Outils de construction égyptiens .

Trouvés dans un livre sur le musée du Caire, ce niveau, cette équerre et ce fil à plomb datant de la XIXème dynastie .

Bois et calcaire .(hauteur du niveau : 31 cm)
Le niveau est constitué de trois éléments de bois assemblés formant un triangle isocèle rectangle sur le sommet principal est attaché un fil avec un peson en calcaire . l'élément transversal, la base du triangle isocèle porte un repère central .
Par exemple, pour vérifier si un mur est horizontal, on pose les deux branches sur le mur. Si le fil passe par le repère central, le mur est horizontal .

Pour se servir du fil à plomb, on fait passer le fil sur le rebord de la planchette supérieure et on bouge l'objet jusqu'à ce que ce fil passe aussi sur le rebord de la planchette inférieure . . La verticalité est alors assurée .

Le bois de l'équerre a travaillé, c'est pourquoi l'angle n'est plus droit . Ce n'est pas l'équerre de Numérobis .

géométrie dans l'espace : sections de cubes

Pour présenter le problème des sections de cubes par un plan, j'ai fait une séquence de module en demi-groupe . Trois phases différentes :
1) visualisation et premières constatations .
2) construction en réel de la section d'un cube par un plan donné par trois points .
3) construction sur une figure en perspective cavalière .

1ère phase : En profitant des soldes, j'ai acheté quelques casse-tête dans des petites boîtes en plastique cubique de côté 8 cm environ . ( j'avais essayé des cube photo, mais c'est très dur d'obtenir l'étanchéité )

J'ai scotché le couvercle en essayant d'avoir le maximum d'étanchéité . Au centre de ce couvercle, à l'aide d'un tournevis chauffé au briquet, j'ai opéré un trou .

Ensuite, sur les faces, au feutre indélibile, j'ai parsemé les faces de quelques points . Les élèves disposaient d'une petite bassine d'eau et d'une pipette . Ils devaient mettre de l'eau et tourner le cube de plastique de manière à obtenir le plan passant par trois points donnés et de donner la nature de la section . ( le mot section est ainsi mis en jeu ). Avec la position des points que j'avais donnés, ils obtenaient d'abord un petit triangle, puis un trapèze, enfin un pentagone . Combien y a-t-il de possibilités quant à la nature de cette section ? Est-il possible d'avoir une section à 7 côtés ? Pourquoi ? Les questions subsidiaires étaient : quatre points donnés sont-ils coplanaires ?

Après cette phase, on dégage les résultats suivants : l'intersection du plan et d'une face est un segment de droite . Si le plan coupe deux faces opposées, il le fait suivant deux droites parallèles entre elles . Les polygones obtenus peuvent avoir 3, 4, 5 ou 6 faces .
Techniquement, je ne suis pas très satisfait du matériel que j'ai construit : il faut par exemple que je trouve un compromis sur la taille du trou, afin que les élèves puissent le remplir et vider rapidement, et que pour autant on puisse tourner le cube sans renverser de l'eau partout . Un instant, je me suis mis dans la peau d'un prof de physique ou de SVT en regardant les élèves manipuler de l'eau avec les pipettes, et ça peut générer du stress , je n'envie pas mes collègues . Enfin, les résultats obtenus étaient intéressants et on pouvait les réutiliser pour la suite .

2ème phase Les considérations géométriques précédentes vont permettre de marquer une section sur un cube en carton . J'avais réalisé 8 cubes en utilisant des ronds festonés avec 40 festons .

Le jour du module, je me suis aperçu que je pouvais me procurer des cartons cubiques de 25 cm de côté ( 1,80€ le carton ) . Cela m'aurait évité bien des heures de bricolage fastidieux . Bref . Avant de fermer la boîte , j'ai planté des attaches parisiennes pour figurer des points . sur le patron ci-dessous, voici la position approximatives des points :

La question posée est de contruire la section du cube par des plans donnés ( ABC , ABE , ABH, FGE )en plantant des punaises sur les arêtes aux endroits bien choisis et en tirant une ficelle pour figurer la surface de l'eau qui passerait par ces trois points. Les élèves disposaient du matériel suivant : le cube marqué avec ces points . du fil de cuisine . des punaises . un traceur de parallèles dans l'espace construit à l'aide d'un carton plié en trois partie avec des plis parallèles au bord .

(A l'oral, j'ai demandé pourquoi les bords demeuraient parallèles.) Un prolongeur d'arêtes : un coin en bois sur lequel j'ai fixé une punaise .

Cette partie était aussi très riche . Cette façon de poser la question a généré des erreurs que l'élève n'aurait pas commises sur le papier . Par exemple, certains ont juste tendu la ficelle entre les trois points . Cette erreur ne tient plus quand je remontre le cube en plastique rempli d'eau . La surface de l'eau dessine un segment sur chaque face, pas une ligne brisée . La ligne ne se brise que sur les arêtes . L'erreur se corrige alors et l'élève choisit alors une bonne stratégie .

Un exemple d'utilisation des outils :

tracé de section de cube par un plan
3ème phase La troisième phase se fait sur papier où les élèves transposent ces méthodes ( prolongement des arêtes, tracé des parallèles sur les faces parallèles ) sur feuilles avec des cubes en perspective cavalière . Des exercices classiques sur papier , mais le fait d'avoir préparé les techniques en touchant ce cube et ces problèmes en 3D a sans doute facilité la compréhension .

un octaèdre en ballon

Pour l'anniversaire de mon fils,je me suis essayé aux ballons à sculpter . Après avoir lu les techniques de base ( commencer à tourner du côté du noeud, laisser un peu de queue pour ne pas éclater la ballon , la torsion simple pour fixer les bulles ), ma déformation professionnelle m'a fait penser à construire des polyèdres avec ce nouveau matériau . Après moult essais et beaucoup de ballons crevés, j'ai fabriqué cet octaèdre.

Je m'arrêterai là, parce que je pense que c'est le seul solide de Platon que je peux fabriquer avec un seul ballon . Pourquoi ?

pliage fractal

Ces jours-ci, j'ai acheté le numéro de Tangente consacré à Benoit Mandelbrot et aux fractales . Je vais aborder les suites en première, et j'ai pensé à un pliage qui m'avait beaucoup amusé il y a quelques années .
On plie une feuille en deux, on trace la diagonale,,et on marque le milieu du pli . On trace un trait perpendiculaire au pli passant par ce point et s'arrêtant sur la diagonale .

On découpe ce segment puis on plie en escalier . Un côté du rectangle doit se retrouver sur le haut de la feuille .

Après avoir assoupli le pli, on aène ce rectangle vers l'intérieur et on obtient une espèce de pavé " en creux" .

La première étape est terminée .
On peut compter différentes choses :
C'est le moment d'introduire les notations .
Le nombre de coup de ciseaux nécessaires à chaque étape: un
Le nombre de pavés supplémentaires obtenus à chaque étape :vn
Le nombre total de pavés à chaque étape : wn
Si l'on considère qu'on plie à 90°, et qu'on remplit ces pavés droits, le volume ajouté à chaque étape sn
Le volume total des pavés obtenu à chaque étape : tn
u1 =1 ; v1=1 ; w1 = 1 ; s1 et t1 dépendent des dimensions de la feuille et valent 1/32 L * l.
Je demande de faire les comptes après la septième étape .
Etape 2 : on place le milieu de chaque pli et on plie en escalier .

Puis on plie vers l'intérieur . une espèce de masque apparait .

u2 = 2 ; v2 =3 ; w 2 = 4 ; s2 = 3/8 s1; t2 = t1 + 3/8 t1 ( résultats trouvés à l'aide des réduction de rapport 1/2)

On peut continuer les plis . Etape 3

u3 = 4 ; v3 = 9 ; w3 = 13 ; s3= 9/64 *s1 ;
t 3 = t2 + 9/64 * t1
Etape 4

Plus le montage avance, plus il est difficile de couper certaines bandes, le nombre de plis rendant chaque fois plus épais la bande à couper . Il serait sans doute intéressant d'ailleurs de compter les épaisseurs à chaque position .
Mais c'est plus difficile à formaliser avec des suites.

Etape 5, je vais m'arrêter là cette fois_ci, même si je crois déjà avoir obtenu l'étape 6 avec une feuille A3 .

A mesure que le nombre d'étapes augmente, on ne voit de moins en moins des pavés , mais la structure ressemble de plus en plus au triangle de Sierpinski .

C'est aussi un plaisir de dessiner cet objet en perspective .

La suite u est géométrique de raison 2, la suite v est géométrique de raison 3, la suite s est géométrique de raison 3/8 . Les élèves trouvent assez rapidement les formules et les utilisent pour calculer le 7eme terme .
Les autres suites sont des séries. Les élèves trouvent les résultats en calculant tous les termes des autres suites mais pourront vérifier les résultats quand on abordera la somme des termes d'une suite géométrique .

Bande dessinée :2) les mathématiques comme inspiratrice de la forme

On peut rapprocher certaines bandes dessinées de concepts mathématiques . Les mathématiques ont-elles consciemment inspiré cette forme? Inconsciemment ?
Je vais citer principalement deux auteurs, Marc Antoine Mathieu et Etienne Lécroart, qui poussent souvent très loin leur recherche formelle et trouvent l'inspiration dans des champs proches de concepts mathémathiques .
On pourra aussi trouver des choses passionnantes dans les livres de l'Oubapo ( ouvroir de bande dessinée potentielle, petite soeur de l'oulipo ), et faire des analogies avec des concepts mathématiques, mais je ne pense pas qu'on puisse faire la table de Queneleiev de l'Oubapo avec uniquement des contraintes mathématiques .Selon la définition prêtée à Raymond Queneau, l’auteur oulipien est « un rat qui construit lui-même le labyrinthe dont il se propose de sortir ». Il y a là la notion de jeu, d'expérience quasi scientifique et l'idée que les mathématiques peuvent être des outils de création ou pour se sortir du labyrinthe .Pour de nombreux auteurs de l'OuBaPo, c'est essentiellement le jeu et l'expérimentation qui sont les moteur de la création. Parfois, les mathématiques s'invitent et c'est très intéressant . Parmi les auteurs OuBaPiens, c'est surtout Etienne Lécroart qui va suivre cette optique . Voici quelques exemples :

La contrainte de pluri-lecturabilité est souvent explorée dans les ouvrages de l'oubapo . Parfois, ce sont des strips qui peuvent se lire horizontalement et verticalement, parfois c'est plus compliqué , comme dans la planche
quatre vingt quinze d'Etienne Lécroart
Sur un gaufrier 5*4, on peut créer un trajet sur la page en chsoisissant la case suivante parmi les voisines de droite afin de lire un nouveau strip . Comme le nom de cette bande l'indique, il y a 95 possibilités . C'est un bel exercice de dénombrement

topologie
Le morlaque (une bande qui se mord la queue et revient au point de départ) est aussi un exercice classique développé en particulier dans l'oupus 3, en voici une variante réalisée sur un ruban de möbius pour la carte de Voeux de l'association 2008 .

Symétrie Centrale
Le palindrome de lettres est assez connu ( tu l'as trop écrasé, César , ce Port-Salut ) . On peut dire que les positions des lettres,sinon leur forme , sont symétriques par rapport à un axe, passant par la lettre centrale, ou entre les deux lettres centrales ). On peut imaginer un palindrome de syllabes, de phrases . En bande dessinée, ce qui peut tenir lieu de phrase est la case de bande dessinée .
La première case correspond avec la dernière, la deuxième avec l'avant-dernière, et caetera jusqu'à la case centrale .
Etienne Lécroart est un habitué du genre . Outre deux histoires courtes parues dans Lapin ou dans les vacances de l'Oubapo ,

il a réalisé une bande dessinée de 30 pages tournant autour d'une machine à remonter dans le temps, où les dialogues changent complétement de signification si on inverse leur ordre . Un vrai tour de force, absolument bluffant et hilarant .
Cercle Vicieux d'Etienne Lécroart

rotation de 45°
Dans l'oupus 3 de l'oubapo, Lécroart nous propose une bande dessinée en gaufrier ( cases carrées régulières )que l'on peut lire normalement puis avoir effectué une rotation de 45° dans le sens des aiguilles d'une montre .
La première case reste au début, mais après avoir tourné la planche, c'est la première case de la ligne suivante qui devient la deuxième .

Suites et séries
Le tirage à la ligne de Jean Christophe Menu et Etienne Lécroart est paru dans l'Oupus 1 . Il s'agit d'une expansion d'une courte BD . A la première étape, il y a deux cases AA . pour la suivante, on intercale des cases autour et entre les cases BABAB . La troisième étape se fait de la même manière CBCACBCACBC . Une idée qui peut amener au denombrement des cases, au suites et aux séries . Et aussi un bon jeu que l'on peut faire entre amis, en écrivant des phrases.

Si les contraintes qu'il utilise sont souvent liées aux mathématiques, ce n'est pas obligatoire, mais tout son travail est intéressant et jubilatoire . LE mieux est d'aller voir son site et de lire ses bandes .
Etienne Lécroart a dans le coin de la tête et en préparation un livre de bandes dessinées basées sur des contraintes mathématiques. Géométriques et algébriques . J'ai hâte .

Marc Antoine Mathieu
Marc Antoine Mathieu est scénographe et auteur de bandes dessinées . Ses influences en bande dessinée sont à chercher entre autres autour de Schuiten et Peeters, et aussi de Francis Masse . Il n'est pas membre de l'oubapo, même si ces recherches peuvent s'en rapprocher .

La série de Julius Corentin Acquefacques a de nombreuses pistes de lecture, elle représente un monde qui se situe entre le procès de Kafka et Brazil . Avec beaucoup de mises en abîme . En rêvant, le héros découvre des failles dans la structure de son monde ou dans celle du récit et part en quête de rétablir l'équilibre. Quitte à tomber nez à nez devant le paradoxe et à s'y perdre . Cette série est très originale et certaines trouvailles sont vraiment bluffantes qui font que cette bande dessinée ne ressemble à aucune autre.
En tant que personnage de BD, le héros subit la logique propre à la BD et explore les problèmes de son monde :

Dans le tome 1, l'origine, à partir d'un paradoxe temporel et d'une mise en abîme, le problème des fractales est lentement mais sûrement mis en jeu .
Le tome 2 montre un obsession de la mesure de l'espace, de belles architectures, mais porte moins sur les mathématiques dans son concept.
Le tome 3, le processus, est basé sur la spirale .
Le tome 4, le début de la fin, est basée sur la symétrie axiale, c'est sans doute le plus étrange de la série .
Le tome 5, la 2,333eme dimension est basé sur les règles de la perspective, chamboulées lorsqu'un point de fuite est perdu .

Par ailleurs, Marc Antoine Mathieu a écrit d'autres bandes dessinées formidables, mais sans ce coeur mathématique . Toutefois, dans le magazine Bang ! n°4 , il nous propose les patrons de deux cubes à monter, où l'on peut voir des personnages essayer de sortir d'un labyrinthe formé d'escalier , ce qui peut faire penser à une interprétation en 3 D de la gravure d'Escher, "Relativité" .

D'autres bandes mettant en jeu les mathématiques :
les probabilités
Coquetele d'Anne Baraou et Sardon ( L'association )
Trois dés non ordonnés pour fabriquer un strip au hasard .

la topologie
Le ruban de Moebius apparait à de nombreuses reprises pour figurer un périple sans fin ou un monde étrange. On en a vu un exemple au dessus. En voici d'autres :
Promethea d'Alan Moore et J H williams III

rotation de 180°

Entre 1903 et 1904, alors que la bande dessinée en est à ses débuts, Gustave Verbeek crée une soixantaine de planches bien particulières . Ses upside downs qui relatent les aventures de deux personnages, Lady Lovekins et le vieux Mufaroo ,comportent 6 images qu'on lit de gauche à droite puis de haut en bas, comme d'habitude, mais on s'aperçoit que l'histoire n'est pas terminée .
Pour avoir la suite, on doit retourner la planche. La rotation inverse l'ordre des vignettes : La sixième devient la septième, la première devient la dernière . Les images retournées ont souvent une toute autre signification . Ce principe sera repris par l'oubapo, dans l'oupus 3 .

La géométrie sphérique
La géométrie de l'obsession de Mazzucchelli

Dans ce court livre paru en 1997, il y a déjà de nombreuses problématiques développées de façon plus ample dans Asteryos Polyp, prix spécial du jury à Angoulème cette année , parmi elles celle de l'intellectuel cartésien qui a du mal à rentrer dans le monde des sentiments . Un cartographe qui s'évertue à reproduire un globe terrestre exact et qui a du mal à comprendre que l'amour ne vérifie pas de règles n'est pas la solution d'une équation.

Je m'en voudrais de ne pas citer Lewis Trondheim, dont les recherches de formes amène parfois sur des pistes mathématiques, comme dans OVNI ( avec Fabrice Parme) qui fait pense à un gigantesque arbre de probabilité, Killoffer qui explore parfois des formes géométriques à la Escher.

J'en oublie sans doute . J'ai entendu par exemple parler de bandes dessinées inspirées par la théorie des ensembles et les diagrammes de Venn .
Les livres de l'Oubapo sont très stimulants et ouvrent des portes :

un théodolite rudimentaire .

Dans le cadre des méthodes et pratiques scientifiques traitant d'astronomie, j'ai élaboré plusieurs séquences sur la triangulation, avec pour objectif de savoir si un météore peut donner lieu à une météorite , et si oui d'estimer son point de chute . Après un étude de documents, on arrive à la constatation qu'un météore qui s'éteint vers 25 à 35 km d'altitude a des chances de donner lieu à une météorite . Encore faut-il mesurer ou calculer cette altitude .
La première séance sert à présenter le problème et les outils de mesure, simplifiés afin de donner du sens aux notions d'azimut et de hauteur d'un astre,afin que le fait de manipuler l'objet de mesure donne un sens à cette même mesure .

Dans un premier temps, les élèves ont manipulé un quadrant, afin de mesurer des angles et d'en déduire des hauteurs de batîments ou d'arbres .
Le quadrant est en fait constitué d'un rapporteur gradué entre 0 et 90°, avec un fil à plomb . On peut le munir d'un viseur constitué d'un piton à vis et d'un clou dont la tête est au même niveau que le centre du piton .

Après deux exercices sur feuille, voila les élèves partis dans la cour . Comme je n'ai pas pu récupérer les hectomètres des professeurs de sport, qui étaient dans une salle extérieure, les mesures ont été faites en pas . J'ai dû improviser, mais je trouve cela assez bienvenu de faire manipuler d'autres unités de longueur, pour peu que les élèves les manipulent avec rigueur, dans la mesure avec un pas régulier comme dans le calcul et la rédaction .

Après que les élèves ont fait une mesure, j'ai demandé aux élèves s'ils étaient capables de mesurer la hauteur d'un immeuble qui dépassait du toit du lycée .
-non, parce qu'on ne sait pas à quelle distance au sol il se trouve .
Alors, j'ai tenté l'expérience suivante, que j'ai trouvée sur ce site .
On bande les yeux d'un élève .
On demande à un élève de s'éloigner du groupe et d'émettre un bruit ( coup de sifflet, frapper dans les mains ). L'élève aveuglé pointe du doigt la direction de façon précise, mais a bien du mal à estimer la distance . Où se trouve le camarade ? Sur une demi-droite, que l'on peut tracer , mais on ne sait pas trop en quel point .
On demande alors à un second élève de de bander les yeux . On le place un peu plus loin du premier élève, on redéplace l'émetteur de bruit et on renouvelle l'expérience . Là encore, les élèves ont du mal à savoir de quelle distance vient le son, mais sont capables de pointer assez précisément la direction . En prolongeant les demi-droites, on retrouve la position de l'émetteur du son .
Ainsi, sans connaître la distance, avec deux mesures tirées de positions différentes, on peut déterminer précisément la source du son . Et le placer sur un plan . Encore faut-il mesurer les angles du triangle.
Alors je sors mon théodolite .
Il est assez rudimentaire mais a pour but de fixer les idées . Et puis le budget maths de mon lycée ne permet pas d'en acheter un .
J'ai une tablette haute avec un trou pour la porter qui traîne dans le grenier . Je prends .

Sur deux faces opposées d'une boîte en carton, j'opère un trou au centre à l'aide d'un stylo . J'ai dessiné un rapporteur orienté à partir du nord dans le sens négatif que je colle sur la partie supérieure de la boîte, après avoir percé un trou au centre .
Sur deux couvercles de glace, j'opère aussi un trou en centre . Je glisse un tourillon dans la boîte , que je maintiens à l'intérieur en glissant les couvercles et en les positionnant contre les deux faces intérieures de la boîte .

Je fixe une punaise ou un clou juste au dessus du rapporteur , ainsi qu'un quadrant à l'aide d'une punaise . Le clou et le quadrant sont orientés de la même façon .

Une boussole et un niveau qui permettent de positionner l'instrument dans la bonne position pour effectuer un mesure de l'azimut et de la hauteur d'une cible à un endroit, puis un peu plus loin.

Après être remontés en salle, un point est fait sur l'azimut et la hauteur . Et puis un exercice où, à partir des mesures d'azimut, on trace le triangle formé par les trois élèves.
On peut ainsi déterminer les distances avec un dessin à l'échelle, qui rappelle bien l'importance de la direction du nord . Les semaines prochaines, quitte à utiliser la loi des sinus et le théorème d'Al-Kashi, nous déterminerons les distances par calcul, puis nous déterminerons la position dans le ciel d'un météore, au moment ou il s'embrase et au moment où il s'éteint , afin d'avoir une estimation de l'endroit où il pourrait tomber . Des schémas dans divers plans seront nécessaires pour comprendre le problème .
le plan et les exercices proposés .
Par la suite, les dernières sénaces portent sur la distance terre lune ou la distance d'une étoile au soleil .

Sur ces séances que je trouve riches et intéressantes, j'ai tout de même quelques questionnements : je ne suis pas très rigoureux sur la trajectoire qui n'est pas en ligne droite , j'utilise des propriétés de première . Certes, si je ne les utilise pas, je ne vais pas loin du tout . Suis je dans le cadre des MPS ?
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