samedi 26 février 2011
un octaèdre en ballon
Pour l'anniversaire de mon fils,je me suis essayé aux ballons à sculpter . Après avoir lu les techniques de base ( commencer à tourner du côté du noeud, laisser un peu de queue pour ne pas éclater la ballon , la torsion simple pour fixer les bulles ), ma déformation professionnelle m'a fait penser à construire des polyèdres avec ce nouveau matériau . Après moult essais et beaucoup de ballons crevés, j'ai fabriqué cet octaèdre.
Je m'arrêterai là, parce que je pense que c'est le seul solide de Platon que je peux fabriquer avec un seul ballon . Pourquoi ?
dimanche 13 février 2011
pliage fractal
Ces jours-ci, j'ai acheté le numéro de Tangente consacré à Benoit Mandelbrot et aux fractales . Je vais aborder les suites en première, et j'ai pensé à un pliage qui m'avait beaucoup amusé il y a quelques années .
On plie une feuille en deux, on trace la diagonale,,et on marque le milieu du pli . On trace un trait perpendiculaire au pli passant par ce point et s'arrêtant sur la diagonale .
On découpe ce segment puis on plie en escalier . Un côté du rectangle doit se retrouver sur le haut de la feuille .
Après avoir assoupli le pli, on aène ce rectangle vers l'intérieur et on obtient une espèce de pavé " en creux" .
La première étape est terminée .
On peut compter différentes choses :
C'est le moment d'introduire les notations .
Le nombre de coup de ciseaux nécessaires à chaque étape: un
Le nombre de pavés supplémentaires obtenus à chaque étape :vn
Le nombre total de pavés à chaque étape : wn
Si l'on considère qu'on plie à 90°, et qu'on remplit ces pavés droits, le volume ajouté à chaque étape sn
Le volume total des pavés obtenu à chaque étape : tn
u1 =1 ; v1=1 ; w1 = 1 ; s1 et t1 dépendent des dimensions de la feuille et valent 1/32 L * l.
Je demande de faire les comptes après la septième étape .
Etape 2 : on place le milieu de chaque pli et on plie en escalier .
Puis on plie vers l'intérieur . une espèce de masque apparait .
u2 = 2 ; v2 =3 ; w 2 = 4 ; s2 = 3/8 s1; t2 = t1 + 3/8 t1 ( résultats trouvés à l'aide des réduction de rapport 1/2)
On peut continuer les plis . Etape 3
u3 = 4 ; v3 = 9 ; w3 = 13 ; s3= 9/64 *s1 ;
t 3 = t2 + 9/64 * t1
Etape 4
Plus le montage avance, plus il est difficile de couper certaines bandes, le nombre de plis rendant chaque fois plus épais la bande à couper . Il serait sans doute intéressant d'ailleurs de compter les épaisseurs à chaque position .
Mais c'est plus difficile à formaliser avec des suites.
Etape 5, je vais m'arrêter là cette fois_ci, même si je crois déjà avoir obtenu l'étape 6 avec une feuille A3 .
A mesure que le nombre d'étapes augmente, on ne voit de moins en moins des pavés , mais la structure ressemble de plus en plus au triangle de Sierpinski .
C'est aussi un plaisir de dessiner cet objet en perspective .
La suite u est géométrique de raison 2, la suite v est géométrique de raison 3, la suite s est géométrique de raison 3/8 . Les élèves trouvent assez rapidement les formules et les utilisent pour calculer le 7eme terme .
Les autres suites sont des séries. Les élèves trouvent les résultats en calculant tous les termes des autres suites mais pourront vérifier les résultats quand on abordera la somme des termes d'une suite géométrique .
On plie une feuille en deux, on trace la diagonale,,et on marque le milieu du pli . On trace un trait perpendiculaire au pli passant par ce point et s'arrêtant sur la diagonale .
On peut compter différentes choses :
C'est le moment d'introduire les notations .
Le nombre de coup de ciseaux nécessaires à chaque étape: un
Le nombre de pavés supplémentaires obtenus à chaque étape :vn
Le nombre total de pavés à chaque étape : wn
Si l'on considère qu'on plie à 90°, et qu'on remplit ces pavés droits, le volume ajouté à chaque étape sn
Le volume total des pavés obtenu à chaque étape : tn
u1 =1 ; v1=1 ; w1 = 1 ; s1 et t1 dépendent des dimensions de la feuille et valent 1/32 L * l.
Je demande de faire les comptes après la septième étape .
Etape 2 : on place le milieu de chaque pli et on plie en escalier .
On peut continuer les plis . Etape 3
t 3 = t2 + 9/64 * t1
Etape 4
Mais c'est plus difficile à formaliser avec des suites.
Etape 5, je vais m'arrêter là cette fois_ci, même si je crois déjà avoir obtenu l'étape 6 avec une feuille A3 .
Les autres suites sont des séries. Les élèves trouvent les résultats en calculant tous les termes des autres suites mais pourront vérifier les résultats quand on abordera la somme des termes d'une suite géométrique .
dimanche 6 février 2011
Bande dessinée :2) les mathématiques comme inspiratrice de la forme
On peut rapprocher certaines bandes dessinées de concepts mathématiques . Les mathématiques ont-elles consciemment inspiré cette forme? Inconsciemment ?
Je vais citer principalement deux auteurs, Marc Antoine Mathieu et Etienne Lécroart, qui poussent souvent très loin leur recherche formelle et trouvent l'inspiration dans des champs proches de concepts mathémathiques .
On pourra aussi trouver des choses passionnantes dans les livres de l'Oubapo ( ouvroir de bande dessinée potentielle, petite soeur de l'oulipo ), et faire des analogies avec des concepts mathématiques, mais je ne pense pas qu'on puisse faire la table de Queneleiev de l'Oubapo avec uniquement des contraintes mathématiques .Selon la définition prêtée à Raymond Queneau, l’auteur oulipien est « un rat qui construit lui-même le labyrinthe dont il se propose de sortir ». Il y a là la notion de jeu, d'expérience quasi scientifique et l'idée que les mathématiques peuvent être des outils de création ou pour se sortir du labyrinthe .Pour de nombreux auteurs de l'OuBaPo, c'est essentiellement le jeu et l'expérimentation qui sont les moteur de la création. Parfois, les mathématiques s'invitent et c'est très intéressant . Parmi les auteurs OuBaPiens, c'est surtout Etienne Lécroart qui va suivre cette optique . Voici quelques exemples :
La contrainte de pluri-lecturabilité est souvent explorée dans les ouvrages de l'oubapo . Parfois, ce sont des strips qui peuvent se lire horizontalement et verticalement, parfois c'est plus compliqué , comme dans la planche
quatre vingt quinze d'Etienne Lécroart
Sur un gaufrier 5*4, on peut créer un trajet sur la page en chsoisissant la case suivante parmi les voisines de droite afin de lire un nouveau strip . Comme le nom de cette bande l'indique, il y a 95 possibilités . C'est un bel exercice de dénombrement
topologie
Le morlaque (une bande qui se mord la queue et revient au point de départ) est aussi un exercice classique développé en particulier dans l'oupus 3, en voici une variante réalisée sur un ruban de möbius pour la carte de Voeux de l'association 2008 .
Symétrie Centrale
Le palindrome de lettres est assez connu ( tu l'as trop écrasé, César , ce Port-Salut ) . On peut dire que les positions des lettres,sinon leur forme , sont symétriques par rapport à un axe, passant par la lettre centrale, ou entre les deux lettres centrales ). On peut imaginer un palindrome de syllabes, de phrases . En bande dessinée, ce qui peut tenir lieu de phrase est la case de bande dessinée .
La première case correspond avec la dernière, la deuxième avec l'avant-dernière, et caetera jusqu'à la case centrale .
Etienne Lécroart est un habitué du genre . Outre deux histoires courtes parues dans Lapin ou dans les vacances de l'Oubapo ,
il a réalisé une bande dessinée de 30 pages tournant autour d'une machine à remonter dans le temps, où les dialogues changent complétement de signification si on inverse leur ordre . Un vrai tour de force, absolument bluffant et hilarant .
Cercle Vicieux d'Etienne Lécroart
rotation de 45°
Dans l'oupus 3 de l'oubapo, Lécroart nous propose une bande dessinée en gaufrier ( cases carrées régulières )que l'on peut lire normalement puis avoir effectué une rotation de 45° dans le sens des aiguilles d'une montre .
La première case reste au début, mais après avoir tourné la planche, c'est la première case de la ligne suivante qui devient la deuxième .
Suites et séries
Le tirage à la ligne de Jean Christophe Menu et Etienne Lécroart est paru dans l'Oupus 1 . Il s'agit d'une expansion d'une courte BD . A la première étape, il y a deux cases AA . pour la suivante, on intercale des cases autour et entre les cases BABAB . La troisième étape se fait de la même manière CBCACBCACBC . Une idée qui peut amener au denombrement des cases, au suites et aux séries . Et aussi un bon jeu que l'on peut faire entre amis, en écrivant des phrases.
Si les contraintes qu'il utilise sont souvent liées aux mathématiques, ce n'est pas obligatoire, mais tout son travail est intéressant et jubilatoire . LE mieux est d'aller voir son site et de lire ses bandes .
Etienne Lécroart a dans le coin de la tête et en préparation un livre de bandes dessinées basées sur des contraintes mathématiques. Géométriques et algébriques . J'ai hâte .
Marc Antoine Mathieu
Marc Antoine Mathieu est scénographe et auteur de bandes dessinées . Ses influences en bande dessinée sont à chercher entre autres autour de Schuiten et Peeters, et aussi de Francis Masse . Il n'est pas membre de l'oubapo, même si ces recherches peuvent s'en rapprocher .
La série de Julius Corentin Acquefacques a de nombreuses pistes de lecture, elle représente un monde qui se situe entre le procès de Kafka et Brazil . Avec beaucoup de mises en abîme . En rêvant, le héros découvre des failles dans la structure de son monde ou dans celle du récit et part en quête de rétablir l'équilibre. Quitte à tomber nez à nez devant le paradoxe et à s'y perdre . Cette série est très originale et certaines trouvailles sont vraiment bluffantes qui font que cette bande dessinée ne ressemble à aucune autre.
En tant que personnage de BD, le héros subit la logique propre à la BD et explore les problèmes de son monde :
Dans le tome 1, l'origine, à partir d'un paradoxe temporel et d'une mise en abîme, le problème des fractales est lentement mais sûrement mis en jeu .
Le tome 2 montre un obsession de la mesure de l'espace, de belles architectures, mais porte moins sur les mathématiques dans son concept.
Le tome 3, le processus, est basé sur la spirale .
Le tome 4, le début de la fin, est basée sur la symétrie axiale, c'est sans doute le plus étrange de la série .
Le tome 5, la 2,333eme dimension est basé sur les règles de la perspective, chamboulées lorsqu'un point de fuite est perdu .
Par ailleurs, Marc Antoine Mathieu a écrit d'autres bandes dessinées formidables, mais sans ce coeur mathématique . Toutefois, dans le magazine Bang ! n°4 , il nous propose les patrons de deux cubes à monter, où l'on peut voir des personnages essayer de sortir d'un labyrinthe formé d'escalier , ce qui peut faire penser à une interprétation en 3 D de la gravure d'Escher, "Relativité" .
D'autres bandes mettant en jeu les mathématiques :
les probabilités
Coquetele d'Anne Baraou et Sardon ( L'association )
Trois dés non ordonnés pour fabriquer un strip au hasard .
la topologie
Le ruban de Moebius apparait à de nombreuses reprises pour figurer un périple sans fin ou un monde étrange. On en a vu un exemple au dessus. En voici d'autres :
Promethea d'Alan Moore et J H williams III
rotation de 180°
Entre 1903 et 1904, alors que la bande dessinée en est à ses débuts, Gustave Verbeek crée une soixantaine de planches bien particulières . Ses upside downs qui relatent les aventures de deux personnages, Lady Lovekins et le vieux Mufaroo ,comportent 6 images qu'on lit de gauche à droite puis de haut en bas, comme d'habitude, mais on s'aperçoit que l'histoire n'est pas terminée .
Pour avoir la suite, on doit retourner la planche. La rotation inverse l'ordre des vignettes : La sixième devient la septième, la première devient la dernière . Les images retournées ont souvent une toute autre signification . Ce principe sera repris par l'oubapo, dans l'oupus 3 .
La géométrie sphérique
La géométrie de l'obsession de Mazzucchelli
Dans ce court livre paru en 1997, il y a déjà de nombreuses problématiques développées de façon plus ample dans Asteryos Polyp, prix spécial du jury à Angoulème cette année , parmi elles celle de l'intellectuel cartésien qui a du mal à rentrer dans le monde des sentiments . Un cartographe qui s'évertue à reproduire un globe terrestre exact et qui a du mal à comprendre que l'amour ne vérifie pas de règles n'est pas la solution d'une équation.
Je m'en voudrais de ne pas citer Lewis Trondheim, dont les recherches de formes amène parfois sur des pistes mathématiques, comme dans OVNI ( avec Fabrice Parme) qui fait pense à un gigantesque arbre de probabilité, Killoffer qui explore parfois des formes géométriques à la Escher.
J'en oublie sans doute . J'ai entendu par exemple parler de bandes dessinées inspirées par la théorie des ensembles et les diagrammes de Venn .
Les livres de l'Oubapo sont très stimulants et ouvrent des portes :
Je vais citer principalement deux auteurs, Marc Antoine Mathieu et Etienne Lécroart, qui poussent souvent très loin leur recherche formelle et trouvent l'inspiration dans des champs proches de concepts mathémathiques .
On pourra aussi trouver des choses passionnantes dans les livres de l'Oubapo ( ouvroir de bande dessinée potentielle, petite soeur de l'oulipo ), et faire des analogies avec des concepts mathématiques, mais je ne pense pas qu'on puisse faire la table de Queneleiev de l'Oubapo avec uniquement des contraintes mathématiques .Selon la définition prêtée à Raymond Queneau, l’auteur oulipien est « un rat qui construit lui-même le labyrinthe dont il se propose de sortir ». Il y a là la notion de jeu, d'expérience quasi scientifique et l'idée que les mathématiques peuvent être des outils de création ou pour se sortir du labyrinthe .Pour de nombreux auteurs de l'OuBaPo, c'est essentiellement le jeu et l'expérimentation qui sont les moteur de la création. Parfois, les mathématiques s'invitent et c'est très intéressant . Parmi les auteurs OuBaPiens, c'est surtout Etienne Lécroart qui va suivre cette optique . Voici quelques exemples :
La contrainte de pluri-lecturabilité est souvent explorée dans les ouvrages de l'oubapo . Parfois, ce sont des strips qui peuvent se lire horizontalement et verticalement, parfois c'est plus compliqué , comme dans la planche
quatre vingt quinze d'Etienne Lécroart
Sur un gaufrier 5*4, on peut créer un trajet sur la page en chsoisissant la case suivante parmi les voisines de droite afin de lire un nouveau strip . Comme le nom de cette bande l'indique, il y a 95 possibilités . C'est un bel exercice de dénombrement
topologie
Le morlaque (une bande qui se mord la queue et revient au point de départ) est aussi un exercice classique développé en particulier dans l'oupus 3, en voici une variante réalisée sur un ruban de möbius pour la carte de Voeux de l'association 2008 .
Symétrie Centrale
Le palindrome de lettres est assez connu ( tu l'as trop écrasé, César , ce Port-Salut ) . On peut dire que les positions des lettres,sinon leur forme , sont symétriques par rapport à un axe, passant par la lettre centrale, ou entre les deux lettres centrales ). On peut imaginer un palindrome de syllabes, de phrases . En bande dessinée, ce qui peut tenir lieu de phrase est la case de bande dessinée .
La première case correspond avec la dernière, la deuxième avec l'avant-dernière, et caetera jusqu'à la case centrale .
Etienne Lécroart est un habitué du genre . Outre deux histoires courtes parues dans Lapin ou dans les vacances de l'Oubapo ,
Cercle Vicieux d'Etienne Lécroart
rotation de 45°
Dans l'oupus 3 de l'oubapo, Lécroart nous propose une bande dessinée en gaufrier ( cases carrées régulières )que l'on peut lire normalement puis avoir effectué une rotation de 45° dans le sens des aiguilles d'une montre .
La première case reste au début, mais après avoir tourné la planche, c'est la première case de la ligne suivante qui devient la deuxième .
Suites et séries
Le tirage à la ligne de Jean Christophe Menu et Etienne Lécroart est paru dans l'Oupus 1 . Il s'agit d'une expansion d'une courte BD . A la première étape, il y a deux cases AA . pour la suivante, on intercale des cases autour et entre les cases BABAB . La troisième étape se fait de la même manière CBCACBCACBC . Une idée qui peut amener au denombrement des cases, au suites et aux séries . Et aussi un bon jeu que l'on peut faire entre amis, en écrivant des phrases.
Si les contraintes qu'il utilise sont souvent liées aux mathématiques, ce n'est pas obligatoire, mais tout son travail est intéressant et jubilatoire . LE mieux est d'aller voir son site et de lire ses bandes .
Etienne Lécroart a dans le coin de la tête et en préparation un livre de bandes dessinées basées sur des contraintes mathématiques. Géométriques et algébriques . J'ai hâte .
Marc Antoine Mathieu
Marc Antoine Mathieu est scénographe et auteur de bandes dessinées . Ses influences en bande dessinée sont à chercher entre autres autour de Schuiten et Peeters, et aussi de Francis Masse . Il n'est pas membre de l'oubapo, même si ces recherches peuvent s'en rapprocher .
La série de Julius Corentin Acquefacques a de nombreuses pistes de lecture, elle représente un monde qui se situe entre le procès de Kafka et Brazil . Avec beaucoup de mises en abîme . En rêvant, le héros découvre des failles dans la structure de son monde ou dans celle du récit et part en quête de rétablir l'équilibre. Quitte à tomber nez à nez devant le paradoxe et à s'y perdre . Cette série est très originale et certaines trouvailles sont vraiment bluffantes qui font que cette bande dessinée ne ressemble à aucune autre.
En tant que personnage de BD, le héros subit la logique propre à la BD et explore les problèmes de son monde :
Le tome 2 montre un obsession de la mesure de l'espace, de belles architectures, mais porte moins sur les mathématiques dans son concept.
Le tome 3, le processus, est basé sur la spirale .
Le tome 4, le début de la fin, est basée sur la symétrie axiale, c'est sans doute le plus étrange de la série .
Le tome 5, la 2,333eme dimension est basé sur les règles de la perspective, chamboulées lorsqu'un point de fuite est perdu .
Par ailleurs, Marc Antoine Mathieu a écrit d'autres bandes dessinées formidables, mais sans ce coeur mathématique . Toutefois, dans le magazine Bang ! n°4 , il nous propose les patrons de deux cubes à monter, où l'on peut voir des personnages essayer de sortir d'un labyrinthe formé d'escalier , ce qui peut faire penser à une interprétation en 3 D de la gravure d'Escher, "Relativité" .
D'autres bandes mettant en jeu les mathématiques :
les probabilités
Coquetele d'Anne Baraou et Sardon ( L'association )
Trois dés non ordonnés pour fabriquer un strip au hasard .
la topologie
Le ruban de Moebius apparait à de nombreuses reprises pour figurer un périple sans fin ou un monde étrange. On en a vu un exemple au dessus. En voici d'autres :
Promethea d'Alan Moore et J H williams III
rotation de 180°
Pour avoir la suite, on doit retourner la planche. La rotation inverse l'ordre des vignettes : La sixième devient la septième, la première devient la dernière . Les images retournées ont souvent une toute autre signification . Ce principe sera repris par l'oubapo, dans l'oupus 3 .
La géométrie sphérique
La géométrie de l'obsession de Mazzucchelli
J'en oublie sans doute . J'ai entendu par exemple parler de bandes dessinées inspirées par la théorie des ensembles et les diagrammes de Venn .
Les livres de l'Oubapo sont très stimulants et ouvrent des portes :
lundi 31 janvier 2011
un théodolite rudimentaire .
Dans le cadre des méthodes et pratiques scientifiques traitant d'astronomie, j'ai élaboré plusieurs séquences sur la triangulation, avec pour objectif de savoir si un météore peut donner lieu à une météorite , et si oui d'estimer son point de chute . Après un étude de documents, on arrive à la constatation qu'un météore qui s'éteint vers 25 à 35 km d'altitude a des chances de donner lieu à une météorite . Encore faut-il mesurer ou calculer cette altitude .
La première séance sert à présenter le problème et les outils de mesure, simplifiés afin de donner du sens aux notions d'azimut et de hauteur d'un astre,afin que le fait de manipuler l'objet de mesure donne un sens à cette même mesure .
Dans un premier temps, les élèves ont manipulé un quadrant, afin de mesurer des angles et d'en déduire des hauteurs de batîments ou d'arbres .
Le quadrant est en fait constitué d'un rapporteur gradué entre 0 et 90°, avec un fil à plomb . On peut le munir d'un viseur constitué d'un piton à vis et d'un clou dont la tête est au même niveau que le centre du piton .
Après deux exercices sur feuille, voila les élèves partis dans la cour . Comme je n'ai pas pu récupérer les hectomètres des professeurs de sport, qui étaient dans une salle extérieure, les mesures ont été faites en pas . J'ai dû improviser, mais je trouve cela assez bienvenu de faire manipuler d'autres unités de longueur, pour peu que les élèves les manipulent avec rigueur, dans la mesure avec un pas régulier comme dans le calcul et la rédaction .
Après que les élèves ont fait une mesure, j'ai demandé aux élèves s'ils étaient capables de mesurer la hauteur d'un immeuble qui dépassait du toit du lycée .
-non, parce qu'on ne sait pas à quelle distance au sol il se trouve .
Alors, j'ai tenté l'expérience suivante, que j'ai trouvée sur ce site .
On bande les yeux d'un élève .
On demande à un élève de s'éloigner du groupe et d'émettre un bruit ( coup de sifflet, frapper dans les mains ). L'élève aveuglé pointe du doigt la direction de façon précise, mais a bien du mal à estimer la distance . Où se trouve le camarade ? Sur une demi-droite, que l'on peut tracer , mais on ne sait pas trop en quel point .
On demande alors à un second élève de de bander les yeux . On le place un peu plus loin du premier élève, on redéplace l'émetteur de bruit et on renouvelle l'expérience . Là encore, les élèves ont du mal à savoir de quelle distance vient le son, mais sont capables de pointer assez précisément la direction . En prolongeant les demi-droites, on retrouve la position de l'émetteur du son .
Ainsi, sans connaître la distance, avec deux mesures tirées de positions différentes, on peut déterminer précisément la source du son . Et le placer sur un plan . Encore faut-il mesurer les angles du triangle.
Alors je sors mon théodolite .
Il est assez rudimentaire mais a pour but de fixer les idées . Et puis le budget maths de mon lycée ne permet pas d'en acheter un .
J'ai une tablette haute avec un trou pour la porter qui traîne dans le grenier . Je prends .
Sur deux faces opposées d'une boîte en carton, j'opère un trou au centre à l'aide d'un stylo . J'ai dessiné un rapporteur orienté à partir du nord dans le sens négatif que je colle sur la partie supérieure de la boîte, après avoir percé un trou au centre .
Sur deux couvercles de glace, j'opère aussi un trou en centre . Je glisse un tourillon dans la boîte , que je maintiens à l'intérieur en glissant les couvercles et en les positionnant contre les deux faces intérieures de la boîte .
Je fixe une punaise ou un clou juste au dessus du rapporteur , ainsi qu'un quadrant à l'aide d'une punaise . Le clou et le quadrant sont orientés de la même façon .
Une boussole et un niveau qui permettent de positionner l'instrument dans la bonne position pour effectuer un mesure de l'azimut et de la hauteur d'une cible à un endroit, puis un peu plus loin.
Après être remontés en salle, un point est fait sur l'azimut et la hauteur . Et puis un exercice où, à partir des mesures d'azimut, on trace le triangle formé par les trois élèves.
On peut ainsi déterminer les distances avec un dessin à l'échelle, qui rappelle bien l'importance de la direction du nord . Les semaines prochaines, quitte à utiliser la loi des sinus et le théorème d'Al-Kashi, nous déterminerons les distances par calcul, puis nous déterminerons la position dans le ciel d'un météore, au moment ou il s'embrase et au moment où il s'éteint , afin d'avoir une estimation de l'endroit où il pourrait tomber . Des schémas dans divers plans seront nécessaires pour comprendre le problème .
le plan et les exercices proposés .
Par la suite, les dernières sénaces portent sur la distance terre lune ou la distance d'une étoile au soleil .
Sur ces séances que je trouve riches et intéressantes, j'ai tout de même quelques questionnements : je ne suis pas très rigoureux sur la trajectoire qui n'est pas en ligne droite , j'utilise des propriétés de première . Certes, si je ne les utilise pas, je ne vais pas loin du tout . Suis je dans le cadre des MPS ?
Si vous avez des avis, des critiques, des conseils, n'hésitez pas à faire des commentaires .
La première séance sert à présenter le problème et les outils de mesure, simplifiés afin de donner du sens aux notions d'azimut et de hauteur d'un astre,afin que le fait de manipuler l'objet de mesure donne un sens à cette même mesure .
Dans un premier temps, les élèves ont manipulé un quadrant, afin de mesurer des angles et d'en déduire des hauteurs de batîments ou d'arbres .
Le quadrant est en fait constitué d'un rapporteur gradué entre 0 et 90°, avec un fil à plomb . On peut le munir d'un viseur constitué d'un piton à vis et d'un clou dont la tête est au même niveau que le centre du piton .
Après deux exercices sur feuille, voila les élèves partis dans la cour . Comme je n'ai pas pu récupérer les hectomètres des professeurs de sport, qui étaient dans une salle extérieure, les mesures ont été faites en pas . J'ai dû improviser, mais je trouve cela assez bienvenu de faire manipuler d'autres unités de longueur, pour peu que les élèves les manipulent avec rigueur, dans la mesure avec un pas régulier comme dans le calcul et la rédaction .
Après que les élèves ont fait une mesure, j'ai demandé aux élèves s'ils étaient capables de mesurer la hauteur d'un immeuble qui dépassait du toit du lycée .
-non, parce qu'on ne sait pas à quelle distance au sol il se trouve .
Alors, j'ai tenté l'expérience suivante, que j'ai trouvée sur ce site .
On bande les yeux d'un élève .
On demande à un élève de s'éloigner du groupe et d'émettre un bruit ( coup de sifflet, frapper dans les mains ). L'élève aveuglé pointe du doigt la direction de façon précise, mais a bien du mal à estimer la distance . Où se trouve le camarade ? Sur une demi-droite, que l'on peut tracer , mais on ne sait pas trop en quel point .
On demande alors à un second élève de de bander les yeux . On le place un peu plus loin du premier élève, on redéplace l'émetteur de bruit et on renouvelle l'expérience . Là encore, les élèves ont du mal à savoir de quelle distance vient le son, mais sont capables de pointer assez précisément la direction . En prolongeant les demi-droites, on retrouve la position de l'émetteur du son .
Ainsi, sans connaître la distance, avec deux mesures tirées de positions différentes, on peut déterminer précisément la source du son . Et le placer sur un plan . Encore faut-il mesurer les angles du triangle.
Alors je sors mon théodolite .
Il est assez rudimentaire mais a pour but de fixer les idées . Et puis le budget maths de mon lycée ne permet pas d'en acheter un .
J'ai une tablette haute avec un trou pour la porter qui traîne dans le grenier . Je prends .
Sur deux faces opposées d'une boîte en carton, j'opère un trou au centre à l'aide d'un stylo . J'ai dessiné un rapporteur orienté à partir du nord dans le sens négatif que je colle sur la partie supérieure de la boîte, après avoir percé un trou au centre .
Sur deux couvercles de glace, j'opère aussi un trou en centre . Je glisse un tourillon dans la boîte , que je maintiens à l'intérieur en glissant les couvercles et en les positionnant contre les deux faces intérieures de la boîte .
Je fixe une punaise ou un clou juste au dessus du rapporteur , ainsi qu'un quadrant à l'aide d'une punaise . Le clou et le quadrant sont orientés de la même façon .
Une boussole et un niveau qui permettent de positionner l'instrument dans la bonne position pour effectuer un mesure de l'azimut et de la hauteur d'une cible à un endroit, puis un peu plus loin.
Après être remontés en salle, un point est fait sur l'azimut et la hauteur . Et puis un exercice où, à partir des mesures d'azimut, on trace le triangle formé par les trois élèves.
On peut ainsi déterminer les distances avec un dessin à l'échelle, qui rappelle bien l'importance de la direction du nord . Les semaines prochaines, quitte à utiliser la loi des sinus et le théorème d'Al-Kashi, nous déterminerons les distances par calcul, puis nous déterminerons la position dans le ciel d'un météore, au moment ou il s'embrase et au moment où il s'éteint , afin d'avoir une estimation de l'endroit où il pourrait tomber . Des schémas dans divers plans seront nécessaires pour comprendre le problème .
le plan et les exercices proposés .
Par la suite, les dernières sénaces portent sur la distance terre lune ou la distance d'une étoile au soleil .
Sur ces séances que je trouve riches et intéressantes, j'ai tout de même quelques questionnements : je ne suis pas très rigoureux sur la trajectoire qui n'est pas en ligne droite , j'utilise des propriétés de première . Certes, si je ne les utilise pas, je ne vais pas loin du tout . Suis je dans le cadre des MPS ?
Si vous avez des avis, des critiques, des conseils, n'hésitez pas à faire des commentaires .
samedi 29 janvier 2011
bande dessinée et mathématiques : 1) les mathématiques comme fond
Avec les mathématiques, mon autre passion est la bande dessinée . Comme chaque année, à la fin janvier, avec le festival d'Angoulème, la bande dessinée est à l'honneur, je me suis dit que c'était un bon moment pour commencer à parler de bande dessinée et de mathématiques .
Dans certains albums, le monde mathématique sert au fond du récit, dans d'autres, c'est plutôt à la forme qu'elle offre des ouvertures .
Pour l'instant, je cherche dans ma bibliothèque les albums dont l'histoire s'inspire des mathématiques et des mathématiciens . La liste ne sera donc pas exhaustive, mais libre à vous de me signaler les ouvrages que j'aurais oubliés .
humour
L'idée fixe du savant Cosinus 1899( Christophe)
Christophe était un savant reconnu de son temps et passait son temps libre à faire des petits miquets . Son savant Cosinus serait inspiré par le mathématicien Jacques Hadamard et sa légendaire distraction , ou par Henri Poincaré. Ses envies d'aventure ne dépasseront pas les limites de Paris .
Quadratino 1910 (Antonio Rubino)
Héros de sept histoires courtes, Quadration, un héros à la tête carrée, fait une bêtise dans chaque aventureet sa tête se transforme systématiquement en une autre figure. Heureusement, maman Géométrie, grand mère Mathématiques et tante Algèbre arrangent tout à fin .
Les Shadocks 1968 ( Jacques Rouxel)
héros bien connus de la télévision, les Shadocks multiplient les références à la logique et aux mathématiques, même si c'est pour mieux les déformer .
la bosse des maths 1962( Francis )
reprise d'un mini récit Spirou, cette courte BD raconte l'histoire d'un petit garçon pas très intelligent qui, en se cognant, acquiert la bosse des maths et devient un génie le temps que sa bosse se résorbe . Amusant.
Le chat(Geluck)
De nombreux gags sur la logique et les mathématiques qui ont même donné lieu à une étude de Daniel Justens .
Exploitables pour un cours.
Anselme Lanturlu ( JP Petit)
De nombreuses bandes dessinées didactiques qui amènent avec humour à se poser des questions mathématiques. J'ai proposé cette source à des élèves de TPE, qui ont trouvé matière à bricolage et réflexion . L'ensemble des bandes est disponible librement ici.
La fievre d'urbicande 1990 ( schuiten, Peeters )
Une maladie étrange frappe la ville d'Urbicande . Un cube posé négligeamment sur un bureau commence à s'agrandir et à se multiplier suivant une logique implacable, se transformant peu à peu en un octaèdre gigantesque, par la méthode de l'abbé René-Just Haüy.
Cette méthode peut sans doute donner lieu à des exercices de recherche en première S, afin d'aborder les suites .
Je n'ai pas pu m'empêcher de faire un petit bricolage . Cette bande dessinée nous y invite si fort ...
Avec des cubes en plastique ( appelés cubes de glace) de 3 couleurs différentes, et de la pate à fixer, on peut construire l'objet à la première génération,
puis à la seconde,
la troisième .
Je n'ai plus assez de cubes pour faire la quatrième .
On peut alors de poser la question du nombre de cubes nécéessaires à la n^ième génération, ainsi que le nombre de bout de pate à fixer nécessaire (ou alors la surface à peindre ) .
Histoire des mathématiques et des mathématiciens
Le théorème de Morcom ( Peeters, Goffin)
Dans une construction de l'histoire qui rappelle Citizen Kane, le journaliste découvre peu à peu les secrets d'un mathématicien génial récemment décédé qui a contribué à décrypter les messages secrets d'Enigma . Une biographie déguisée d'Alan Türing .
Logicomix ( Par Apóstolos K. Doxiàdis, Christos Papadimitriou; Alecos Papadatos, Annie Di Donna )
Après l'oncle Petros et la conjecture de Goldbach, l'auteur Doxiadis poursuit sa thématique de la recherche de la vérité mathématique aux portes de la folie. Une lecture de l'histoire de la crise de la logique au début du 20eme siècle, les doutes des mathématiciens, et le héros,Bertrand Russel, montré d'abord comme un homme, et pas seulement un esprit pur, susceptible de faire des erreurs dans sa vie . La mise en abyme montrant les auteurs s'interrogeant sur l'histoire qu'ils sont en train de raconter, avec leurs questionnements et leurs doutes, apporte encore plus de profondeur à ce récit . Les idées philosophiques planent très haut, les héros s'approchent souvent du vertige . Une belle présentation de ce que deviennent les mathématiques au début du 20eme siècle...
Mon libraire n'en revenait pas d'avoir dévoré un livre qui parlait de mathématiques.
Hypathie 2010 ( Pécout, Greiner )
la belle Hypathie est désormais célèbre depuis le film sorti l'année dernière . Une bande qui reprend le destin tragique de cette femme de sciences . De beaux moments, par exemple quand, reprenant les travaux de Ptolémée, elle construit un astrolabe .
Les cours de maths apparaissent dans nombre de bandes dessinées à succès traitant de l'enfance ou du monde de l'éducation : le petit Spirou, Titeuf ou Kid Paddle ou encore les Profs .
La fois prochaine, je parlerai sans doute des mathématiques comme inspiratrice au niveau de la forme et la structure.
Dans certains albums, le monde mathématique sert au fond du récit, dans d'autres, c'est plutôt à la forme qu'elle offre des ouvertures .
Pour l'instant, je cherche dans ma bibliothèque les albums dont l'histoire s'inspire des mathématiques et des mathématiciens . La liste ne sera donc pas exhaustive, mais libre à vous de me signaler les ouvrages que j'aurais oubliés .
humour
L'idée fixe du savant Cosinus 1899( Christophe)
Christophe était un savant reconnu de son temps et passait son temps libre à faire des petits miquets . Son savant Cosinus serait inspiré par le mathématicien Jacques Hadamard et sa légendaire distraction , ou par Henri Poincaré. Ses envies d'aventure ne dépasseront pas les limites de Paris .
Quadratino 1910 (Antonio Rubino)
Les Shadocks 1968 ( Jacques Rouxel)
héros bien connus de la télévision, les Shadocks multiplient les références à la logique et aux mathématiques, même si c'est pour mieux les déformer .
la bosse des maths 1962( Francis )
Le chat(Geluck)
Exploitables pour un cours.
Anselme Lanturlu ( JP Petit)
De nombreuses bandes dessinées didactiques qui amènent avec humour à se poser des questions mathématiques. J'ai proposé cette source à des élèves de TPE, qui ont trouvé matière à bricolage et réflexion . L'ensemble des bandes est disponible librement ici.
La fievre d'urbicande 1990 ( schuiten, Peeters )
Une maladie étrange frappe la ville d'Urbicande . Un cube posé négligeamment sur un bureau commence à s'agrandir et à se multiplier suivant une logique implacable, se transformant peu à peu en un octaèdre gigantesque, par la méthode de l'abbé René-Just Haüy.
Cette méthode peut sans doute donner lieu à des exercices de recherche en première S, afin d'aborder les suites .
Je n'ai pas pu m'empêcher de faire un petit bricolage . Cette bande dessinée nous y invite si fort ...
Avec des cubes en plastique ( appelés cubes de glace) de 3 couleurs différentes, et de la pate à fixer, on peut construire l'objet à la première génération,
puis à la seconde,
la troisième .
On peut alors de poser la question du nombre de cubes nécéessaires à la n^ième génération, ainsi que le nombre de bout de pate à fixer nécessaire (ou alors la surface à peindre ) .
Histoire des mathématiques et des mathématiciens
Le théorème de Morcom ( Peeters, Goffin)
Dans une construction de l'histoire qui rappelle Citizen Kane, le journaliste découvre peu à peu les secrets d'un mathématicien génial récemment décédé qui a contribué à décrypter les messages secrets d'Enigma . Une biographie déguisée d'Alan Türing .
Logicomix ( Par Apóstolos K. Doxiàdis, Christos Papadimitriou; Alecos Papadatos, Annie Di Donna )
Après l'oncle Petros et la conjecture de Goldbach, l'auteur Doxiadis poursuit sa thématique de la recherche de la vérité mathématique aux portes de la folie. Une lecture de l'histoire de la crise de la logique au début du 20eme siècle, les doutes des mathématiciens, et le héros,Bertrand Russel, montré d'abord comme un homme, et pas seulement un esprit pur, susceptible de faire des erreurs dans sa vie . La mise en abyme montrant les auteurs s'interrogeant sur l'histoire qu'ils sont en train de raconter, avec leurs questionnements et leurs doutes, apporte encore plus de profondeur à ce récit . Les idées philosophiques planent très haut, les héros s'approchent souvent du vertige . Une belle présentation de ce que deviennent les mathématiques au début du 20eme siècle...
Mon libraire n'en revenait pas d'avoir dévoré un livre qui parlait de mathématiques.
Hypathie 2010 ( Pécout, Greiner )
Les cours de maths apparaissent dans nombre de bandes dessinées à succès traitant de l'enfance ou du monde de l'éducation : le petit Spirou, Titeuf ou Kid Paddle ou encore les Profs .
La fois prochaine, je parlerai sans doute des mathématiques comme inspiratrice au niveau de la forme et la structure.
dimanche 23 janvier 2011
autour de la parabole
Deux bricolages que j'ai utilisés en début d'année scolaire, pour se poser la question : " est ce que les courbes tracées sont des paraboles avec des façons de les appréhender bien différentes .
Acte 1 : en module :
Le premier bricolage utilise le fait que la parabole est le lieu des points équidistants d'une droite et d'un point hors de cette droite .
Sur une planche, visser une tringle à rideaux " chemin de fer " tout en haut .
Ensuite, découper le crochet en plastique avec un couteau pour avoir une surface plane .
Avec quatre barres de meccano, fabriquer un losange . Deux sommets opposés sont fabriqués avec des vis et écrous, les deux autres sont fabriqués à l'aide de punaises qui sont fixées l'une sur le crochet modifié, l'autre sur la planche .
Accrocher un fil à plomb sur la punaise du crochet et un élastique entre les deux vis .
tracer au feutre le point d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb .
La punaise sur la tringle est mobile. Tout en la bougeant, repérer quelques autres points d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb.
Une fois qu'on en a quelques uns, voire une dizaine, on peut poser la question de la courbe formée si on plaçait tous ces points d'intersection .
C'est la première fois de l'année que l'on peut se poser la question du lieu géométrique et les questions qu'il faut se poser en premier lieu : qu'est ce qui est fixe dans cet objet ? qu'est ce qui est mobile ? De quel point étudie-t-on la position ?
La forme évoque la parabole, mais il faut justifier qu'on obtient bien une parabole .
Deux approches, l'une numérique, l'autre géométrique que l'on travaillera sur Geogebra .
Approche géométrique
Mais avant de travailler sur geogebra, il faut sans doute un peu dégrossir la figure pour en dégager les points importants .
Un obstacle important à la compréhension de la figure est le fait que les barres de Meccano cachent presque le reste de la figure, alors qu'il faut avant tout réfléchir sur la nature de la droite portée par l'élastique . En réflechissant ensemble, on arrive au fait que le point M est sur la médiatrice du segment [HF] qui lie les deux punaises , puis que le point M est équidistant de la droite d et du point F . On arrive à la définition de la courbe avec foyer et directrice .
On essaye ensuite d'imaginer cette construction sans les contraintes physiques de la longueur de la tringle et de la longueur de la barre de meccano . La courbe est-elle limitée ?
Une fois cela mis à plat, les élèves vont modéliser la courbe en utilisant géogébra . C'est alors assez facile .
Plus facile que d'insérer les applets de geogebra en tout cas.
Approche numérique .
Comment définit-on une parabole ? Pour l'instant, les élèves en ont une conception numérique, c'est une courbe d'équation y = a x² + b x + c . Il faudrait trouver a, b et c . Mais cela n'a un sens que si on se place dans un repère . Il faut le choisir .
Les objets fixes sont fixes dans ce repère . On peut choisir ce repère en fonction de ceux-ci . En posant la tringle comme axe des abscisses et la punaise comme le point de coordonnées F( 0 ; - 2 ) , par exemple .
Les points mobiles sont définis à partir de la seconde punaise, puisque c'est elle qui permet de trouver les points de la parabole . Puisqu'elle appartient au rail, son ordonnée est 0 , et ses coordonnées sont H( x ; 0 ), avec x réel et le but du calcul est de trouver le point M d'abscisse x, tel que HM = FM .
Entracte:
En devoir à la maison, j'ai demandé de construire la figure la plus simple possible sur geogebra et de la sauver sous leur nom dans le répertoire classe du LCS, et de déterminer algébriquement l'équation de cette courbe en plaçant l'axe des abscisses sur la tringle à rideaux et la punaise au point de coordonnées (0 ; - 2) .
Dans un autre exercice de ce devoir, j'ai demandé aux élèves de déterminer l'équation de la parabole qui passe par trois points donnés non alignés .
Après le rendu des devoirs, on peut conclure que par trois points non alignés, on peut trouver un seul trinome qui correspond et donc qu'il y a une seule parabole .
Acte 2 :
En tendant une drisse entre deux points situés à la même hauteur, on obtient une courbe . Cette courbe est-elle une parabole ? Justifier .
Un débat s'instaure .
Réponses des élèves :
Si c'est une parabole, on peut déterminer son équation quitte à choisir un repère .
On peut utiliser un logiciel de traitement d'image pour avoir des coordonnées;
Ou un logiciel de géométrie .
Une fois qu'on peut trouver les coordonnées de 3 points, on peut obtenir le trinome. Si les autres points vérifient l'équation trouvée, alors c'est une parabole, sinon...
En ouvrant un fichier geogebra et en insérant cette image, les élèves peuvent placer cette image dans un repère et placer quelques points de cette coube, afin d'en déterminer les coordonnées de façon plutôt précises .
Les élèves à l'aise ont choisi leur repère de façon à ce que les coordonnées soient les plus simples possible, d'autres ont choisi un repère de façon aléatoire et ont dû se trouver devant un système d'équations très compliqué .
En déplaçant le repère et en changeant les axes avec la molette, on peut obtenir ceci :
Quand ils ont trouvé les valeurs de a, b , c pour que la courbe passe par trois points, ils peuvent remarquer qu'un quatrième point ne passe pas par cette parabole .
Ainsi, à deux reprises , les élèves se sont posé la question " est ce que la courbe est une parabole ?" et la méthode de réponse n'est pas la même : dans le premier cas, c'est une parabole, la formule qu'on va trouver est un trinome pour tous les points ( prouvée dans le cadre général) , dans le second, ce n'est pas une parabole et on trouve un contre-exemple .
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