lieux géométriques qui n'ont rien à envier à une animation sur geogebra, même si son travail a sans doute demandé beaucoup plus de travail de construction que quelques clics . Je trouve son intuition des mathématiques dynamiques très novatrice, pour une époque où le dessin animé n'était pas forcément très répandu.
Je vous mets en lien le film que j'ai trouvé sur le net .
lundi 19 janvier 2015
Somme des angles d'un triangle .
Je complète ce blog avec des idées que j'avais eues il y a longtemps, mais que je n'ai jamais complétées parce que je n'enseigne plus en collège . J'ai demandé à mon fils en cinquième d'expérimenter l'objet .
1) Préparation : Dans une boîte à chaussures (pratique car suffisamment épais pour avoir des pièces de puzzle et deux faces de couleurs différentes ) , dessiner des triangles scalènes isométriques .
1) Préparation : Dans une boîte à chaussures (pratique car suffisamment épais pour avoir des pièces de puzzle et deux faces de couleurs différentes ) , dessiner des triangles scalènes isométriques .
Découper proprement les pièces .
2) Face blanche visible , faire manipuler une petite dizaine de pièces . Quelle remarque peut-on faire ?
-Les triangles sont superposables .
-Très bien, ce qui veut dire qu'il y a des égalités pour quoi ?
-Pour les longueurs, pour les angles .
-Très bien, peux tu coder les angles égaux par des couleurs ?
Un triangle avait déjà été codé avec trois couleurs données.
Avant de coder les angles, on superpose bien les triangles pour voir s'il sont bien positionnés et ne pas se tromper de sommets . J'avais d'ailleurs dans le jeu laissé un triangle qui n'était pas isométrique . Après une brève discussion, il a été enlevé du jeu .
Une fois que les pièces ont été codées , le jeu est retourné . La consigne est d'obtenir un hexagone .
Ca ne vient pas tout de suite, mais on peut voir après deux trois essais-erreurs qu'il est nécessaire de poser côte à côte des côtés de même longueur .
Deux essais ont été nécessaires avant de trouver, mais on peut remarquer qu'on essaie de tourner autour d'un centre .
Une fois la solution trouvée, on pose un papier dessus puis on retourne la feuille .
On peut alors faire une petite discussion sur les angles , opposés par le sommet, alterne-internes, correspondants ...
La question suivante : couper cet hexagone en deux en enlevant trois triangles, que remarque-t-on ?
Ca fait un angle plat . les trois angles du triangle font un angle plat.
J'aime bien l'idée du puzzle à double face . Il est nécessaire d'avoir des faces différentes pour que la solution du puzzle soit plus facile à trouver ( si les pièces ne sont pas dans le même sens, on ne trouve pas ) . De plus, en retournant l'objet, on voit les propriétés mathématiques .
On peut alors demander de reproduire les trois triangles à la règle et au compas .
samedi 17 janvier 2015
Visualisation du cosinus et du sinus .
Voila un certain temps que je n'ai pas posté quelque chose d'intéressant sur ce blog. Pour en avoir envie, il faut en premier lieu que je sente que les articles que je vais écrire soient suffisamment intéressants et assez étayés .
Je vais co-animer dans quelques semaines un stage qui se nomme " toucher les maths"; et j'avais envie de revenir à mes fondamentaux, c'est à dire l'envie de partager et réfléchir sur ces bricolages pédagogiques, envie de retrouver l'envie d'en refaire .
Je vais présenter aujourd'hui trois bricolages qui permettent de visualiser le cosinus et le sinus d'un angle . Tous trois utilisent plus ou moins explicitement le cercle de rayon 1, chacun d'eux doit permettre de visualiser les angles . L'objectif est d'établir un lien entre deux grandeurs : la mesure de l'angle et le cosinus de l'angle ; ou entre la mesure de l'angle et le sinus de cet angle . Le premier bricolage, que j'ai déjà présenté, peut être utilisé en 4ème, pour présenter le cosinus d'un angle aigu . Il consiste en un bras articulé autour d'un axe , de longueur une unité , au bout duquel on attache un fil à plomb.
En tenant l'objet verticalement, le fil à plomb permet de visualiser le projeté orthogonal du point sur le côté adjacent .
cos ( alpha) = côté adjacent / hypoténuse = côté adjacent / 1 = côté adjacent .
On remarque que le quart de cercle n'est pas tracé, la question en quatrième est surtout l'étude des triangles rectangles . Cela dit, au bout de quelques année d'utilisation , le cercle se dessine avec l'usure de l'objet.
Le deuxième objet que j'utilise dès la seconde pour présenter les angles orientés, est une extension du précédent objet à tout le cercle trigonométrique . Ici, le cercle est tracé explicitement, les angles sont placés en radians, sur les points du cercle pour rappeler l'enroulement de la droite autour du cercle . On peut marquer aussi les angles en dizaines de degré, sans les écrire, pour faire réfléchir sur les conversions .
Au bout du bras articulé, sur le même principe , un fil à plomb, qui va permettre de projeter orthogonalement sur l'axe des cosinus .
Bon, on peut me dire, j'ai l'animation sur géogébra, pourquoi se casser les pieds avec ces manipulations parfois saugrenues ? Je trouve que la manipulation de l'objet peut donner des séquences très vivantes, très parlantes et assez mémorables pour les élèves.
Les moments où on tient l'objet devant soi, pour présenter les notions, ou, plus tard, pour interroger un élève sur les valeurs remarquables ou les variations sont des moments assez forts où on fait corps avec les notions, c'est indéfinissable .
Cet objet est particulièrement intéressant pour aborder les mesures principales, le signe d'un cosinus et d'un sinus et surtout les variations de ces deux fonctions , assez intéressant pour résoudre des équations trigonométriques .Il peut être sorti à tout moment où on peut poser ce genre de questions et peut devenir un objet de référence accroché sur un mur . C'est un objet complémentaire à celui proposé par une animation geogebra.
Pour le dernier objet, j'ai repris l'idée de Gérald Giangrande, un collègue animateur de l'irem de Caen très inventif, qui aime fabriquer des objets mathématiques , très beaux, beaucoup plus fignolés que les miens , pour le plaisir de l'idée, mais qui n'utilise ces objets que rarement en cours . Son idée est d'utiliser le cercle de diamètre 1, tournant autour de l'axe .
Cet objet utilise le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle : Le point H appartient au cercle de diamètre[OM], donc le triangle OMH est rectangle en H . Comme H appartient à l'axe des abscisses, le point H est le projeté orthogonal de M sur L'axe des abscisses . On peut donc lire le cosinus de l'angle IOM . Cet objet est un théorème en action, qui permet une lecture de mesures .
Pour fabriquer l'objet, j'ai utilisé le même principe que pour le bricolage pour le cercle circonscrit , c'est à dire trois couches de cartons superposés permettant à un point mobile ( en fait un bouton de jean surmonté d'un piton à vis ) de circuler sur un rail .
Cela dit, c'est peut être ce qui fait que cet objet est si intéressant, il est intrigant, il ne se laisse dévoiler qu'après une certaine réflexion, quand on comprend ce que ça veut dire, on est très content, un ahah mathématique comme dirait Martin Gardner, ça chatouille comme une oeuvre d'art.
Je vais présenter aujourd'hui trois bricolages qui permettent de visualiser le cosinus et le sinus d'un angle . Tous trois utilisent plus ou moins explicitement le cercle de rayon 1, chacun d'eux doit permettre de visualiser les angles . L'objectif est d'établir un lien entre deux grandeurs : la mesure de l'angle et le cosinus de l'angle ; ou entre la mesure de l'angle et le sinus de cet angle . Le premier bricolage, que j'ai déjà présenté, peut être utilisé en 4ème, pour présenter le cosinus d'un angle aigu . Il consiste en un bras articulé autour d'un axe , de longueur une unité , au bout duquel on attache un fil à plomb.
Au bout du bras articulé, sur le même principe , un fil à plomb, qui va permettre de projeter orthogonalement sur l'axe des cosinus .
(prévoir de la laine de couleur plutôt que du fil de pêche)
On se retrouve avec deux problèmes :
1) si l'angle orienté est compris entre pi et 2pi, le fil à plomb ne va pas couper l'axe .
Avec un peu d'entrainement, en accrochant la planche autour du cou , on peut synchroniser la rotation de l'axe et la droite verticale .
2) pour le sinus, il est difficile d'obtenir une droite horizontale, j'ai quelques astuces mais elles sont peu probantes : on fixe une tige mobile autour du clou, parfaitement équilibrée, tarée de chaque côté d'un même poids de quelques centaines de grammes . La tige arrive à un équilibre vertical, certes, mais ça tangue . Le mieux est de synchroniser le mouvement du bras et du fil pour avoir un fil horizontal .
Bon, on peut me dire, j'ai l'animation sur géogébra, pourquoi se casser les pieds avec ces manipulations parfois saugrenues ? Je trouve que la manipulation de l'objet peut donner des séquences très vivantes, très parlantes et assez mémorables pour les élèves.
Les moments où on tient l'objet devant soi, pour présenter les notions, ou, plus tard, pour interroger un élève sur les valeurs remarquables ou les variations sont des moments assez forts où on fait corps avec les notions, c'est indéfinissable .
Cet objet est particulièrement intéressant pour aborder les mesures principales, le signe d'un cosinus et d'un sinus et surtout les variations de ces deux fonctions , assez intéressant pour résoudre des équations trigonométriques .Il peut être sorti à tout moment où on peut poser ce genre de questions et peut devenir un objet de référence accroché sur un mur . C'est un objet complémentaire à celui proposé par une animation geogebra.
Pour le dernier objet, j'ai repris l'idée de Gérald Giangrande, un collègue animateur de l'irem de Caen très inventif, qui aime fabriquer des objets mathématiques , très beaux, beaucoup plus fignolés que les miens , pour le plaisir de l'idée, mais qui n'utilise ces objets que rarement en cours . Son idée est d'utiliser le cercle de diamètre 1, tournant autour de l'axe .
Pour fabriquer l'objet, j'ai utilisé le même principe que pour le bricolage pour le cercle circonscrit , c'est à dire trois couches de cartons superposés permettant à un point mobile ( en fait un bouton de jean surmonté d'un piton à vis ) de circuler sur un rail .
Autour du centre du cercle en carton, une plaque de plexiglas( ? , un truc récupéré sur un vieux cadre en tout cas ) va tourner à l'aide d'une vis, d'une rondelle et d'un boulon) .
J'aime particulièrement l'idée de l'objet, même si je trouve la lecture du sens de variation des fonctions beaucoup moins intuitive, il y a un obstacle , il faut ne pas oublier qu'on visualise l'intersection d'un cercle et d'une droite, il faut se dire sans cesse qu'on a le projeté orthogonal, puis qu'on obtient le cosinus et le sinus . Cela fait beaucoup d'opérations mentales.
Cela dit, c'est peut être ce qui fait que cet objet est si intéressant, il est intrigant, il ne se laisse dévoiler qu'après une certaine réflexion, quand on comprend ce que ça veut dire, on est très content, un ahah mathématique comme dirait Martin Gardner, ça chatouille comme une oeuvre d'art.
Je pense que mon collègue aura trouvé une méthode plus élégante et fabriqué un objet plus beau, un objet d'art .
J'aime assez l'idée qu'on puisse fabriquer des objets intéressants avec des bouts de carton.
mardi 27 mai 2014
pliage 2
il m'est venu une question en pliant un billet de 5 euros qui répond presque à la question :
Quel doit être le format d'un rectangle pour obtenir, après avoir plié pour amener un sommet sur le sommet opposé, puis en repliant les bouts qui dépassent, un triangle équilatéral ?
mardi 20 mai 2014
pliage
Une énigme que j'ai postée sur quelques forums :
Comment peut-on plier une feuille A4 , en un minimum de plis, sans dépassement , de manière à obtenir le triangle isocèle d'aire maximale ?
dimanche 18 mars 2012
topographie : goniomètre simplifié
Une séance de MPS, où nos élèves ont pour objectif de faire une carte d'un terrain .
Tout d'abord, je commence par montrer des images de cartes anciennes tirées d'un fascicule
"histoire de la cartographie" , éditions périscope . Je demande que représente les images projetées .
- c'est une carte.
- une carte ancienne.
- une carte, oui, mais de quoi ?
Les élèves hésitent vraiment à se lancer et dire une carte de France . Les indices en faveur de la carte de France sont la péninsule ibérique et la position de l'Angleterre , mais on a bien du mal à repérer la Bretagne et encore davantage notre Normandie .
- oui, c'est une carte de France, dite de Ptolémée, tirée de la Cosmographie de Ptolémée, datée de 1486 à Ulm .
Une seconde image, une carte dite nouvelle
- un peu mieux, mais pas encore conforme à l'idée qu'on se fait de la carte de France.
Un peu plus récente, la carte d'Oronce Fine qui a l'a construite à partir de cartes régionales et de nombreux calculs les latitudes et longitudes :
Quand Colbert crée l'Académie des sciences, l'un des premiers projets est de créer des cartes du pays plus précises et plus pratiques . L'Abbé Picard et La Hire déterminèrent alors les coordonnées des côtes du Royaune et ils obtinrent cette carte en 1682 ( première carte établie sur le méridien de Paris)
La carte suivante date de 1783 , éditée par César François Cassini de Thury (le troisième de la dynastie ). Elle est beaucoup plus précise .
Mais d'où vient cette précision, comment a-t-elle été obtenue ?
Après un zoom de l'image, on a une explication .
Ces petits triangles qui parsèment toute la carte de France sont en fait les traces de mesures d'angles, qui ont permis des calculs de longueurs précis .
Je propose alors à mes élèves de faire un petit essai simplifié .
La veille, j'avais repéré à la craie quelques points dans la cour, à des distance les uns des autres de l'ordre d'une dizaine de mètres , en faisant attention que certains points ne soient pas visibles à partir d'autres points . J'avais emprunté quelques plots aux collègues de sport que j'ai placés sur les points pendant la récré précédant le cours .
J'ai fabriqué un goniomètre simplifié pour les mesures d'angles .
sur une boîte en bois, j'ai posé une feuille de carton sur laquelle j'ai dessiné un rapporteur à 360°, et j'ai vissé sur le centre de ce rapporteur une barre de meccano que j'ai pliée à 90° sur les deux bords , pour obtenir une alidade , un viseur . Avec un clou que je fixe en le plaçant dans le trou plié et en l'attachant avec un colson, j'obtiens une aiguille qui permet la mesure de l'angle .
Je pose ma boîte sur un tabouret de manière à avoir un appareil d'aplomb et à hauteur d'yeux et les mesures peuvent commencer .
J'ai mesuré une seule longueur , et avec celle-ci je peux en déduire toutes les autres .
Dans la cour, je propose à mes élèves d'effectuer les mesures .Un élève est chargé de la visée. Un autre plante un drapeau sur l'un des plots, afin de faciliter la visée, puis une fois celle-ci faite, va planter son drapeau sur l'autre plot .
Protocole d'utilisation du goniomètre
Ce goniomètre simplifié permet de mesurer des angles entre des points qui se trouvent à la même altitude . Parfois des obstacles empêchent de mesurer tous les angles .
1)Placer le goniomètre au dessus du premier repère, vérifier qu'il est à plat grâce au niveau .
Remise à zéro
2)Avec le viseur, viser le second répère de manière à ce que les deux troux de l'alidade soient alignés avec la cible .
3)Déplacer alors le rapporteur de façon à ce que le repère soit sur 0° .
Mesure de l'angle
4)Sans bouger le rapporteur, viser le troisième repère .
5)Lire et noter l'angle obtenu sur le rapporteur .
Pour déterminer les angles d'un triangle, il suffit d'en mesurer deux .
(pour ceux qui ont lu Jules Verne, le projet de MPS porte sur l'île Mystérieuse )
Après cette introduction et la séance des mesures, nous retournons en classe et je présente le théorème d'Al Kashi et la loi des sinus et il reste 45 minutes pour effectuer les calculs et un dessin à l'échelle . Un travail motivé et rapide . En expérimentant et en effectuant les mesures, les élèves ont bien compris tous les enjeux des calculs et n'ont pas éprouvé de difficultés, je les ai trouvés réactifs devant les erreurs de calculs, davantage que dans un calcul juste sur papier .
L'objet n'est pas assez précis pour faire des relevés topographiques précis, il est juste fait pour comprendre l'idée de triangulation . Bien que la visée soit assez précise, la mesure de l'angle l'est moins. L'un des perfectionnements possibles est de faire plusieurs fois de suite la mesure avec un cercle répétiteur . Ainsi, si on effectue 10 mesures identiques, la précision est 10 fois meilleure .
C'est ce genre de calcul qui, avec Delambre et Méchain, permit de calculer la longueur d'un méridien et aboutit à la définition du mètre, après la révolution française .
Tout d'abord, je commence par montrer des images de cartes anciennes tirées d'un fascicule
"histoire de la cartographie" , éditions périscope . Je demande que représente les images projetées .
- une carte ancienne.
- une carte, oui, mais de quoi ?
Les élèves hésitent vraiment à se lancer et dire une carte de France . Les indices en faveur de la carte de France sont la péninsule ibérique et la position de l'Angleterre , mais on a bien du mal à repérer la Bretagne et encore davantage notre Normandie .
- oui, c'est une carte de France, dite de Ptolémée, tirée de la Cosmographie de Ptolémée, datée de 1486 à Ulm .
Une seconde image, une carte dite nouvelle
Un peu plus récente, la carte d'Oronce Fine qui a l'a construite à partir de cartes régionales et de nombreux calculs les latitudes et longitudes :
Quand Colbert crée l'Académie des sciences, l'un des premiers projets est de créer des cartes du pays plus précises et plus pratiques . L'Abbé Picard et La Hire déterminèrent alors les coordonnées des côtes du Royaune et ils obtinrent cette carte en 1682 ( première carte établie sur le méridien de Paris)
La carte suivante date de 1783 , éditée par César François Cassini de Thury (le troisième de la dynastie ). Elle est beaucoup plus précise .
Mais d'où vient cette précision, comment a-t-elle été obtenue ?
Après un zoom de l'image, on a une explication .
Je propose alors à mes élèves de faire un petit essai simplifié .
La veille, j'avais repéré à la craie quelques points dans la cour, à des distance les uns des autres de l'ordre d'une dizaine de mètres , en faisant attention que certains points ne soient pas visibles à partir d'autres points . J'avais emprunté quelques plots aux collègues de sport que j'ai placés sur les points pendant la récré précédant le cours .
J'ai fabriqué un goniomètre simplifié pour les mesures d'angles .
sur une boîte en bois, j'ai posé une feuille de carton sur laquelle j'ai dessiné un rapporteur à 360°, et j'ai vissé sur le centre de ce rapporteur une barre de meccano que j'ai pliée à 90° sur les deux bords , pour obtenir une alidade , un viseur . Avec un clou que je fixe en le plaçant dans le trou plié et en l'attachant avec un colson, j'obtiens une aiguille qui permet la mesure de l'angle .
Je pose ma boîte sur un tabouret de manière à avoir un appareil d'aplomb et à hauteur d'yeux et les mesures peuvent commencer .
J'ai mesuré une seule longueur , et avec celle-ci je peux en déduire toutes les autres .
Dans la cour, je propose à mes élèves d'effectuer les mesures .Un élève est chargé de la visée. Un autre plante un drapeau sur l'un des plots, afin de faciliter la visée, puis une fois celle-ci faite, va planter son drapeau sur l'autre plot .
Protocole d'utilisation du goniomètre
Ce goniomètre simplifié permet de mesurer des angles entre des points qui se trouvent à la même altitude . Parfois des obstacles empêchent de mesurer tous les angles .
1)Placer le goniomètre au dessus du premier repère, vérifier qu'il est à plat grâce au niveau .
Remise à zéro
2)Avec le viseur, viser le second répère de manière à ce que les deux troux de l'alidade soient alignés avec la cible .
3)Déplacer alors le rapporteur de façon à ce que le repère soit sur 0° .
Mesure de l'angle
4)Sans bouger le rapporteur, viser le troisième repère .
5)Lire et noter l'angle obtenu sur le rapporteur .
Pour déterminer les angles d'un triangle, il suffit d'en mesurer deux .
Après cette introduction et la séance des mesures, nous retournons en classe et je présente le théorème d'Al Kashi et la loi des sinus et il reste 45 minutes pour effectuer les calculs et un dessin à l'échelle . Un travail motivé et rapide . En expérimentant et en effectuant les mesures, les élèves ont bien compris tous les enjeux des calculs et n'ont pas éprouvé de difficultés, je les ai trouvés réactifs devant les erreurs de calculs, davantage que dans un calcul juste sur papier .
L'objet n'est pas assez précis pour faire des relevés topographiques précis, il est juste fait pour comprendre l'idée de triangulation . Bien que la visée soit assez précise, la mesure de l'angle l'est moins. L'un des perfectionnements possibles est de faire plusieurs fois de suite la mesure avec un cercle répétiteur . Ainsi, si on effectue 10 mesures identiques, la précision est 10 fois meilleure .
C'est ce genre de calcul qui, avec Delambre et Méchain, permit de calculer la longueur d'un méridien et aboutit à la définition du mètre, après la révolution française .
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