Visualisation du cosinus et du sinus .

Voila un certain temps que je n'ai pas posté quelque chose d'intéressant sur ce blog. Pour en avoir envie, il faut en premier lieu que je sente que les articles que je vais écrire soient suffisamment intéressants et assez étayés . Je vais co-animer dans quelques semaines un stage qui se nomme " toucher les maths"; et j'avais envie de revenir à mes fondamentaux, c'est à dire l'envie de partager et réfléchir sur ces bricolages pédagogiques, envie de retrouver l'envie d'en refaire .

 Je vais présenter aujourd'hui trois bricolages qui permettent de visualiser le cosinus et le sinus d'un angle . Tous trois utilisent plus ou moins explicitement le cercle de rayon 1, chacun d'eux doit permettre de visualiser les angles . L'objectif est d'établir un lien entre deux grandeurs : la mesure de l'angle et le cosinus de l'angle ; ou entre la mesure de l'angle et le sinus de cet angle . Le premier bricolage, que j'ai déjà présenté, peut être utilisé en 4ème, pour présenter le cosinus d'un angle aigu . Il consiste en un bras articulé autour d'un axe , de longueur une unité , au bout duquel on attache un fil à plomb.

En tenant l'objet verticalement, le fil à plomb permet de visualiser le projeté orthogonal du point sur le côté adjacent . cos ( alpha) = côté adjacent / hypoténuse = côté adjacent / 1 = côté adjacent . On remarque que le quart de cercle n'est pas tracé, la question en quatrième est surtout l'étude des triangles rectangles . Cela dit, au bout de quelques année d'utilisation , le cercle se dessine avec l'usure de l'objet.

Le deuxième objet que j'utilise dès la seconde pour présenter les angles orientés, est une extension du précédent objet à tout le cercle trigonométrique . Ici, le cercle est tracé explicitement, les angles sont placés en radians, sur les points du cercle pour rappeler l'enroulement de la droite autour du cercle . On peut marquer aussi les angles en dizaines de degré, sans les écrire, pour faire réfléchir sur les conversions .

 Au bout du bras articulé, sur le même principe , un fil à plomb, qui va permettre de projeter orthogonalement sur l'axe des cosinus .

(prévoir de la laine de couleur plutôt que du fil de pêche)

On se retrouve avec deux problèmes : 1) si l'angle orienté est compris entre pi et 2pi, le fil à plomb ne va pas couper l'axe . Avec un peu d'entrainement, en accrochant la planche autour du cou , on peut synchroniser la rotation de l'axe et la droite verticale . 2) pour le sinus, il est difficile d'obtenir une droite horizontale, j'ai quelques astuces mais elles sont peu probantes : on fixe une tige mobile autour du clou, parfaitement équilibrée, tarée de chaque côté d'un même poids de quelques centaines de grammes . La tige arrive à un équilibre vertical, certes, mais ça tangue . Le mieux est de synchroniser le mouvement du bras et du fil pour avoir un fil horizontal .

Bon, on peut me dire, j'ai l'animation sur géogébra, pourquoi se casser les pieds avec ces manipulations parfois saugrenues ? Je trouve que la manipulation de l'objet peut donner des séquences très vivantes, très parlantes et assez mémorables pour les élèves.
Les moments où on tient l'objet devant soi, pour présenter les notions, ou, plus tard, pour interroger un élève sur les valeurs remarquables ou les variations sont des moments assez forts où on fait corps avec les notions, c'est indéfinissable .

Cet objet est particulièrement intéressant pour aborder les mesures principales, le signe d'un cosinus et d'un sinus et surtout les variations de ces deux fonctions , assez intéressant pour résoudre des équations trigonométriques .Il peut être sorti à tout moment où on peut poser ce genre de questions et peut devenir un objet de référence accroché sur un mur . C'est un objet complémentaire à celui proposé par une animation geogebra.


 Pour le dernier objet, j'ai repris l'idée de Gérald Giangrande, un collègue animateur de l'irem de Caen très inventif, qui aime fabriquer des objets mathématiques , très beaux, beaucoup plus fignolés que les miens , pour le plaisir de l'idée, mais qui n'utilise ces objets que rarement en cours . Son idée est d'utiliser le cercle de diamètre 1, tournant autour de l'axe .

Cet objet utilise le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle : Le point H appartient au cercle de diamètre[OM], donc le triangle OMH est rectangle en H . Comme H appartient à l'axe des abscisses, le point H est le projeté orthogonal de M sur L'axe des abscisses . On peut donc lire le cosinus de l'angle IOM . Cet objet est un théorème en action, qui permet une lecture de mesures .

Pour fabriquer l'objet, j'ai utilisé le même principe que pour le bricolage pour le cercle circonscrit , c'est à dire trois couches de cartons superposés permettant à un point mobile ( en fait un bouton de jean surmonté d'un piton à vis ) de circuler sur un rail .

Autour du centre du cercle en carton, une plaque de plexiglas( ? , un truc récupéré sur un vieux cadre en tout cas ) va tourner à l'aide d'une vis, d'une rondelle et d'un boulon) .

J'aime particulièrement l'idée de l'objet, même si je trouve la lecture du sens de variation des fonctions beaucoup moins intuitive, il y a un obstacle , il faut ne pas oublier qu'on visualise l'intersection d'un cercle et d'une droite, il faut se dire sans cesse qu'on a le projeté orthogonal, puis qu'on obtient le cosinus et le sinus . Cela fait beaucoup d'opérations mentales.

Cela dit, c'est peut être ce qui fait que cet objet est si intéressant, il est intrigant, il ne se laisse dévoiler qu'après une certaine réflexion, quand on comprend ce que ça veut dire, on est très content, un ahah mathématique comme dirait Martin Gardner, ça chatouille comme une oeuvre d'art.

Je pense que mon collègue aura trouvé une méthode plus élégante et fabriqué un objet plus beau, un objet d'art .

J'aime assez l'idée qu'on puisse  fabriquer des objets intéressants avec des bouts de carton.

pliage 2

il m'est venu une question en pliant un billet de 5 euros qui répond presque à la question : Quel doit être le format d'un rectangle pour obtenir, après avoir plié pour amener un sommet sur le sommet opposé, puis en repliant les bouts qui dépassent, un triangle équilatéral ?

pliage

Une énigme que j'ai postée sur quelques forums : Comment peut-on plier une feuille A4 , en un minimum de plis, sans dépassement , de manière à obtenir le triangle isocèle d'aire maximale ?

topographie : goniomètre simplifié

Une séance de MPS, où nos élèves ont pour objectif de faire une carte d'un terrain .
Tout d'abord, je commence par montrer des images de cartes anciennes tirées d'un fascicule
"histoire de la cartographie" , éditions périscope . Je demande que représente les images projetées .

- c'est une carte.
- une carte ancienne.
- une carte, oui, mais de quoi ?
Les élèves hésitent vraiment à se lancer et dire une carte de France . Les indices en faveur de la carte de France sont la péninsule ibérique et la position de l'Angleterre , mais on a bien du mal à repérer la Bretagne et encore davantage notre Normandie .
- oui, c'est une carte de France, dite de Ptolémée, tirée de la Cosmographie de Ptolémée, datée de 1486 à Ulm .
Une seconde image, une carte dite nouvelle

- un peu mieux, mais pas encore conforme à l'idée qu'on se fait de la carte de France.
Un peu plus récente, la carte d'Oronce Fine qui a l'a construite à partir de cartes régionales et de nombreux calculs les latitudes et longitudes :

Quand Colbert crée l'Académie des sciences, l'un des premiers projets est de créer des cartes du pays plus précises et plus pratiques . L'Abbé Picard et La Hire déterminèrent alors les coordonnées des côtes du Royaune et ils obtinrent cette carte en 1682 ( première carte établie sur le méridien de Paris)

La carte suivante date de 1783 , éditée par César François Cassini de Thury (le troisième de la dynastie ). Elle est beaucoup plus précise .

Mais d'où vient cette précision, comment a-t-elle été obtenue ?
Après un zoom de l'image, on a une explication .

Ces petits triangles qui parsèment toute la carte de France sont en fait les traces de mesures d'angles, qui ont permis des calculs de longueurs précis .
Je propose alors à mes élèves de faire un petit essai simplifié .
La veille, j'avais repéré à la craie quelques points dans la cour, à des distance les uns des autres de l'ordre d'une dizaine de mètres , en faisant attention que certains points ne soient pas visibles à partir d'autres points . J'avais emprunté quelques plots aux collègues de sport que j'ai placés sur les points pendant la récré précédant le cours .
J'ai fabriqué un goniomètre simplifié pour les mesures d'angles .

sur une boîte en bois, j'ai posé une feuille de carton sur laquelle j'ai dessiné un rapporteur à 360°, et j'ai vissé sur le centre de ce rapporteur une barre de meccano que j'ai pliée à 90° sur les deux bords , pour obtenir une alidade , un viseur . Avec un clou que je fixe en le plaçant dans le trou plié et en l'attachant avec un colson, j'obtiens une aiguille qui permet la mesure de l'angle .

Je pose ma boîte sur un tabouret de manière à avoir un appareil d'aplomb et à hauteur d'yeux et les mesures peuvent commencer .

J'ai mesuré une seule longueur , et avec celle-ci je peux en déduire toutes les autres .
Dans la cour, je propose à mes élèves d'effectuer les mesures .Un élève est chargé de la visée. Un autre plante un drapeau sur l'un des plots, afin de faciliter la visée, puis une fois celle-ci faite, va planter son drapeau sur l'autre plot .

Protocole d'utilisation du goniomètre
Ce goniomètre simplifié permet de mesurer des angles entre des points qui se trouvent à la même altitude . Parfois des obstacles empêchent de mesurer tous les angles .

1)Placer le goniomètre au dessus du premier repère, vérifier qu'il est à plat grâce au niveau .
Remise à zéro
2)Avec le viseur, viser le second répère de manière à ce que les deux troux de l'alidade soient alignés avec la cible .
3)Déplacer alors le rapporteur de façon à ce que le repère soit sur 0° .
Mesure de l'angle
4)Sans bouger le rapporteur, viser le troisième repère .
5)Lire et noter l'angle obtenu sur le rapporteur .

Pour déterminer les angles d'un triangle, il suffit d'en mesurer deux .

(pour ceux qui ont lu Jules Verne, le projet de MPS porte sur l'île Mystérieuse )

Après cette introduction et la séance des mesures, nous retournons en classe et je présente le théorème d'Al Kashi et la loi des sinus et il reste 45 minutes pour effectuer les calculs et un dessin à l'échelle . Un travail motivé et rapide . En expérimentant et en effectuant les mesures, les élèves ont bien compris tous les enjeux des calculs et n'ont pas éprouvé de difficultés, je les ai trouvés réactifs devant les erreurs de calculs, davantage que dans un calcul juste sur papier .

L'objet n'est pas assez précis pour faire des relevés topographiques précis, il est juste fait pour comprendre l'idée de triangulation . Bien que la visée soit assez précise, la mesure de l'angle l'est moins. L'un des perfectionnements possibles est de faire plusieurs fois de suite la mesure avec un cercle répétiteur . Ainsi, si on effectue 10 mesures identiques, la précision est 10 fois meilleure .

C'est ce genre de calcul qui, avec Delambre et Méchain, permit de calculer la longueur d'un méridien et aboutit à la définition du mètre, après la révolution française .

pantographes

J'ai trouvé dans des brocantes deux pantographes, vendus comme jouets .
Le premier, non réglable, permet des faire des agrandissements de rapport 2, 1/2 , ou de tracer le symétrique par rapport à un point .
Le second , réglable permet de faire des homothéties de rapport positifs ou négatifs, dont on peut choisir le rapport parmi certaines valeurs .
Il est assez facile d'en fabriquer un avec des barres de meccano, une fois qu'on a réglé le problème technique du crayon .

Ce qui me semble intéressant dans ces objets, c'est qu'ils posent des questions qui peuvent être résolues à différents niveaux . Ils permettent aussi d'avoir un application pratique .
Dans certains cas, même, il me semble qu'ils éclaircissent certaines techniques, devenant dans l'esprit de certains élèves, une figure-clé .

L'instant où je manipule cet objet devant ma classe est l'un de mes préférés de l'année. Je fais un petit dessin au tableau , puis en étant extrèmement concentré sur cet objet, je dessine sans regarder ma main, repassant avec le pointeur le dessin d'origine . Le résultat est un agrandissement de rapport k de mon dessin d'origine, devant l'étonnement de mes élèves .

A ce moment, je présente l'objet, le pantographe, on débat de ses principales caractéristiques , on fait une figure codée de l'objet et je pose deux questions :
1) Démontrer que les points A, B et C sont alignés et que AC = k AB .
2) Si l'on trace l'image de deux points donnés M et N , montrer qu'on obtient deux points M' et N' tels que ( MN )// ( M'N') et M'N' = k MN .

D'un autre côté, d'un point de vue technique, on peut aussi se poser une troisième question, qui porte sur le rayon d'action de l'objet :
3) Pour quels points peut-on construire les images avec cet objet ?

Niveau quatrièmes

Le premier objet peut faire l'objet d'un bon exercice en 4eme . Etonnament, c'est une démonstration assez compliquée . Mais peut être que j'ai loupé quelque chose qui simplifie le problème.

prérequis :! parallélogrammes, théorème des milieux .

1) Montrer que B est le milieu de [AC ]
Par construction ( on peut le vérifier en manipulant l'objet ), on a : AE = ED = EF = FC = FB = BE ; De plus, E est le milieu de [DA ] et F est le milieu de [DC ] ;
on peut alors construire une figure codée .
a) DF = EB et ED = FB .
Un quadrilatère qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme
donc EDFB est un parallélogramme .
b) EDFB est un parallélogramme
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles .
donc (ED) // ( BF) et ( EB) // ( DF )
c) Dans le triangle DAC , F est le milieu de [DC] et la droite ( FB) est parallèle à la droite ( DA)
2ème théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu .
Donc cette droite ( DB) passe par le milieu de [AC]
Ici, on ne prouve pas encore que B est le milieu de [AC ]
d) Dans le triangle DAC , E est le milieu de [DA] et la droite ( EB) est parallèle à la droite ( DC)
2ème théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu .
Donc cette droite ( EB) passe par le milieu de [AC]
d) Les droites ( EB) et ( FB) passent par le milieu de [AC] et ne sont pas parallèles, donc B est le milieu de [AC]
2) Par construction, M est le milieu de [AM' ] et N est le milieu de [AN] .
1er théorème de la droite des milieux : le segment qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié du troisième côté .
Donc (MN) // (M'N') et MN = 1/2 M'N'
3)Le lieu géométrique du point B est le disque de centre A et de rayon AD .
démonstration :
Par inégalité triangulaire, AB <= AE + EB = 2 AE = AD . Donc B appartient au disque de centre A et de rayon AD . Réciproquement, si B appartient au cercle de centre A et de rayon AD, alors le cercle de centre B et de rayon 1/2 AD et le cercle de centre A et de rayon 1/2 AD se coupent en deux points ( ou 1 point si A,E et B sont alignés ) . Donc le point B peut être atteint avec cet objet .
Le pantographe à symétrie centrale
En échangeant le point fixe avec le point témoin, on obtient un objet qui dessine le symétrique du dessin par symétrie centrale .

Démonstration : On a prouvé que B est le milieu de [AC] donc C est le symétrique du point A par la symétrie de centre B .

Autre réglage: en échangeant le témoin mobile et le crayon traceur, on obtient une réduction de rapport 1/2

Pantographe par homothétie .

On peut cette fois ci régler le coefficient . Les coefficients choisis pour ce jouet sont 1.5 , 2, 2.5 , 3, 3.5, 4, 5, 6, 8 et 10 .
En échangeant les rôles des points A, B et C, on peut doc obtenir des homothéties avec ces rapports , mais aussi les inverses de ces rapports, ou encore des homothéties de rapports k/(1-k), comme nous le verrons tout à l'heure .

Niveau troisième

Par construction, D, E ,A sont alignés , D, F , C sont alignés dans cet ordre. AD = k AE , DC = k DE . EB = DF et ED = BF
Prérequis : Parallélogramme ,Théorème de Thalès, réciproque du théorème de Thalès .

Le raisonnement est assez analogue au précédent .

Niveau seconde
Prérequis : multiplication d'un vecteur par un nombre, vecteurs colinéaires .
1) Par construction,

En utilisant la relation de Chasles

Une ligne de calcul pour ce qui avait été bien plus pénible auparavant ;
Il me semble de plus que ce calcul est le grand classique du calcul vectoriel, mis à portée de la main . C'est un objet qui illustre à merveille la technique et les concepts mis en jeu . Pour un élève, la grande difficulté avec le calcul vectoriel est de trouver un bon chemin dans le calcul pour exprimer un vecteur en fonction d'un autre . La structure de cet objet où les deux directions à prendre sont visibles, au contraire du vecteur à exprimer, permet d'avoir les données du problème sans élément parasitant le calcul . A mon avis, c'est une figure clef pour la compréhension de ce genre de problème où il faut exprimer un vecteur en fonction d'un autre .



2) On a placé M et M', ainsi que N et N' .
On a prouvé que

On a donc

Ce qui prouve que (MM') // (NN') et NN' = k NN' .

Construire son pantographe .

Je me suis mis en tête de construire mon propre pantographe, avec des barres de meccano .
Les principaux problèmes sont le point fixe, le crayon témoin et le crayon traceur .
Pour le point fixe, j'ai utilisé un embout ventouse de fléchettes de pistolet pour enfants .

Pour les crayons, j'ai opté pour le stylo bic classique, même si je déplore un peu trop de jeu . L'un des deux stylos ne fonctionne plus , ce sera le crayon témoin.

Les résultats sont assez satisfaisants dans l'idée, un peu moins dans la pratique, mais pas si mal, on va dire .
Le principal avantage de ce procédé est le choix des coefficients pour les homothéties .
Pour un résultat correct au tracé, ne pas chercher de coefficients trop grands ou trop proches de 1 , mais a priori , on peut considérer que

On peut alors se poser la question du nombre de rapports possibles, en recherchant les fractions égales par exemple .
Suivant la position relative des points fixes, du témoin et du traceur, on obtient des homothéties de rapport a/b , b/a , a/(a-b) ou encore (a-b)/a .

maths et bd

Je suis en train de préparer quelques petits articles, mais pour alimenter un peu le blog, je poste cette bande avec laquelle j'ai gagné le deuxième prix du concours maths et BD organisé par le site images des mathématiques avec le magazine Tangente ;

Je ne sais pas du tout si c'est exploitable en classe . j'espère juste que cette planche amènera autant de questions mathématiques que l'on peut se poser devant une démonstration sans mots ou une bande dessinée de l'oubapo.
Pour la construction des cases, je n'ai utilisé que la règle et le té, sans jamais faire de mesures de longueur, en traçant uniquement des diagonales et des droites parallèles .