topographie : goniomètre simplifié

Une séance de MPS, où nos élèves ont pour objectif de faire une carte d'un terrain .
Tout d'abord, je commence par montrer des images de cartes anciennes tirées d'un fascicule
"histoire de la cartographie" , éditions périscope . Je demande que représente les images projetées .

- c'est une carte.
- une carte ancienne.
- une carte, oui, mais de quoi ?
Les élèves hésitent vraiment à se lancer et dire une carte de France . Les indices en faveur de la carte de France sont la péninsule ibérique et la position de l'Angleterre , mais on a bien du mal à repérer la Bretagne et encore davantage notre Normandie .
- oui, c'est une carte de France, dite de Ptolémée, tirée de la Cosmographie de Ptolémée, datée de 1486 à Ulm .
Une seconde image, une carte dite nouvelle

- un peu mieux, mais pas encore conforme à l'idée qu'on se fait de la carte de France.
Un peu plus récente, la carte d'Oronce Fine qui a l'a construite à partir de cartes régionales et de nombreux calculs les latitudes et longitudes :

Quand Colbert crée l'Académie des sciences, l'un des premiers projets est de créer des cartes du pays plus précises et plus pratiques . L'Abbé Picard et La Hire déterminèrent alors les coordonnées des côtes du Royaune et ils obtinrent cette carte en 1682 ( première carte établie sur le méridien de Paris)

La carte suivante date de 1783 , éditée par César François Cassini de Thury (le troisième de la dynastie ). Elle est beaucoup plus précise .

Mais d'où vient cette précision, comment a-t-elle été obtenue ?
Après un zoom de l'image, on a une explication .

Ces petits triangles qui parsèment toute la carte de France sont en fait les traces de mesures d'angles, qui ont permis des calculs de longueurs précis .
Je propose alors à mes élèves de faire un petit essai simplifié .
La veille, j'avais repéré à la craie quelques points dans la cour, à des distance les uns des autres de l'ordre d'une dizaine de mètres , en faisant attention que certains points ne soient pas visibles à partir d'autres points . J'avais emprunté quelques plots aux collègues de sport que j'ai placés sur les points pendant la récré précédant le cours .
J'ai fabriqué un goniomètre simplifié pour les mesures d'angles .

sur une boîte en bois, j'ai posé une feuille de carton sur laquelle j'ai dessiné un rapporteur à 360°, et j'ai vissé sur le centre de ce rapporteur une barre de meccano que j'ai pliée à 90° sur les deux bords , pour obtenir une alidade , un viseur . Avec un clou que je fixe en le plaçant dans le trou plié et en l'attachant avec un colson, j'obtiens une aiguille qui permet la mesure de l'angle .

Je pose ma boîte sur un tabouret de manière à avoir un appareil d'aplomb et à hauteur d'yeux et les mesures peuvent commencer .

J'ai mesuré une seule longueur , et avec celle-ci je peux en déduire toutes les autres .
Dans la cour, je propose à mes élèves d'effectuer les mesures .Un élève est chargé de la visée. Un autre plante un drapeau sur l'un des plots, afin de faciliter la visée, puis une fois celle-ci faite, va planter son drapeau sur l'autre plot .

Protocole d'utilisation du goniomètre
Ce goniomètre simplifié permet de mesurer des angles entre des points qui se trouvent à la même altitude . Parfois des obstacles empêchent de mesurer tous les angles .

1)Placer le goniomètre au dessus du premier repère, vérifier qu'il est à plat grâce au niveau .
Remise à zéro
2)Avec le viseur, viser le second répère de manière à ce que les deux troux de l'alidade soient alignés avec la cible .
3)Déplacer alors le rapporteur de façon à ce que le repère soit sur 0° .
Mesure de l'angle
4)Sans bouger le rapporteur, viser le troisième repère .
5)Lire et noter l'angle obtenu sur le rapporteur .

Pour déterminer les angles d'un triangle, il suffit d'en mesurer deux .

(pour ceux qui ont lu Jules Verne, le projet de MPS porte sur l'île Mystérieuse )

Après cette introduction et la séance des mesures, nous retournons en classe et je présente le théorème d'Al Kashi et la loi des sinus et il reste 45 minutes pour effectuer les calculs et un dessin à l'échelle . Un travail motivé et rapide . En expérimentant et en effectuant les mesures, les élèves ont bien compris tous les enjeux des calculs et n'ont pas éprouvé de difficultés, je les ai trouvés réactifs devant les erreurs de calculs, davantage que dans un calcul juste sur papier .

L'objet n'est pas assez précis pour faire des relevés topographiques précis, il est juste fait pour comprendre l'idée de triangulation . Bien que la visée soit assez précise, la mesure de l'angle l'est moins. L'un des perfectionnements possibles est de faire plusieurs fois de suite la mesure avec un cercle répétiteur . Ainsi, si on effectue 10 mesures identiques, la précision est 10 fois meilleure .

C'est ce genre de calcul qui, avec Delambre et Méchain, permit de calculer la longueur d'un méridien et aboutit à la définition du mètre, après la révolution française .

pantographes

J'ai trouvé dans des brocantes deux pantographes, vendus comme jouets .
Le premier, non réglable, permet des faire des agrandissements de rapport 2, 1/2 , ou de tracer le symétrique par rapport à un point .
Le second , réglable permet de faire des homothéties de rapport positifs ou négatifs, dont on peut choisir le rapport parmi certaines valeurs .
Il est assez facile d'en fabriquer un avec des barres de meccano, une fois qu'on a réglé le problème technique du crayon .

Ce qui me semble intéressant dans ces objets, c'est qu'ils posent des questions qui peuvent être résolues à différents niveaux . Ils permettent aussi d'avoir un application pratique .
Dans certains cas, même, il me semble qu'ils éclaircissent certaines techniques, devenant dans l'esprit de certains élèves, une figure-clé .

L'instant où je manipule cet objet devant ma classe est l'un de mes préférés de l'année. Je fais un petit dessin au tableau , puis en étant extrèmement concentré sur cet objet, je dessine sans regarder ma main, repassant avec le pointeur le dessin d'origine . Le résultat est un agrandissement de rapport k de mon dessin d'origine, devant l'étonnement de mes élèves .

A ce moment, je présente l'objet, le pantographe, on débat de ses principales caractéristiques , on fait une figure codée de l'objet et je pose deux questions :
1) Démontrer que les points A, B et C sont alignés et que AC = k AB .
2) Si l'on trace l'image de deux points donnés M et N , montrer qu'on obtient deux points M' et N' tels que ( MN )// ( M'N') et M'N' = k MN .

D'un autre côté, d'un point de vue technique, on peut aussi se poser une troisième question, qui porte sur le rayon d'action de l'objet :
3) Pour quels points peut-on construire les images avec cet objet ?

Niveau quatrièmes

Le premier objet peut faire l'objet d'un bon exercice en 4eme . Etonnament, c'est une démonstration assez compliquée . Mais peut être que j'ai loupé quelque chose qui simplifie le problème.

prérequis :! parallélogrammes, théorème des milieux .

1) Montrer que B est le milieu de [AC ]
Par construction ( on peut le vérifier en manipulant l'objet ), on a : AE = ED = EF = FC = FB = BE ; De plus, E est le milieu de [DA ] et F est le milieu de [DC ] ;
on peut alors construire une figure codée .
a) DF = EB et ED = FB .
Un quadrilatère qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme
donc EDFB est un parallélogramme .
b) EDFB est un parallélogramme
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles .
donc (ED) // ( BF) et ( EB) // ( DF )
c) Dans le triangle DAC , F est le milieu de [DC] et la droite ( FB) est parallèle à la droite ( DA)
2ème théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu .
Donc cette droite ( DB) passe par le milieu de [AC]
Ici, on ne prouve pas encore que B est le milieu de [AC ]
d) Dans le triangle DAC , E est le milieu de [DA] et la droite ( EB) est parallèle à la droite ( DC)
2ème théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu .
Donc cette droite ( EB) passe par le milieu de [AC]
d) Les droites ( EB) et ( FB) passent par le milieu de [AC] et ne sont pas parallèles, donc B est le milieu de [AC]
2) Par construction, M est le milieu de [AM' ] et N est le milieu de [AN] .
1er théorème de la droite des milieux : le segment qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié du troisième côté .
Donc (MN) // (M'N') et MN = 1/2 M'N'
3)Le lieu géométrique du point B est le disque de centre A et de rayon AD .
démonstration :
Par inégalité triangulaire, AB <= AE + EB = 2 AE = AD . Donc B appartient au disque de centre A et de rayon AD . Réciproquement, si B appartient au cercle de centre A et de rayon AD, alors le cercle de centre B et de rayon 1/2 AD et le cercle de centre A et de rayon 1/2 AD se coupent en deux points ( ou 1 point si A,E et B sont alignés ) . Donc le point B peut être atteint avec cet objet .
Le pantographe à symétrie centrale
En échangeant le point fixe avec le point témoin, on obtient un objet qui dessine le symétrique du dessin par symétrie centrale .

Démonstration : On a prouvé que B est le milieu de [AC] donc C est le symétrique du point A par la symétrie de centre B .

Autre réglage: en échangeant le témoin mobile et le crayon traceur, on obtient une réduction de rapport 1/2

Pantographe par homothétie .

On peut cette fois ci régler le coefficient . Les coefficients choisis pour ce jouet sont 1.5 , 2, 2.5 , 3, 3.5, 4, 5, 6, 8 et 10 .
En échangeant les rôles des points A, B et C, on peut doc obtenir des homothéties avec ces rapports , mais aussi les inverses de ces rapports, ou encore des homothéties de rapports k/(1-k), comme nous le verrons tout à l'heure .

Niveau troisième

Par construction, D, E ,A sont alignés , D, F , C sont alignés dans cet ordre. AD = k AE , DC = k DE . EB = DF et ED = BF
Prérequis : Parallélogramme ,Théorème de Thalès, réciproque du théorème de Thalès .

Le raisonnement est assez analogue au précédent .

Niveau seconde
Prérequis : multiplication d'un vecteur par un nombre, vecteurs colinéaires .
1) Par construction,

En utilisant la relation de Chasles

Une ligne de calcul pour ce qui avait été bien plus pénible auparavant ;
Il me semble de plus que ce calcul est le grand classique du calcul vectoriel, mis à portée de la main . C'est un objet qui illustre à merveille la technique et les concepts mis en jeu . Pour un élève, la grande difficulté avec le calcul vectoriel est de trouver un bon chemin dans le calcul pour exprimer un vecteur en fonction d'un autre . La structure de cet objet où les deux directions à prendre sont visibles, au contraire du vecteur à exprimer, permet d'avoir les données du problème sans élément parasitant le calcul . A mon avis, c'est une figure clef pour la compréhension de ce genre de problème où il faut exprimer un vecteur en fonction d'un autre .



2) On a placé M et M', ainsi que N et N' .
On a prouvé que

On a donc

Ce qui prouve que (MM') // (NN') et NN' = k NN' .

Construire son pantographe .

Je me suis mis en tête de construire mon propre pantographe, avec des barres de meccano .
Les principaux problèmes sont le point fixe, le crayon témoin et le crayon traceur .
Pour le point fixe, j'ai utilisé un embout ventouse de fléchettes de pistolet pour enfants .

Pour les crayons, j'ai opté pour le stylo bic classique, même si je déplore un peu trop de jeu . L'un des deux stylos ne fonctionne plus , ce sera le crayon témoin.

Les résultats sont assez satisfaisants dans l'idée, un peu moins dans la pratique, mais pas si mal, on va dire .
Le principal avantage de ce procédé est le choix des coefficients pour les homothéties .
Pour un résultat correct au tracé, ne pas chercher de coefficients trop grands ou trop proches de 1 , mais a priori , on peut considérer que

On peut alors se poser la question du nombre de rapports possibles, en recherchant les fractions égales par exemple .
Suivant la position relative des points fixes, du témoin et du traceur, on obtient des homothéties de rapport a/b , b/a , a/(a-b) ou encore (a-b)/a .

maths et bd

Je suis en train de préparer quelques petits articles, mais pour alimenter un peu le blog, je poste cette bande avec laquelle j'ai gagné le deuxième prix du concours maths et BD organisé par le site images des mathématiques avec le magazine Tangente ;

Je ne sais pas du tout si c'est exploitable en classe . j'espère juste que cette planche amènera autant de questions mathématiques que l'on peut se poser devant une démonstration sans mots ou une bande dessinée de l'oubapo.
Pour la construction des cases, je n'ai utilisé que la règle et le té, sans jamais faire de mesures de longueur, en traçant uniquement des diagonales et des droites parallèles .

paysage champêtre et géométrique

En me baladant en vélo, j'ai trouvé cette vue de saison intéressante .

Château d'eau : cylindre et tronc de cône .
Centre de valorisation des gaz des déchets (à droite, en blanc ): sphère.
Tas de betterave: modélisable en première approche par la réunion du prisme droit à base triangulaire et de deux  demi cônes, en seconde approche -après avoir réfléchi à mes jeunes années où j'ai benné quelques tombereaux de betteraves- , sans doute la réunion de plusieurs de ces solides approximativement dans le même axe .
Betterave: approximativement , cône et calotte, peut être assez proche de la sculpture à courbure négative que j'ai vu à la fondation Cartier .

Après tout , quand on est en vélo, les idées se choquent de manière inattendue et créative ...

variante du paradoxe du menteur

Ce midi, après avoir mangé le poulet dominical, mes enfants ont voulu casser le bréchet en faisant un voeu . Chacun d'eux tire un bout de cet os, fait un voeu et tire jusqu'à ce que l'os cède . celui qui a la plus grande part aura son voeu réalisé . En l'occurrence nous cédons plus à l'appel du jeu et de la tradition familiale qu'à la superstition.
Mon grand fils, après avoir gagné, nous a avoué avoir émis le voeu que son frère gagne .

N'est ce pas une variante du paradoxe du crétois Epiménide: "Tous les crétois sont des menteurs" , ou encore réduit à sa plus simple expression: " cette phrase est fausse" ?

une calculatrice manuelle de poche ( vers 1960)

Dans les brocantes, on trouve parfois des objets assez intéressants .
Même si la technique les a complètement démodés, il leur reste le charme de l'astuce et celui de la nostalgie .
Pour un euro, j'ai fait l'acquisition de ce petit objet en plastique, avec son mode d'emploi, qui transpose les algorithmes de calcul des 4 opérations et permet de faire les 4 opérations jusque 999 999 999 . Le mode d'emploi ci dessous est assez clair, même s'il est un peu lourd et superpose des termes techniques propres à la machine à ceux des opérations en elles-mêmes (report, emprunt,... ). La fabrication est italienne , la date n'est pas mentionnée .

Elle fonctionne avec des réglettes mobiles, que l'on bouge avec un stylet .

A ce propos, j'ai trouvé quelques sites de collectionneurs de machines à calculer .
http://www.photocalcul.com/index.html
http://www.mainieri.eu/index.aspx

J'ai trouvé intéressant de comprendre le mode d'emploi et de faire un parallèle entre les algorithmes d'utilisation de cette calculatrice et ceux qu'on emploie quand on pose une opération. Ca ne sert à rien, mais c'est bien plus beau quand c'est inutile.

1) l'addition
exemple : on effectue 344 + 1572.

a)calcul à la main:
on met dans la même colonne les chiffres des unités, puis les chiffres des dizaines, puis ceux des centaines, etc ... des deux termes de l'addition.
      3 4 4
+ 1 5 7 2
__________
=   . . . .

En utilisant la calculatrice de poche :
On pointe le stylet sur le chiffre des unités du premier terme dans la colonne des unités, puis on descend jusqu'à la butée , on fait de même avec le chiffre des dizaines dans la colonne suivante, etc...
Une fois le premier terme posé, on écrira l'autre terme "par dessus" .

Sur le mode d'emploi de la calculatrice, on effectue les opérations de la gauche vers la droite, mais on peut aussi les effectuer en commençant par la droite, comme dans un calcul à la main sans changer le résultat. Je vais opérer dans ce sens .

b) on ajoute les unités .
calcul à la main:
Le total étant strictement inférieur à 10, on ne pose pas de retenue .
      3 4 4
+ 1 5 7 2
__________
=  . . . 6

calculatrice de poche
Pour effectuer une somme, il y a deux possibilités :
1)Si le stylet est sur une case blanche, alors on le descend jusqu'à la butée.
2)Si le stylet est sur une case rouge, alors on le remonte jusqu'à la butée extérieure, puis on descend le stylet de 1 sur la case des retenues de la colonne suivante .

Ce qui nous donne:
On pointe le stylet sur le 2 dans la colonne des unités . Le stylet est sur une case blanche, on le descend jusqu'à la butée inférieure . on ajoute simplement la descente de 4 rangs et la descente de 2 rang . En tout, on a descendu la colonne des unités de 6 .

c) On ajoute les dizaines :
Calcul à la main :
7 + 4 = 11 , on pose le 1 des unités et on remonte le 1 des dizaines en retenue ;

calculatrice de poche
on pointe le stylet sur le 7 . Il se trouve sur une case rouge, donc on remonte jusqu'à la butée supérieure et on descend la retenue .

comment ça marche : quand on ajoute, on descend le stylet, quand on retranche, on le remonte .
si a et b sont tels que a + b = 10 .
Alors : a + b = a + 10 + (b - 10 ) = 10 + a - (10 - b)
le 10 correspond à la mise en retenue, le a était déjà posé, on remonte du complémentaire à 10 de b .

d) on ajoute les centaines .
calcul à la main

1+3+5 = 9 ,pas de nouvelle retenue .
calculatrice de poche
la retenue est déjà descendue, on pose le stylet sur le 5, il est sur une case blanche, on descend donc le stylet jusqu'à la butée inférieure .

e) On termine avec le chiffre des milliers, on retourne la machine pour avoir le résultat .

2) La multiplication .

ici, la répartition des calculs avec un décalage à chaque fois évoque la méthode de multiplication par jalousie .
Quand on pose une multiplication de manière classique, on effectue le passage à la colonne suivante en ajoutant les retenues au fur et à mesure, contrairement à ces deux méthodes qui calcule les produits chiffre à chiffre et ajoute les résultats à la fin .