voici un devoir maison niveau 3eme, auquel j'ai pensé en faisant des pâtes .
Cézanne disait que tout était « Traitez la nature par le cylindre, la sphère, le cône, le tout mis en perspective, soit que chaque côté d'un objet, d'un plan, se dirige vers un point central. »
Sans doute a-t-on déformé sa pensée quand on dit que dans la nature , tout est cube, sphère, cône et cylindre . Mais finalement , peut être peut on dire que dans la cuisine, tout est dans ces solides .
Voir le Fichier : DMespace.pdf
samedi 16 avril 2011
mercredi 13 avril 2011
monstration ou démonstration ? les 5 solides de Platon
J'aime beaucoup les démonstrations sans mots, ou les connaissances que l'on peut acquerrir à l'issue d'une expérience tangible . Je me demande quel peut être leur statut, leur solidité dans le monde des idées mathématiques . J'ébauche ici quelques pistes de réflexions sur un sujet sans doute trop compliqué pour moi, mais un blog est là pour échanger, débattre et progresser dans les réflexions . Enfin, c'est ainsi que je le vois .
Si j'en crois le Larousse, une démonstration, ça peut être:
1)a) l'action de rendre évidente, de prouver par l'expérience la vérité d'un fait, d'une donnée scientifique, etc...
b) Log: raisonnement établissant la vérité d'une proposition à partir d'actiomes que l'on a posés .
A la suite, trois autres acceptions qui ne s'appliquent certainement pas à des disciplines scientifiques, mais au commerce, aux sentiments et au militaire . J'en cite une tout de même .
2) Action d'argumenter, auprès du public sur les qualités d'un produit, en le faisant fonctionner, essayer ou goûter .
Pour des sciences expérimentales, c'est l'acception 1)a) qui prime .
En mathématiques, c'est l'acception 1)b) qui est, au moins depuis Euclide, la seule qui vaille.
L'expérience peut tout au plus nous donner l'idée d'une conjecture, parfois de comprendre la consistance du problème et de donner des pistes pour avancer dans le raisonnement .
Comme exemple, je peux vous présenter une démonstration, à la manière du représentant de commerce qui déballe sa marchandise de sa valise et l'essaye devant nous, du fait établi par Platon qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes . Je vais vous le montrer, vais-je vous le démontrer ? Quelle est la validité de ces petits objets que je vais déplier devant vous ? Est ce l'illustration du texte du Timée ou la démonstration transposée dans un univers tangible ?
Quelle sera la différence entre ces objets que l'on touche, et ces concepts que l'on écrit ?
Si j'en crois le Larousse, une démonstration, ça peut être:
1)a) l'action de rendre évidente, de prouver par l'expérience la vérité d'un fait, d'une donnée scientifique, etc...
b) Log: raisonnement établissant la vérité d'une proposition à partir d'actiomes que l'on a posés .
A la suite, trois autres acceptions qui ne s'appliquent certainement pas à des disciplines scientifiques, mais au commerce, aux sentiments et au militaire . J'en cite une tout de même .
2) Action d'argumenter, auprès du public sur les qualités d'un produit, en le faisant fonctionner, essayer ou goûter .
Pour des sciences expérimentales, c'est l'acception 1)a) qui prime .
En mathématiques, c'est l'acception 1)b) qui est, au moins depuis Euclide, la seule qui vaille.
L'expérience peut tout au plus nous donner l'idée d'une conjecture, parfois de comprendre la consistance du problème et de donner des pistes pour avancer dans le raisonnement .
Comme exemple, je peux vous présenter une démonstration, à la manière du représentant de commerce qui déballe sa marchandise de sa valise et l'essaye devant nous, du fait établi par Platon qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes . Je vais vous le montrer, vais-je vous le démontrer ? Quelle est la validité de ces petits objets que je vais déplier devant vous ? Est ce l'illustration du texte du Timée ou la démonstration transposée dans un univers tangible ?
Quelle sera la différence entre ces objets que l'on touche, et ces concepts que l'on écrit ?
jeudi 24 mars 2011
Outils de construction égyptiens .
Trouvés dans un livre sur le musée du Caire, ce niveau, cette équerre et ce fil à plomb datant de la XIXème dynastie .
Bois et calcaire .(hauteur du niveau : 31 cm)
Le niveau est constitué de trois éléments de bois assemblés formant un triangle isocèle rectangle sur le sommet principal est attaché un fil avec un peson en calcaire . l'élément transversal, la base du triangle isocèle porte un repère central .
Par exemple, pour vérifier si un mur est horizontal, on pose les deux branches sur le mur. Si le fil passe par le repère central, le mur est horizontal .
Pour se servir du fil à plomb, on fait passer le fil sur le rebord de la planchette supérieure et on bouge l'objet jusqu'à ce que ce fil passe aussi sur le rebord de la planchette inférieure . . La verticalité est alors assurée .
Le bois de l'équerre a travaillé, c'est pourquoi l'angle n'est plus droit . Ce n'est pas l'équerre de Numérobis .
Bois et calcaire .(hauteur du niveau : 31 cm)
Le niveau est constitué de trois éléments de bois assemblés formant un triangle isocèle rectangle sur le sommet principal est attaché un fil avec un peson en calcaire . l'élément transversal, la base du triangle isocèle porte un repère central .
Par exemple, pour vérifier si un mur est horizontal, on pose les deux branches sur le mur. Si le fil passe par le repère central, le mur est horizontal .
Pour se servir du fil à plomb, on fait passer le fil sur le rebord de la planchette supérieure et on bouge l'objet jusqu'à ce que ce fil passe aussi sur le rebord de la planchette inférieure . . La verticalité est alors assurée .
Le bois de l'équerre a travaillé, c'est pourquoi l'angle n'est plus droit . Ce n'est pas l'équerre de Numérobis .
vendredi 18 mars 2011
géométrie dans l'espace : sections de cubes
Pour présenter le problème des sections de cubes par un plan, j'ai fait une séquence de module en demi-groupe . Trois phases différentes :
1) visualisation et premières constatations .
2) construction en réel de la section d'un cube par un plan donné par trois points .
3) construction sur une figure en perspective cavalière .
1ère phase : En profitant des soldes, j'ai acheté quelques casse-tête dans des petites boîtes en plastique cubique de côté 8 cm environ . ( j'avais essayé des cube photo, mais c'est très dur d'obtenir l'étanchéité )
J'ai scotché le couvercle en essayant d'avoir le maximum d'étanchéité . Au centre de ce couvercle, à l'aide d'un tournevis chauffé au briquet, j'ai opéré un trou .
Ensuite, sur les faces, au feutre indélibile, j'ai parsemé les faces de quelques points . Les élèves disposaient d'une petite bassine d'eau et d'une pipette . Ils devaient mettre de l'eau et tourner le cube de plastique de manière à obtenir le plan passant par trois points donnés et de donner la nature de la section . ( le mot section est ainsi mis en jeu ). Avec la position des points que j'avais donnés, ils obtenaient d'abord un petit triangle, puis un trapèze, enfin un pentagone . Combien y a-t-il de possibilités quant à la nature de cette section ? Est-il possible d'avoir une section à 7 côtés ? Pourquoi ? Les questions subsidiaires étaient : quatre points donnés sont-ils coplanaires ?
Après cette phase, on dégage les résultats suivants : l'intersection du plan et d'une face est un segment de droite . Si le plan coupe deux faces opposées, il le fait suivant deux droites parallèles entre elles . Les polygones obtenus peuvent avoir 3, 4, 5 ou 6 faces .
Techniquement, je ne suis pas très satisfait du matériel que j'ai construit : il faut par exemple que je trouve un compromis sur la taille du trou, afin que les élèves puissent le remplir et vider rapidement, et que pour autant on puisse tourner le cube sans renverser de l'eau partout . Un instant, je me suis mis dans la peau d'un prof de physique ou de SVT en regardant les élèves manipuler de l'eau avec les pipettes, et ça peut générer du stress , je n'envie pas mes collègues . Enfin, les résultats obtenus étaient intéressants et on pouvait les réutiliser pour la suite .
2ème phase Les considérations géométriques précédentes vont permettre de marquer une section sur un cube en carton . J'avais réalisé 8 cubes en utilisant des ronds festonés avec 40 festons .
Le jour du module, je me suis aperçu que je pouvais me procurer des cartons cubiques de 25 cm de côté ( 1,80€ le carton ) . Cela m'aurait évité bien des heures de bricolage fastidieux . Bref . Avant de fermer la boîte , j'ai planté des attaches parisiennes pour figurer des points . sur le patron ci-dessous, voici la position approximatives des points :
La question posée est de contruire la section du cube par des plans donnés ( ABC , ABE , ABH, FGE )en plantant des punaises sur les arêtes aux endroits bien choisis et en tirant une ficelle pour figurer la surface de l'eau qui passerait par ces trois points. Les élèves disposaient du matériel suivant : le cube marqué avec ces points . du fil de cuisine . des punaises . un traceur de parallèles dans l'espace construit à l'aide d'un carton plié en trois partie avec des plis parallèles au bord .
(A l'oral, j'ai demandé pourquoi les bords demeuraient parallèles.) Un prolongeur d'arêtes : un coin en bois sur lequel j'ai fixé une punaise .
Cette partie était aussi très riche . Cette façon de poser la question a généré des erreurs que l'élève n'aurait pas commises sur le papier . Par exemple, certains ont juste tendu la ficelle entre les trois points . Cette erreur ne tient plus quand je remontre le cube en plastique rempli d'eau . La surface de l'eau dessine un segment sur chaque face, pas une ligne brisée . La ligne ne se brise que sur les arêtes . L'erreur se corrige alors et l'élève choisit alors une bonne stratégie .
Un exemple d'utilisation des outils :
tracé de section de cube par un plan
3ème phase La troisième phase se fait sur papier où les élèves transposent ces méthodes ( prolongement des arêtes, tracé des parallèles sur les faces parallèles ) sur feuilles avec des cubes en perspective cavalière . Des exercices classiques sur papier , mais le fait d'avoir préparé les techniques en touchant ce cube et ces problèmes en 3D a sans doute facilité la compréhension .
1) visualisation et premières constatations .
2) construction en réel de la section d'un cube par un plan donné par trois points .
3) construction sur une figure en perspective cavalière .
1ère phase : En profitant des soldes, j'ai acheté quelques casse-tête dans des petites boîtes en plastique cubique de côté 8 cm environ . ( j'avais essayé des cube photo, mais c'est très dur d'obtenir l'étanchéité )
Techniquement, je ne suis pas très satisfait du matériel que j'ai construit : il faut par exemple que je trouve un compromis sur la taille du trou, afin que les élèves puissent le remplir et vider rapidement, et que pour autant on puisse tourner le cube sans renverser de l'eau partout . Un instant, je me suis mis dans la peau d'un prof de physique ou de SVT en regardant les élèves manipuler de l'eau avec les pipettes, et ça peut générer du stress , je n'envie pas mes collègues . Enfin, les résultats obtenus étaient intéressants et on pouvait les réutiliser pour la suite .
2ème phase Les considérations géométriques précédentes vont permettre de marquer une section sur un cube en carton . J'avais réalisé 8 cubes en utilisant des ronds festonés avec 40 festons .
La question posée est de contruire la section du cube par des plans donnés ( ABC , ABE , ABH, FGE )en plantant des punaises sur les arêtes aux endroits bien choisis et en tirant une ficelle pour figurer la surface de l'eau qui passerait par ces trois points. Les élèves disposaient du matériel suivant : le cube marqué avec ces points . du fil de cuisine . des punaises . un traceur de parallèles dans l'espace construit à l'aide d'un carton plié en trois partie avec des plis parallèles au bord .
tracé de section de cube par un plan
3ème phase La troisième phase se fait sur papier où les élèves transposent ces méthodes ( prolongement des arêtes, tracé des parallèles sur les faces parallèles ) sur feuilles avec des cubes en perspective cavalière . Des exercices classiques sur papier , mais le fait d'avoir préparé les techniques en touchant ce cube et ces problèmes en 3D a sans doute facilité la compréhension .
samedi 26 février 2011
un octaèdre en ballon
Pour l'anniversaire de mon fils,je me suis essayé aux ballons à sculpter . Après avoir lu les techniques de base ( commencer à tourner du côté du noeud, laisser un peu de queue pour ne pas éclater la ballon , la torsion simple pour fixer les bulles ), ma déformation professionnelle m'a fait penser à construire des polyèdres avec ce nouveau matériau . Après moult essais et beaucoup de ballons crevés, j'ai fabriqué cet octaèdre.
Je m'arrêterai là, parce que je pense que c'est le seul solide de Platon que je peux fabriquer avec un seul ballon . Pourquoi ?
dimanche 13 février 2011
pliage fractal
Ces jours-ci, j'ai acheté le numéro de Tangente consacré à Benoit Mandelbrot et aux fractales . Je vais aborder les suites en première, et j'ai pensé à un pliage qui m'avait beaucoup amusé il y a quelques années .
On plie une feuille en deux, on trace la diagonale,,et on marque le milieu du pli . On trace un trait perpendiculaire au pli passant par ce point et s'arrêtant sur la diagonale .
On découpe ce segment puis on plie en escalier . Un côté du rectangle doit se retrouver sur le haut de la feuille .
Après avoir assoupli le pli, on aène ce rectangle vers l'intérieur et on obtient une espèce de pavé " en creux" .
La première étape est terminée .
On peut compter différentes choses :
C'est le moment d'introduire les notations .
Le nombre de coup de ciseaux nécessaires à chaque étape: un
Le nombre de pavés supplémentaires obtenus à chaque étape :vn
Le nombre total de pavés à chaque étape : wn
Si l'on considère qu'on plie à 90°, et qu'on remplit ces pavés droits, le volume ajouté à chaque étape sn
Le volume total des pavés obtenu à chaque étape : tn
u1 =1 ; v1=1 ; w1 = 1 ; s1 et t1 dépendent des dimensions de la feuille et valent 1/32 L * l.
Je demande de faire les comptes après la septième étape .
Etape 2 : on place le milieu de chaque pli et on plie en escalier .
Puis on plie vers l'intérieur . une espèce de masque apparait .
u2 = 2 ; v2 =3 ; w 2 = 4 ; s2 = 3/8 s1; t2 = t1 + 3/8 t1 ( résultats trouvés à l'aide des réduction de rapport 1/2)
On peut continuer les plis . Etape 3
u3 = 4 ; v3 = 9 ; w3 = 13 ; s3= 9/64 *s1 ;
t 3 = t2 + 9/64 * t1
Etape 4
Plus le montage avance, plus il est difficile de couper certaines bandes, le nombre de plis rendant chaque fois plus épais la bande à couper . Il serait sans doute intéressant d'ailleurs de compter les épaisseurs à chaque position .
Mais c'est plus difficile à formaliser avec des suites.
Etape 5, je vais m'arrêter là cette fois_ci, même si je crois déjà avoir obtenu l'étape 6 avec une feuille A3 .
A mesure que le nombre d'étapes augmente, on ne voit de moins en moins des pavés , mais la structure ressemble de plus en plus au triangle de Sierpinski .
C'est aussi un plaisir de dessiner cet objet en perspective .
La suite u est géométrique de raison 2, la suite v est géométrique de raison 3, la suite s est géométrique de raison 3/8 . Les élèves trouvent assez rapidement les formules et les utilisent pour calculer le 7eme terme .
Les autres suites sont des séries. Les élèves trouvent les résultats en calculant tous les termes des autres suites mais pourront vérifier les résultats quand on abordera la somme des termes d'une suite géométrique .
On plie une feuille en deux, on trace la diagonale,,et on marque le milieu du pli . On trace un trait perpendiculaire au pli passant par ce point et s'arrêtant sur la diagonale .
On peut compter différentes choses :
C'est le moment d'introduire les notations .
Le nombre de coup de ciseaux nécessaires à chaque étape: un
Le nombre de pavés supplémentaires obtenus à chaque étape :vn
Le nombre total de pavés à chaque étape : wn
Si l'on considère qu'on plie à 90°, et qu'on remplit ces pavés droits, le volume ajouté à chaque étape sn
Le volume total des pavés obtenu à chaque étape : tn
u1 =1 ; v1=1 ; w1 = 1 ; s1 et t1 dépendent des dimensions de la feuille et valent 1/32 L * l.
Je demande de faire les comptes après la septième étape .
Etape 2 : on place le milieu de chaque pli et on plie en escalier .
On peut continuer les plis . Etape 3
t 3 = t2 + 9/64 * t1
Etape 4
Mais c'est plus difficile à formaliser avec des suites.
Etape 5, je vais m'arrêter là cette fois_ci, même si je crois déjà avoir obtenu l'étape 6 avec une feuille A3 .
Les autres suites sont des séries. Les élèves trouvent les résultats en calculant tous les termes des autres suites mais pourront vérifier les résultats quand on abordera la somme des termes d'une suite géométrique .
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