numismatique et mathématiques: quelques pièces intéressantes

J'ai pioché dans ma petite collection quelques pièces intéressantes.
Si quelqu'un peut apporter des précisions sur les pièces écrites en arabe ou proposer d'autres pièces intéressantes, je suis preneur .

du point de vue de la forme :

des polygones de Reuleaux, à diamètre constant .
Pièces anglaises

Pièces des émirats arabes unis . Que veut dire cette espèce de zéro en valeur faciale ? Je l'ai vue sur d'autres pièces, je ne peux pas croire que ce soit une pièce sans valeur ...

Une pièce anglaise en forme de dodécagone

du point de vue de ce qui est représenté

Certaines pièces représentent des formes géométriques:
Je ne connais pas la provenance de cette pièce de monnaie ( vers 1912) , mais les deux faces représentent des figures géométriques intéressantes, reproductibles à la règle et au compas .

Cette pièce marocaine est aussi riche est formes géomériques :

Une pièce dont une face glorifie la culture scientifique, en particulier la géométrie et la chimie ce n'est pas fréquent . Je ne sais pas de quel pays provient cette pièce, mais je le respecte .

Cette pièce française frappée à plusieurs reprises au début de la 3eme république puis de la 5eme république, sur laquelle Hercule est entourée de deux femmes, l'une portant un niveau à fil à plomb, dont j'avais parlé dans un précédent message . J'ai vu cet objet dans des sites un peu ésotériques, je trouve toujours cela étonnant.

paradoxe temporel de la bibliothèque

Le très bon blog du coyote propose la devinette suivante :
Une encyclopédie en 4 volumes se trouve sur une étagère très bien rangée. Chaque tome contient 500 pages sans compter les couvertures. Un ver grignote les pages de la no 1 à la no 2000.
Combien le ver a-t-il troué de pages (sans compter les couvertures) ?

cela me fait repenser à une situation de paradoxes temporels que doivent subir les pauvres héros de roman et de bande dessinée . Un paradoxe de continuité .
Voici une planche que j'ai réalisée pour un fanzine avec mon copain Geoffo qui publie par ailleurs ce mois ci son premier comic book ( je croise les doigts pour lui ).

géométrie dans ma cuisine

voici un devoir maison niveau 3eme, auquel j'ai pensé en faisant des pâtes .
Cézanne disait que tout était « Traitez la nature par le cylindre, la sphère, le cône, le tout mis en perspective, soit que chaque côté d'un objet, d'un plan, se dirige vers un point central. »
Sans doute a-t-on déformé sa pensée quand on dit que dans la nature , tout est cube, sphère, cône et cylindre . Mais finalement , peut être peut on dire que dans la cuisine, tout est dans ces solides .

Voir le Fichier : DMespace.pdf

monstration ou démonstration ? les 5 solides de Platon

J'aime beaucoup les démonstrations sans mots, ou les connaissances que l'on peut acquerrir à l'issue d'une expérience tangible . Je me demande quel peut être leur statut, leur solidité dans le monde des idées mathématiques . J'ébauche ici quelques pistes de réflexions sur un sujet sans doute trop compliqué pour moi, mais un blog est là pour échanger, débattre et progresser dans les réflexions . Enfin, c'est ainsi que je le vois .
Si j'en crois le Larousse, une démonstration, ça peut être:
1)a) l'action de rendre évidente, de prouver par l'expérience la vérité d'un fait, d'une donnée scientifique, etc...
b) Log: raisonnement établissant la vérité d'une proposition à partir d'actiomes que l'on a posés .
A la suite, trois autres acceptions qui ne s'appliquent certainement pas à des disciplines scientifiques, mais au commerce, aux sentiments et au militaire . J'en cite une tout de même .
2) Action d'argumenter, auprès du public sur les qualités d'un produit, en le faisant fonctionner, essayer ou goûter .

Pour des sciences expérimentales, c'est l'acception 1)a) qui prime .
En mathématiques, c'est l'acception 1)b) qui est, au moins depuis Euclide, la seule qui vaille.
L'expérience peut tout au plus nous donner l'idée d'une conjecture, parfois de comprendre la consistance du problème et de donner des pistes pour avancer dans le raisonnement .

Comme exemple, je peux vous présenter une démonstration, à la manière du représentant de commerce qui déballe sa marchandise de sa valise et l'essaye devant nous, du fait établi par Platon qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes . Je vais vous le montrer, vais-je vous le démontrer ? Quelle est la validité de ces petits objets que je vais déplier devant vous ? Est ce l'illustration du texte du Timée ou la démonstration transposée dans un univers tangible ?
Quelle sera la différence entre ces objets que l'on touche, et ces concepts que l'on écrit ?

Outils de construction égyptiens .

Trouvés dans un livre sur le musée du Caire, ce niveau, cette équerre et ce fil à plomb datant de la XIXème dynastie .

Bois et calcaire .(hauteur du niveau : 31 cm)
Le niveau est constitué de trois éléments de bois assemblés formant un triangle isocèle rectangle sur le sommet principal est attaché un fil avec un peson en calcaire . l'élément transversal, la base du triangle isocèle porte un repère central .
Par exemple, pour vérifier si un mur est horizontal, on pose les deux branches sur le mur. Si le fil passe par le repère central, le mur est horizontal .

Pour se servir du fil à plomb, on fait passer le fil sur le rebord de la planchette supérieure et on bouge l'objet jusqu'à ce que ce fil passe aussi sur le rebord de la planchette inférieure . . La verticalité est alors assurée .

Le bois de l'équerre a travaillé, c'est pourquoi l'angle n'est plus droit . Ce n'est pas l'équerre de Numérobis .

géométrie dans l'espace : sections de cubes

Pour présenter le problème des sections de cubes par un plan, j'ai fait une séquence de module en demi-groupe . Trois phases différentes :
1) visualisation et premières constatations .
2) construction en réel de la section d'un cube par un plan donné par trois points .
3) construction sur une figure en perspective cavalière .

1ère phase : En profitant des soldes, j'ai acheté quelques casse-tête dans des petites boîtes en plastique cubique de côté 8 cm environ . ( j'avais essayé des cube photo, mais c'est très dur d'obtenir l'étanchéité )

J'ai scotché le couvercle en essayant d'avoir le maximum d'étanchéité . Au centre de ce couvercle, à l'aide d'un tournevis chauffé au briquet, j'ai opéré un trou .

Ensuite, sur les faces, au feutre indélibile, j'ai parsemé les faces de quelques points . Les élèves disposaient d'une petite bassine d'eau et d'une pipette . Ils devaient mettre de l'eau et tourner le cube de plastique de manière à obtenir le plan passant par trois points donnés et de donner la nature de la section . ( le mot section est ainsi mis en jeu ). Avec la position des points que j'avais donnés, ils obtenaient d'abord un petit triangle, puis un trapèze, enfin un pentagone . Combien y a-t-il de possibilités quant à la nature de cette section ? Est-il possible d'avoir une section à 7 côtés ? Pourquoi ? Les questions subsidiaires étaient : quatre points donnés sont-ils coplanaires ?

Après cette phase, on dégage les résultats suivants : l'intersection du plan et d'une face est un segment de droite . Si le plan coupe deux faces opposées, il le fait suivant deux droites parallèles entre elles . Les polygones obtenus peuvent avoir 3, 4, 5 ou 6 faces .
Techniquement, je ne suis pas très satisfait du matériel que j'ai construit : il faut par exemple que je trouve un compromis sur la taille du trou, afin que les élèves puissent le remplir et vider rapidement, et que pour autant on puisse tourner le cube sans renverser de l'eau partout . Un instant, je me suis mis dans la peau d'un prof de physique ou de SVT en regardant les élèves manipuler de l'eau avec les pipettes, et ça peut générer du stress , je n'envie pas mes collègues . Enfin, les résultats obtenus étaient intéressants et on pouvait les réutiliser pour la suite .

2ème phase Les considérations géométriques précédentes vont permettre de marquer une section sur un cube en carton . J'avais réalisé 8 cubes en utilisant des ronds festonés avec 40 festons .

Le jour du module, je me suis aperçu que je pouvais me procurer des cartons cubiques de 25 cm de côté ( 1,80€ le carton ) . Cela m'aurait évité bien des heures de bricolage fastidieux . Bref . Avant de fermer la boîte , j'ai planté des attaches parisiennes pour figurer des points . sur le patron ci-dessous, voici la position approximatives des points :

La question posée est de contruire la section du cube par des plans donnés ( ABC , ABE , ABH, FGE )en plantant des punaises sur les arêtes aux endroits bien choisis et en tirant une ficelle pour figurer la surface de l'eau qui passerait par ces trois points. Les élèves disposaient du matériel suivant : le cube marqué avec ces points . du fil de cuisine . des punaises . un traceur de parallèles dans l'espace construit à l'aide d'un carton plié en trois partie avec des plis parallèles au bord .

(A l'oral, j'ai demandé pourquoi les bords demeuraient parallèles.) Un prolongeur d'arêtes : un coin en bois sur lequel j'ai fixé une punaise .

Cette partie était aussi très riche . Cette façon de poser la question a généré des erreurs que l'élève n'aurait pas commises sur le papier . Par exemple, certains ont juste tendu la ficelle entre les trois points . Cette erreur ne tient plus quand je remontre le cube en plastique rempli d'eau . La surface de l'eau dessine un segment sur chaque face, pas une ligne brisée . La ligne ne se brise que sur les arêtes . L'erreur se corrige alors et l'élève choisit alors une bonne stratégie .

Un exemple d'utilisation des outils :

tracé de section de cube par un plan
3ème phase La troisième phase se fait sur papier où les élèves transposent ces méthodes ( prolongement des arêtes, tracé des parallèles sur les faces parallèles ) sur feuilles avec des cubes en perspective cavalière . Des exercices classiques sur papier , mais le fait d'avoir préparé les techniques en touchant ce cube et ces problèmes en 3D a sans doute facilité la compréhension .