BricoMaths

pantographes

2012-02-01T22:50:00.000+01:00

J'ai trouvé dans des brocantes deux pantographes, vendus comme jouets .
Le premier, non réglable, permet des faire des agrandissements de rapport 2, 1/2 , ou de tracer le symétrique par rapport à un point .
Le second , réglable permet de faire des homothéties de rapport positifs ou négatifs, dont on peut choisir le rapport parmi certaines valeurs .
Il est assez facile d'en fabriquer un avec des barres de meccano, une fois qu'on a réglé le problème technique du crayon .

Ce qui me semble intéressant dans ces objets, c'est qu'ils posent des questions qui peuvent être résolues à différents niveaux . Ils permettent aussi d'avoir un application pratique .
Dans certains cas, même, il me semble qu'ils éclaircissent certaines techniques, devenant dans l'esprit de certains élèves, une figure-clé .

L'instant où je manipule cet objet devant ma classe est l'un de mes préférés de l'année. Je fais un petit dessin au tableau , puis en étant extrèmement concentré sur cet objet, je dessine sans regarder ma main, repassant avec le pointeur le dessin d'origine . Le résultat est un agrandissement de rapport k de mon dessin d'origine, devant l'étonnement de mes élèves .

A ce moment, je présente l'objet, le pantographe, on débat de ses principales caractéristiques , on fait une figure codée de l'objet et je pose deux questions :
1) Démontrer que les points A, B et C sont alignés et que AC = k AB .
2) Si l'on trace l'image de deux points donnés M et N , montrer qu'on obtient deux points M' et N' tels que ( MN )// ( M'N') et M'N' = k MN .

D'un autre côté, d'un point de vue technique, on peut aussi se poser une troisième question, qui porte sur le rayon d'action de l'objet :
3) Pour quels points peut-on construire les images avec cet objet ?

Niveau quatrièmes

Le premier objet peut faire l'objet d'un bon exercice en 4eme . Etonnament, c'est une démonstration assez compliquée . Mais peut être que j'ai loupé quelque chose qui simplifie le problème.

prérequis :! parallélogrammes, théorème des milieux .

1) Montrer que B est le milieu de [AC ]
Par construction ( on peut le vérifier en manipulant l'objet ), on a : AE = ED = EF = FC = FB = BE ; De plus, E est le milieu de [DA ] et F est le milieu de [DC ] ;
on peut alors construire une figure codée .
a) DF = EB et ED = FB .
Un quadrilatère qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme
donc EDFB est un parallélogramme .
b) EDFB est un parallélogramme
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles .
donc (ED) // ( BF) et ( EB) // ( DF )
c) Dans le triangle DAC , F est le milieu de [DC] et la droite ( FB) est parallèle à la droite ( DA)
2ème théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu .
Donc cette droite ( DB) passe par le milieu de [AC]
Ici, on ne prouve pas encore que B est le milieu de [AC ]
d) Dans le triangle DAC , E est le milieu de [DA] et la droite ( EB) est parallèle à la droite ( DC)
2ème théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu .
Donc cette droite ( EB) passe par le milieu de [AC]
d) Les droites ( EB) et ( FB) passent par le milieu de [AC] et ne sont pas parallèles, donc B est le milieu de [AC]
2) Par construction, M est le milieu de [AM' ] et N est le milieu de [AN] .
1er théorème de la droite des milieux : le segment qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié du troisième côté .
Donc (MN) // (M'N') et MN = 1/2 M'N'
3)Le lieu géométrique du point B est le disque de centre A et de rayon AD .
démonstration :
Par inégalité triangulaire, AB <= AE + EB = 2 AE = AD .Donc B appartient au disque de centre A et de rayon AD .Réciproquement, si B appartient au cercle de centre A et de rayon AD, alors le cercle de centre B et de rayon 1/2 AD et le cercle de centre A et de rayon 1/2 AD se coupent en deux points ( ou 1 point si A,E et B sont alignés ) . Donc le point B peut être atteint avec cet objet .
Le pantographe à symétrie centrale
En échangeant le point fixe avec le point témoin, on obtient un objet qui dessine le symétrique du dessin par symétrie centrale .

Démonstration : On a prouvé que B est le milieu de [AC] donc C est le symétrique du point A par la symétrie de centre B .

Autre réglage: en échangeant le témoin mobile et le crayon traceur, on obtient une réduction de rapport 1/2

Pantographe par homothétie .

On peut cette fois ci régler le coefficient . Les coefficients choisis pour ce jouet sont 1.5 , 2, 2.5 , 3, 3.5, 4, 5, 6, 8 et 10 .
En échangeant les rôles des points A, B et C, on peut doc obtenir des homothéties avec ces rapports , mais aussi les inverses de ces rapports, ou encore des homothéties de rapports k/(1-k), comme nous le verrons tout à l'heure .

Niveau troisième

Par construction, D, E ,A sont alignés , D, F , C sont alignés dans cet ordre. AD = k AE , DC = k DE . EB = DF et ED = BF
Prérequis : Parallélogramme ,Théorème de Thalès, réciproque du théorème de Thalès .

Le raisonnement est assez analogue au précédent .

Niveau seconde
Prérequis : multiplication d'un vecteur par un nombre, vecteurs colinéaires .
1) Par construction,

En utilisant la relation de Chasles

Une ligne de calcul pour ce qui avait été bien plus pénible auparavant ;
Il me semble de plus que ce calcul est le grand classique du calcul vectoriel, mis à portée de la main . C'est un objet qui illustre à merveille la technique et les concepts mis en jeu . Pour un élève, la grande difficulté avec le calcul vectoriel est de trouver un bon chemin dans le calcul pour exprimer un vecteur en fonction d'un autre . La structure de cet objet où les deux directions à prendre sont visibles, au contraire du vecteur à exprimer, permet d'avoir les données du problème sans élément parasitant le calcul . A mon avis, c'est une figure clef pour la compréhension de ce genre de problème où il faut exprimer un vecteur en fonction d'un autre .

2) On a placé M et M', ainsi que N et N' .
On a prouvé que

On a donc

Ce qui prouve que (MM') // (NN') et NN' = k NN' .

Construire son pantographe .

Je me suis mis en tête de construire mon propre pantographe, avec des barres de meccano .
Les principaux problèmes sont le point fixe, le crayon témoin et le crayon traceur .
Pour le point fixe, j'ai utilisé un embout ventouse de fléchettes de pistolet pour enfants .

Pour les crayons, j'ai opté pour le stylo bic classique, même si je déplore un peu trop de jeu . L'un des deux stylos ne fonctionne plus , ce sera le crayon témoin.

Les résultats sont assez satisfaisants dans l'idée, un peu moins dans la pratique, mais pas si mal, on va dire .
Le principal avantage de ce procédé est le choix des coefficients pour les homothéties .
Pour un résultat correct au tracé, ne pas chercher de coefficients trop grands ou trop proches de 1 , mais a priori , on peut considérer que

On peut alors se poser la question du nombre de rapports possibles, en recherchant les fractions égales par exemple .
Suivant la position relative des points fixes, du témoin et du traceur, on obtient des homothéties de rapport a/b , b/a , a/(a-b) ou encore (a-b)/a .

maths et bd

2011-12-21T14:34:00.000+01:00

Je suis en train de préparer quelques petits articles, mais pour alimenter un peu le blog, je poste cette bande avec laquelle j'ai gagné le deuxième prix du concours maths et BD organisé par le site images des mathématiques avec le magazine Tangente ;

Je ne sais pas du tout si c'est exploitable en classe . j'espère juste que cette planche amènera autant de questions mathématiques que l'on peut se poser devant une démonstration sans mots ou une bande dessinée de l'oubapo.
Pour la construction des cases, je n'ai utilisé que la règle et le té, sans jamais faire de mesures de longueur, en traçant uniquement des diagonales et des droites parallèles .

paysage champêtre et géométrique

2011-11-13T17:26:00.000+01:00

En me baladant en vélo, j'ai trouvé cette vue de saison intéressante .

Château d'eau : cylindre et tronc de cône .
Centre de valorisation des gaz des déchets (à droite, en blanc ): sphère.
Tas de betterave: modélisable en première approche par la réunion du prisme droit à base triangulaire et de deux demi cônes, en seconde approche -après avoir réfléchi à mes jeunes années où j'ai benné quelques tombereaux de betteraves- , sans doute la réunion de plusieurs de ces solides approximativement dans le même axe .
Betterave: approximativement , cône et calotte, peut être assez proche de la sculpture à courbure négative que j'ai vu à la fondation Cartier .

Après tout , quand on est en vélo, les idées se choquent de manière inattendue et créative ...

variante du paradoxe du menteur

2011-11-13T14:46:00.000+01:00

Ce midi, après avoir mangé le poulet dominical, mes enfants ont voulu casser le bréchet en faisant un voeu . Chacun d'eux tire un bout de cet os, fait un voeu et tire jusqu'à ce que l'os cède . celui qui a la plus grande part aura son voeu réalisé . En l'occurrence nous cédons plus à l'appel du jeu et de la tradition familiale qu'à la superstition.
Mon grand fils, après avoir gagné, nous a avoué avoir émis le voeu que son frère gagne .

N'est ce pas une variante du paradoxe du crétois Epiménide: "Tous les crétois sont des menteurs" , ou encore réduit à sa plus simple expression: " cette phrase est fausse" ?

une calculatrice manuelle de poche ( vers 1960)

2011-09-26T14:31:00.001+02:00

Dans les brocantes, on trouve parfois des objets assez intéressants .
Même si la technique les a complètement démodés, il leur reste le charme de l'astuce et celui de la nostalgie .
Pour un euro, j'ai fait l'acquisition de ce petit objet en plastique, avec son mode d'emploi, qui transpose les algorithmes de calcul des 4 opérations et permet de faire les 4 opérations jusque 999 999 999 . Le mode d'emploi ci dessous est assez clair, même s'il est un peu lourd et superpose des termes techniques propres à la machine à ceux des opérations en elles-mêmes (report, emprunt,... ). La fabrication est italienne , la date n'est pas mentionnée .

Elle fonctionne avec des réglettes mobiles, que l'on bouge avec un stylet .

A ce propos, j'ai trouvé quelques sites de collectionneurs de machines à calculer .
http://www.photocalcul.com/index.html
http://www.mainieri.eu/index.aspx

J'ai trouvé intéressant de comprendre le mode d'emploi et de faire un parallèle entre les algorithmes d'utilisation de cette calculatrice et ceux qu'on emploie quand on pose une opération. Ca ne sert à rien, mais c'est bien plus beau quand c'est inutile.

1) l'addition
exemple : on effectue 344 + 1572.

a)calcul à la main:
on met dans la même colonne les chiffres des unités, puis les chiffres des dizaines, puis ceux des centaines, etc ... des deux termes de l'addition.
3 4 4
+ 1 5 7 2
__________
= . . . .

En utilisant la calculatrice de poche :
On pointe le stylet sur le chiffre des unités du premier terme dans la colonne des unités, puis on descend jusqu'à la butée , on fait de même avec le chiffre des dizaines dans la colonne suivante, etc...
Une fois le premier terme posé, on écrira l'autre terme "par dessus" .

Sur le mode d'emploi de la calculatrice, on effectue les opérations de la gauche vers la droite, mais on peut aussi les effectuer en commençant par la droite, comme dans un calcul à la main sans changer le résultat. Je vais opérer dans ce sens .

b) on ajoute les unités .
calcul à la main:
Le total étant strictement inférieur à 10, on ne pose pas de retenue .
3 4 4
+ 1 5 7 2
__________
= . . . 6

calculatrice de poche
Pour effectuer une somme, il y a deux possibilités :
1)Si le stylet est sur une case blanche, alors on le descend jusqu'à la butée.
2)Si le stylet est sur une case rouge, alors on le remonte jusqu'à la butée extérieure, puis on descend le stylet de 1 sur la case des retenues de la colonne suivante .

Ce qui nous donne:
On pointe le stylet sur le 2 dans la colonne des unités . Le stylet est sur une case blanche, on le descend jusqu'à la butée inférieure . on ajoute simplement la descente de 4 rangs et la descente de 2 rang . En tout, on a descendu la colonne des unités de 6 .

c) On ajoute les dizaines :
Calcul à la main :
7 + 4 = 11 , on pose le 1 des unités et on remonte le 1 des dizaines en retenue ;

calculatrice de poche
on pointe le stylet sur le 7 . Il se trouve sur une case rouge, donc on remonte jusqu'à la butée supérieure et on descend la retenue .

comment ça marche : quand on ajoute, on descend le stylet, quand on retranche, on le remonte .
si a et b sont tels que a + b = 10 .
Alors : a + b = a + 10 + (b - 10 ) = 10 + a - (10 - b)
le 10 correspond à la mise en retenue, le a était déjà posé, on remonte du complémentaire à 10 de b .

d) on ajoute les centaines .
calcul à la main

1+3+5 = 9 ,pas de nouvelle retenue .
calculatrice de poche
la retenue est déjà descendue, on pose le stylet sur le 5, il est sur une case blanche, on descend donc le stylet jusqu'à la butée inférieure .

e) On termine avec le chiffre des milliers, on retourne la machine pour avoir le résultat .

2) La multiplication .

ici, la répartition des calculs avec un décalage à chaque fois évoque la méthode de multiplication par jalousie .
Quand on pose une multiplication de manière classique, on effectue le passage à la colonne suivante en ajoutant les retenues au fur et à mesure, contrairement à ces deux méthodes qui calcule les produits chiffre à chiffre et ajoute les résultats à la fin .

Etonnante régularité y = tan(E(x))

2011-09-14T23:09:00.002+02:00

Pour préparer mon cours sur la continuité, j'ai tracé sur géogébra quelques courbes utilsant la fonction partie entière.
J'ai eu une belle surprise après avoir tapé y = tan( floor(x)). Je m'attendais à un graphe très "capricieux" .
J'ai eu une surprise et beaucoup de questions ...
La fonction tangente étant périodique de période pi, en prenant la partie entière, on a des valeurs incommensurables avec la période . Alors, comment se fait-il qu'on ait l'impression de voir les courbes se répéter ?
On voit en pointillé des courbes ressemblant à des hyperboles .
Peut-on extraire des suites intéressantes de un= tan(n) ? Comment peut-on le faire ?

Désolé pour ces questions qui peuvent être naïves, mais si quelqu'un a des pistes ...

une astuce pour la pétanque

2011-09-12T15:13:00.001+02:00

Il est bien temps de montrer cette astuce maintenant que l'été s'achève!
Il y a longtemps que je devais terminer cette planche .
Cette astuce permet de trouver la meilleure boule dans la plupart des cas , est plus efficace que la méthode à l'oeil nu .

numismatique et mathématiques: quelques pièces intéressantes

2011-07-01T12:37:00.002+02:00

J'ai pioché dans ma petite collection quelques pièces intéressantes.
Si quelqu'un peut apporter des précisions sur les pièces écrites en arabe ou proposer d'autres pièces intéressantes, je suis preneur .

du point de vue de la forme :

des polygones de Reuleaux, à diamètre constant .
Pièces anglaises

Pièces des émirats arabes unis . Que veut dire cette espèce de zéro en valeur faciale ? Je l'ai vue sur d'autres pièces, je ne peux pas croire que ce soit une pièce sans valeur ...

Une pièce anglaise en forme de dodécagone

du point de vue de ce qui est représenté

Certaines pièces représentent des formes géométriques:
Je ne connais pas la provenance de cette pièce de monnaie ( vers 1912) , mais les deux faces représentent des figures géométriques intéressantes, reproductibles à la règle et au compas .

Cette pièce marocaine est aussi riche est formes géomériques :

Une pièce dont une face glorifie la culture scientifique, en particulier la géométrie et la chimie ce n'est pas fréquent . Je ne sais pas de quel pays provient cette pièce, mais je le respecte .

Cette pièce française frappée à plusieurs reprises au début de la 3eme république puis de la 5eme république, sur laquelle Hercule est entourée de deux femmes, l'une portant un niveau à fil à plomb, dont j'avais parlé dans un précédent message . J'ai vu cet objet dans des sites un peu ésotériques, je trouve toujours cela étonnant.

paradoxe temporel de la bibliothèque

2011-06-13T17:32:00.004+02:00

Le très bon blog du coyote propose la devinette suivante :
Une encyclopédie en 4 volumes se trouve sur une étagère très bien rangée. Chaque tome contient 500 pages sans compter les couvertures. Un ver grignote les pages de la no 1 à la no 2000.
Combien le ver a-t-il troué de pages (sans compter les couvertures) ?

cela me fait repenser à une situation de paradoxes temporels que doivent subir les pauvres héros de roman et de bande dessinée . Un paradoxe de continuité .
Voici une planche que j'ai réalisée pour un fanzine avec mon copain Geoffo qui publie par ailleurs ce mois ci son premier comic book ( je croise les doigts pour lui ).

classement wikio sciences exactes mai 2011 en avant première

2011-05-04T16:35:00.001+02:00

1	{sciences²}
2	Globule et télescope
3	Guy Doyen
4	Le blogue de Valérie Borde
5	Planet Techno Science
6	En quête de sciences
7	Matières Vivantes
8	Dr. Goulu
9	Guru méditation
10	Choux romanesco, vache qui rit et intégrales ...
11	Science étonnante
12	La science, la cité
13	Le Cosmographe
14	Algorythmes
15	Le Blog mathématique d'ABC Maths
16	Les indispensables mathématiques et physiques
17	BricoMaths
18	Mathématiques du coyote
19	A la source
20	Inclassables Mathématiques

Classement réalisé par Wikio

géométrie dans ma cuisine

2011-04-16T10:53:00.003+02:00

voici un devoir maison niveau 3eme, auquel j'ai pensé en faisant des pâtes .
Cézanne disait que tout était « Traitez la nature par le cylindre, la sphère, le cône, le tout mis en perspective, soit que chaque côté d'un objet, d'un plan, se dirige vers un point central. »
Sans doute a-t-on déformé sa pensée quand on dit que dans la nature , tout est cube, sphère, cône et cylindre . Mais finalement , peut être peut on dire que dans la cuisine, tout est dans ces solides .

Voir le Fichier : DMespace.pdf

monstration ou démonstration ? les 5 solides de Platon

2011-04-13T22:10:00.000+02:00

J'aime beaucoup les démonstrations sans mots, ou les connaissances que l'on peut acquerrir à l'issue d'une expérience tangible . Je me demande quel peut être leur statut, leur solidité dans le monde des idées mathématiques . J'ébauche ici quelques pistes de réflexions sur un sujet sans doute trop compliqué pour moi, mais un blog est là pour échanger, débattre et progresser dans les réflexions . Enfin, c'est ainsi que je le vois .
Si j'en crois le Larousse, une démonstration, ça peut être:
1)a) l'action de rendre évidente, de prouver par l'expérience la vérité d'un fait, d'une donnée scientifique, etc...
b) Log: raisonnement établissant la vérité d'une proposition à partir d'actiomes que l'on a posés .
A la suite, trois autres acceptions qui ne s'appliquent certainement pas à des disciplines scientifiques, mais au commerce, aux sentiments et au militaire . J'en cite une tout de même .
2) Action d'argumenter, auprès du public sur les qualités d'un produit, en le faisant fonctionner, essayer ou goûter .

Pour des sciences expérimentales, c'est l'acception 1)a) qui prime .
En mathématiques, c'est l'acception 1)b) qui est, au moins depuis Euclide, la seule qui vaille.
L'expérience peut tout au plus nous donner l'idée d'une conjecture, parfois de comprendre la consistance du problème et de donner des pistes pour avancer dans le raisonnement .

Comme exemple, je peux vous présenter une démonstration, à la manière du représentant de commerce qui déballe sa marchandise de sa valise et l'essaye devant nous, du fait établi par Platon qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes . Je vais vous le montrer, vais-je vous le démontrer ? Quelle est la validité de ces petits objets que je vais déplier devant vous ? Est ce l'illustration du texte du Timée ou la démonstration transposée dans un univers tangible ?
Quelle sera la différence entre ces objets que l'on touche, et ces concepts que l'on écrit ?

Outils de construction égyptiens .

2011-03-24T10:24:00.003+01:00

Trouvés dans un livre sur le musée du Caire, ce niveau, cette équerre et ce fil à plomb datant de la XIXème dynastie .

Bois et calcaire .(hauteur du niveau : 31 cm)
Le niveau est constitué de trois éléments de bois assemblés formant un triangle isocèle rectangle sur le sommet principal est attaché un fil avec un peson en calcaire . l'élément transversal, la base du triangle isocèle porte un repère central .
Par exemple, pour vérifier si un mur est horizontal, on pose les deux branches sur le mur. Si le fil passe par le repère central, le mur est horizontal .

Pour se servir du fil à plomb, on fait passer le fil sur le rebord de la planchette supérieure et on bouge l'objet jusqu'à ce que ce fil passe aussi sur le rebord de la planchette inférieure . . La verticalité est alors assurée .

Le bois de l'équerre a travaillé, c'est pourquoi l'angle n'est plus droit . Ce n'est pas l'équerre de Numérobis .

géométrie dans l'espace : sections de cubes

2011-03-18T17:46:00.024+01:00

Pour présenter le problème des sections de cubes par un plan, j'ai fait une séquence de module en demi-groupe . Trois phases différentes :
1) visualisation et premières constatations .
2) construction en réel de la section d'un cube par un plan donné par trois points .
3) construction sur une figure en perspective cavalière .

1ère phase : En profitant des soldes, j'ai acheté quelques casse-tête dans des petites boîtes en plastique cubique de côté 8 cm environ . ( j'avais essayé des cube photo, mais c'est très dur d'obtenir l'étanchéité )

J'ai scotché le couvercle en essayant d'avoir le maximum d'étanchéité . Au centre de ce couvercle, à l'aide d'un tournevis chauffé au briquet, j'ai opéré un trou .

Ensuite, sur les faces, au feutre indélibile, j'ai parsemé les faces de quelques points . Les élèves disposaient d'une petite bassine d'eau et d'une pipette . Ils devaient mettre de l'eau et tourner le cube de plastique de manière à obtenir le plan passant par trois points donnés et de donner la nature de la section . ( le mot section est ainsi mis en jeu ). Avec la position des points que j'avais donnés, ils obtenaient d'abord un petit triangle, puis un trapèze, enfin un pentagone . Combien y a-t-il de possibilités quant à la nature de cette section ? Est-il possible d'avoir une section à 7 côtés ? Pourquoi ? Les questions subsidiaires étaient : quatre points donnés sont-ils coplanaires ?

Après cette phase, on dégage les résultats suivants : l'intersection du plan et d'une face est un segment de droite . Si le plan coupe deux faces opposées, il le fait suivant deux droites parallèles entre elles . Les polygones obtenus peuvent avoir 3, 4, 5 ou 6 faces .
Techniquement, je ne suis pas très satisfait du matériel que j'ai construit : il faut par exemple que je trouve un compromis sur la taille du trou, afin que les élèves puissent le remplir et vider rapidement, et que pour autant on puisse tourner le cube sans renverser de l'eau partout . Un instant, je me suis mis dans la peau d'un prof de physique ou de SVT en regardant les élèves manipuler de l'eau avec les pipettes, et ça peut générer du stress , je n'envie pas mes collègues . Enfin, les résultats obtenus étaient intéressants et on pouvait les réutiliser pour la suite .

2ème phase Les considérations géométriques précédentes vont permettre de marquer une section sur un cube en carton . J'avais réalisé 8 cubes en utilisant des ronds festonés avec 40 festons .

Le jour du module, je me suis aperçu que je pouvais me procurer des cartons cubiques de 25 cm de côté ( 1,80€ le carton ) . Cela m'aurait évité bien des heures de bricolage fastidieux . Bref . Avant de fermer la boîte , j'ai planté des attaches parisiennes pour figurer des points . sur le patron ci-dessous, voici la position approximatives des points :

La question posée est de contruire la section du cube par des plans donnés ( ABC , ABE , ABH, FGE )en plantant des punaises sur les arêtes aux endroits bien choisis et en tirant une ficelle pour figurer la surface de l'eau qui passerait par ces trois points. Les élèves disposaient du matériel suivant : le cube marqué avec ces points . du fil de cuisine . des punaises . un traceur de parallèles dans l'espace construit à l'aide d'un carton plié en trois partie avec des plis parallèles au bord .

(A l'oral, j'ai demandé pourquoi les bords demeuraient parallèles.) Un prolongeur d'arêtes : un coin en bois sur lequel j'ai fixé une punaise .

Cette partie était aussi très riche . Cette façon de poser la question a généré des erreurs que l'élève n'aurait pas commises sur le papier . Par exemple, certains ont juste tendu la ficelle entre les trois points . Cette erreur ne tient plus quand je remontre le cube en plastique rempli d'eau . La surface de l'eau dessine un segment sur chaque face, pas une ligne brisée . La ligne ne se brise que sur les arêtes . L'erreur se corrige alors et l'élève choisit alors une bonne stratégie .

Un exemple d'utilisation des outils :

tracé de section de cube par un plan
3ème phase La troisième phase se fait sur papier où les élèves transposent ces méthodes ( prolongement des arêtes, tracé des parallèles sur les faces parallèles ) sur feuilles avec des cubes en perspective cavalière . Des exercices classiques sur papier , mais le fait d'avoir préparé les techniques en touchant ce cube et ces problèmes en 3D a sans doute facilité la compréhension .

classement wikio des blogs catégorie sciences exactes

2011-03-04T00:55:00.001+01:00

voici le classement en avant première . Il est publié le 5 de chaque mois sur le site wikio, mais , d'après ce que j'ai compris, il est proposé à un site de la liste de le publier en avant-première .
Dont acte ...

1	{sciences²}
2	Globule et télescope
3	Le blogue de Valérie Borde
4	Guy Doyen
5	Planet Techno Science
6	En quête de sciences
7	Choux romanesco, vache qui rit et intégrales ...
8	Le Cosmographe
9	Tom Roud
10	Le Blog d'ABC Maths
11	BricoMaths
12	Algorythmes
13	Dr. Goulu
14	Mathématiques du coyote
15	Les indispensables mathématiques et physiques
16	La science, la cité
17	Science étonnante
18	Inclassables Mathématiques
19	Guru méditation
20	Butinages Mathématiques

Classement réalisé par Wikio

un octaèdre en ballon

2011-02-26T19:50:00.000+01:00

Pour l'anniversaire de mon fils,je me suis essayé aux ballons à sculpter . Après avoir lu les techniques de base ( commencer à tourner du côté du noeud, laisser un peu de queue pour ne pas éclater la ballon , la torsion simple pour fixer les bulles ), ma déformation professionnelle m'a fait penser à construire des polyèdres avec ce nouveau matériau . Après moult essais et beaucoup de ballons crevés, j'ai fabriqué cet octaèdre.

Je m'arrêterai là, parce que je pense que c'est le seul solide de Platon que je peux fabriquer avec un seul ballon . Pourquoi ?

pliage fractal

2011-02-13T22:34:00.000+01:00

Ces jours-ci, j'ai acheté le numéro de Tangente consacré à Benoit Mandelbrot et aux fractales . Je vais aborder les suites en première, et j'ai pensé à un pliage qui m'avait beaucoup amusé il y a quelques années .
On plie une feuille en deux, on trace la diagonale,,et on marque le milieu du pli . On trace un trait perpendiculaire au pli passant par ce point et s'arrêtant sur la diagonale .

On découpe ce segment puis on plie en escalier . Un côté du rectangle doit se retrouver sur le haut de la feuille .

Après avoir assoupli le pli, on aène ce rectangle vers l'intérieur et on obtient une espèce de pavé " en creux" .

La première étape est terminée .
On peut compter différentes choses :
C'est le moment d'introduire les notations .
Le nombre de coup de ciseaux nécessaires à chaque étape: un
Le nombre de pavés supplémentaires obtenus à chaque étape :vn
Le nombre total de pavés à chaque étape : wn
Si l'on considère qu'on plie à 90°, et qu'on remplit ces pavés droits, le volume ajouté à chaque étape sn
Le volume total des pavés obtenu à chaque étape : tn
u1 =1 ; v1=1 ; w1 = 1 ; s1 et t1 dépendent des dimensions de la feuille et valent 1/32 L * l.
Je demande de faire les comptes après la septième étape .
Etape 2 : on place le milieu de chaque pli et on plie en escalier .

Puis on plie vers l'intérieur . une espèce de masque apparait .

u2 = 2 ; v2 =3 ; w 2 = 4 ; s2 = 3/8 s1; t2 = t1 + 3/8 t1 ( résultats trouvés à l'aide des réduction de rapport 1/2)

On peut continuer les plis . Etape 3

u3 = 4 ; v3 = 9 ; w3 = 13 ; s3= 9/64 *s1 ;
t 3 = t2 + 9/64 * t1
Etape 4

Plus le montage avance, plus il est difficile de couper certaines bandes, le nombre de plis rendant chaque fois plus épais la bande à couper . Il serait sans doute intéressant d'ailleurs de compter les épaisseurs à chaque position .
Mais c'est plus difficile à formaliser avec des suites.

Etape 5, je vais m'arrêter là cette fois_ci, même si je crois déjà avoir obtenu l'étape 6 avec une feuille A3 .

A mesure que le nombre d'étapes augmente, on ne voit de moins en moins des pavés , mais la structure ressemble de plus en plus au triangle de Sierpinski .

C'est aussi un plaisir de dessiner cet objet en perspective .

La suite u est géométrique de raison 2, la suite v est géométrique de raison 3, la suite s est géométrique de raison 3/8 . Les élèves trouvent assez rapidement les formules et les utilisent pour calculer le 7eme terme .
Les autres suites sont des séries. Les élèves trouvent les résultats en calculant tous les termes des autres suites mais pourront vérifier les résultats quand on abordera la somme des termes d'une suite géométrique .

Bande dessinée :2) les mathématiques comme inspiratrice de la forme

2011-02-06T18:16:00.000+01:00

On peut rapprocher certaines bandes dessinées de concepts mathématiques . Les mathématiques ont-elles consciemment inspiré cette forme? Inconsciemment ?
Je vais citer principalement deux auteurs, Marc Antoine Mathieu et Etienne Lécroart, qui poussent souvent très loin leur recherche formelle et trouvent l'inspiration dans des champs proches de concepts mathémathiques .
On pourra aussi trouver des choses passionnantes dans les livres de l'Oubapo ( ouvroir de bande dessinée potentielle, petite soeur de l'oulipo ), et faire des analogies avec des concepts mathématiques, mais je ne pense pas qu'on puisse faire la table de Queneleiev de l'Oubapo avec uniquement des contraintes mathématiques .Selon la définition prêtée à Raymond Queneau, l’auteur oulipien est « un rat qui construit lui-même le labyrinthe dont il se propose de sortir ». Il y a là la notion de jeu, d'expérience quasi scientifique et l'idée que les mathématiques peuvent être des outils de création ou pour se sortir du labyrinthe .Pour de nombreux auteurs de l'OuBaPo, c'est essentiellement le jeu et l'expérimentation qui sont les moteur de la création. Parfois, les mathématiques s'invitent et c'est très intéressant . Parmi les auteurs OuBaPiens, c'est surtout Etienne Lécroart qui va suivre cette optique . Voici quelques exemples :

La contrainte de pluri-lecturabilité est souvent explorée dans les ouvrages de l'oubapo . Parfois, ce sont des strips qui peuvent se lire horizontalement et verticalement, parfois c'est plus compliqué , comme dans la planche
quatre vingt quinze d'Etienne Lécroart
Sur un gaufrier 5*4, on peut créer un trajet sur la page en chsoisissant la case suivante parmi les voisines de droite afin de lire un nouveau strip . Comme le nom de cette bande l'indique, il y a 95 possibilités . C'est un bel exercice de dénombrement

topologie
Le morlaque (une bande qui se mord la queue et revient au point de départ) est aussi un exercice classique développé en particulier dans l'oupus 3, en voici une variante réalisée sur un ruban de möbius pour la carte de Voeux de l'association 2008 .

Symétrie Centrale
Le palindrome de lettres est assez connu ( tu l'as trop écrasé, César , ce Port-Salut ) . On peut dire que les positions des lettres,sinon leur forme , sont symétriques par rapport à un axe, passant par la lettre centrale, ou entre les deux lettres centrales ). On peut imaginer un palindrome de syllabes, de phrases . En bande dessinée, ce qui peut tenir lieu de phrase est la case de bande dessinée .
La première case correspond avec la dernière, la deuxième avec l'avant-dernière, et caetera jusqu'à la case centrale .
Etienne Lécroart est un habitué du genre . Outre deux histoires courtes parues dans Lapin ou dans les vacances de l'Oubapo ,

il a réalisé une bande dessinée de 30 pages tournant autour d'une machine à remonter dans le temps, où les dialogues changent complétement de signification si on inverse leur ordre . Un vrai tour de force, absolument bluffant et hilarant .
Cercle Vicieux d'Etienne Lécroart

rotation de 45°
Dans l'oupus 3 de l'oubapo, Lécroart nous propose une bande dessinée en gaufrier ( cases carrées régulières )que l'on peut lire normalement puis avoir effectué une rotation de 45° dans le sens des aiguilles d'une montre .
La première case reste au début, mais après avoir tourné la planche, c'est la première case de la ligne suivante qui devient la deuxième .

Suites et séries
Le tirage à la ligne de Jean Christophe Menu et Etienne Lécroart est paru dans l'Oupus 1 . Il s'agit d'une expansion d'une courte BD . A la première étape, il y a deux cases AA . pour la suivante, on intercale des cases autour et entre les cases BABAB . La troisième étape se fait de la même manière CBCACBCACBC . Une idée qui peut amener au denombrement des cases, au suites et aux séries . Et aussi un bon jeu que l'on peut faire entre amis, en écrivant des phrases.

Si les contraintes qu'il utilise sont souvent liées aux mathématiques, ce n'est pas obligatoire, mais tout son travail est intéressant et jubilatoire . LE mieux est d'aller voir son site et de lire ses bandes .
Etienne Lécroart a dans le coin de la tête et en préparation un livre de bandes dessinées basées sur des contraintes mathématiques. Géométriques et algébriques . J'ai hâte .

Marc Antoine Mathieu
Marc Antoine Mathieu est scénographe et auteur de bandes dessinées . Ses influences en bande dessinée sont à chercher entre autres autour de Schuiten et Peeters, et aussi de Francis Masse . Il n'est pas membre de l'oubapo, même si ces recherches peuvent s'en rapprocher .

La série de Julius Corentin Acquefacques a de nombreuses pistes de lecture, elle représente un monde qui se situe entre le procès de Kafka et Brazil . Avec beaucoup de mises en abîme . En rêvant, le héros découvre des failles dans la structure de son monde ou dans celle du récit et part en quête de rétablir l'équilibre. Quitte à tomber nez à nez devant le paradoxe et à s'y perdre . Cette série est très originale et certaines trouvailles sont vraiment bluffantes qui font que cette bande dessinée ne ressemble à aucune autre.
En tant que personnage de BD, le héros subit la logique propre à la BD et explore les problèmes de son monde :

Dans le tome 1, l'origine, à partir d'un paradoxe temporel et d'une mise en abîme, le problème des fractales est lentement mais sûrement mis en jeu .
Le tome 2 montre un obsession de la mesure de l'espace, de belles architectures, mais porte moins sur les mathématiques dans son concept.
Le tome 3, le processus, est basé sur la spirale .
Le tome 4, le début de la fin, est basée sur la symétrie axiale, c'est sans doute le plus étrange de la série .
Le tome 5, la 2,333eme dimension est basé sur les règles de la perspective, chamboulées lorsqu'un point de fuite est perdu .

Par ailleurs, Marc Antoine Mathieu a écrit d'autres bandes dessinées formidables, mais sans ce coeur mathématique . Toutefois, dans le magazine Bang ! n°4 , il nous propose les patrons de deux cubes à monter, où l'on peut voir des personnages essayer de sortir d'un labyrinthe formé d'escalier , ce qui peut faire penser à une interprétation en 3 D de la gravure d'Escher, "Relativité" .

D'autres bandes mettant en jeu les mathématiques :
les probabilités
Coquetele d'Anne Baraou et Sardon ( L'association )
Trois dés non ordonnés pour fabriquer un strip au hasard .

la topologie
Le ruban de Moebius apparait à de nombreuses reprises pour figurer un périple sans fin ou un monde étrange. On en a vu un exemple au dessus. En voici d'autres :
Promethea d'Alan Moore et J H williams III

rotation de 180°
Entre 1903 et 1904, alors que la bande dessinée en est à ses débuts, Gustave Verbeek crée une soixantaine de planches bien particulières . Ses upside downs qui relatent les aventures de deux personnages, Lady Lovekins et le vieux Mufaroo ,comportent 6 images qu'on lit de gauche à droite puis de haut en bas, comme d'habitude, mais on s'aperçoit que l'histoire n'est pas terminée .
Pour avoir la suite, on doit retourner la planche. La rotation inverse l'ordre des vignettes : La sixième devient la septième, la première devient la dernière . Les images retournées ont souvent une toute autre signification . Ce principe sera repris par l'oubapo, dans l'oupus 3 .

La géométrie sphérique
La géométrie de l'obsession de Mazzucchelli

Dans ce court livre paru en 1997, il y a déjà de nombreuses problématiques développées de façon plus ample dans Asteryos Polyp, prix spécial du jury à Angoulème cette année , parmi elles celle de l'intellectuel cartésien qui a du mal à rentrer dans le monde des sentiments . Un cartographe qui s'évertue à reproduire un globe terrestre exact et qui a du mal à comprendre que l'amour ne vérifie pas de règles n'est pas la solution d'une équation.

Je m'en voudrais de ne pas citer Lewis Trondheim, dont les recherches de formes amène parfois sur des pistes mathématiques, comme dans OVNI ( avec Fabrice Parme) qui fait pense à un gigantesque arbre de probabilité, Killoffer qui explore parfois des formes géométriques à la Escher.

J'en oublie sans doute . J'ai entendu par exemple parler de bandes dessinées inspirées par la théorie des ensembles et les diagrammes de Venn .
Les livres de l'Oubapo sont très stimulants et ouvrent des portes :

un théodolite rudimentaire .

2011-01-31T23:12:00.002+01:00

Dans le cadre des méthodes et pratiques scientifiques traitant d'astronomie, j'ai élaboré plusieurs séquences sur la triangulation, avec pour objectif de savoir si un météore peut donner lieu à une météorite , et si oui d'estimer son point de chute . Après un étude de documents, on arrive à la constatation qu'un météore qui s'éteint vers 25 à 35 km d'altitude a des chances de donner lieu à une météorite . Encore faut-il mesurer ou calculer cette altitude .
La première séance sert à présenter le problème et les outils de mesure, simplifiés afin de donner du sens aux notions d'azimut et de hauteur d'un astre,afin que le fait de manipuler l'objet de mesure donne un sens à cette même mesure .

Dans un premier temps, les élèves ont manipulé un quadrant, afin de mesurer des angles et d'en déduire des hauteurs de batîments ou d'arbres .
Le quadrant est en fait constitué d'un rapporteur gradué entre 0 et 90°, avec un fil à plomb . On peut le munir d'un viseur constitué d'un piton à vis et d'un clou dont la tête est au même niveau que le centre du piton .

Après deux exercices sur feuille, voila les élèves partis dans la cour . Comme je n'ai pas pu récupérer les hectomètres des professeurs de sport, qui étaient dans une salle extérieure, les mesures ont été faites en pas . J'ai dû improviser, mais je trouve cela assez bienvenu de faire manipuler d'autres unités de longueur, pour peu que les élèves les manipulent avec rigueur, dans la mesure avec un pas régulier comme dans le calcul et la rédaction .

Après que les élèves ont fait une mesure, j'ai demandé aux élèves s'ils étaient capables de mesurer la hauteur d'un immeuble qui dépassait du toit du lycée .
-non, parce qu'on ne sait pas à quelle distance au sol il se trouve .
Alors, j'ai tenté l'expérience suivante, que j'ai trouvée sur ce site .
On bande les yeux d'un élève .
On demande à un élève de s'éloigner du groupe et d'émettre un bruit ( coup de sifflet, frapper dans les mains ). L'élève aveuglé pointe du doigt la direction de façon précise, mais a bien du mal à estimer la distance . Où se trouve le camarade ? Sur une demi-droite, que l'on peut tracer , mais on ne sait pas trop en quel point .
On demande alors à un second élève de de bander les yeux . On le place un peu plus loin du premier élève, on redéplace l'émetteur de bruit et on renouvelle l'expérience . Là encore, les élèves ont du mal à savoir de quelle distance vient le son, mais sont capables de pointer assez précisément la direction . En prolongeant les demi-droites, on retrouve la position de l'émetteur du son .
Ainsi, sans connaître la distance, avec deux mesures tirées de positions différentes, on peut déterminer précisément la source du son . Et le placer sur un plan . Encore faut-il mesurer les angles du triangle.
Alors je sors mon théodolite .
Il est assez rudimentaire mais a pour but de fixer les idées . Et puis le budget maths de mon lycée ne permet pas d'en acheter un .
J'ai une tablette haute avec un trou pour la porter qui traîne dans le grenier . Je prends .

Sur deux faces opposées d'une boîte en carton, j'opère un trou au centre à l'aide d'un stylo . J'ai dessiné un rapporteur orienté à partir du nord dans le sens négatif que je colle sur la partie supérieure de la boîte, après avoir percé un trou au centre .
Sur deux couvercles de glace, j'opère aussi un trou en centre . Je glisse un tourillon dans la boîte , que je maintiens à l'intérieur en glissant les couvercles et en les positionnant contre les deux faces intérieures de la boîte .

Je fixe une punaise ou un clou juste au dessus du rapporteur , ainsi qu'un quadrant à l'aide d'une punaise . Le clou et le quadrant sont orientés de la même façon .

Une boussole et un niveau qui permettent de positionner l'instrument dans la bonne position pour effectuer un mesure de l'azimut et de la hauteur d'une cible à un endroit, puis un peu plus loin.

Après être remontés en salle, un point est fait sur l'azimut et la hauteur . Et puis un exercice où, à partir des mesures d'azimut, on trace le triangle formé par les trois élèves.
On peut ainsi déterminer les distances avec un dessin à l'échelle, qui rappelle bien l'importance de la direction du nord . Les semaines prochaines, quitte à utiliser la loi des sinus et le théorème d'Al-Kashi, nous déterminerons les distances par calcul, puis nous déterminerons la position dans le ciel d'un météore, au moment ou il s'embrase et au moment où il s'éteint , afin d'avoir une estimation de l'endroit où il pourrait tomber . Des schémas dans divers plans seront nécessaires pour comprendre le problème .
le plan et les exercices proposés .
Par la suite, les dernières sénaces portent sur la distance terre lune ou la distance d'une étoile au soleil .

Sur ces séances que je trouve riches et intéressantes, j'ai tout de même quelques questionnements : je ne suis pas très rigoureux sur la trajectoire qui n'est pas en ligne droite , j'utilise des propriétés de première . Certes, si je ne les utilise pas, je ne vais pas loin du tout . Suis je dans le cadre des MPS ?
Si vous avez des avis, des critiques, des conseils, n'hésitez pas à faire des commentaires .

bande dessinée et mathématiques : 1) les mathématiques comme fond

2011-01-29T22:39:00.001+01:00

Avec les mathématiques, mon autre passion est la bande dessinée . Comme chaque année, à la fin janvier, avec le festival d'Angoulème, la bande dessinée est à l'honneur, je me suis dit que c'était un bon moment pour commencer à parler de bande dessinée et de mathématiques .
Dans certains albums, le monde mathématique sert au fond du récit, dans d'autres, c'est plutôt à la forme qu'elle offre des ouvertures .
Pour l'instant, je cherche dans ma bibliothèque les albums dont l'histoire s'inspire des mathématiques et des mathématiciens . La liste ne sera donc pas exhaustive, mais libre à vous de me signaler les ouvrages que j'aurais oubliés .
humour
L'idée fixe du savant Cosinus 1899( Christophe)

Christophe était un savant reconnu de son temps et passait son temps libre à faire des petits miquets . Son savant Cosinus serait inspiré par le mathématicien Jacques Hadamard et sa légendaire distraction , ou par Henri Poincaré. Ses envies d'aventure ne dépasseront pas les limites de Paris .

Quadratino 1910 (Antonio Rubino)

Héros de sept histoires courtes, Quadration, un héros à la tête carrée, fait une bêtise dans chaque aventureet sa tête se transforme systématiquement en une autre figure. Heureusement, maman Géométrie, grand mère Mathématiques et tante Algèbre arrangent tout à fin .

Les Shadocks 1968 ( Jacques Rouxel)
héros bien connus de la télévision, les Shadocks multiplient les références à la logique et aux mathématiques, même si c'est pour mieux les déformer .

la bosse des maths 1962( Francis )

reprise d'un mini récit Spirou, cette courte BD raconte l'histoire d'un petit garçon pas très intelligent qui, en se cognant, acquiert la bosse des maths et devient un génie le temps que sa bosse se résorbe . Amusant.

Le chat(Geluck)

De nombreux gags sur la logique et les mathématiques qui ont même donné lieu à une étude de Daniel Justens .

Exploitables pour un cours.

Anselme Lanturlu ( JP Petit)

De nombreuses bandes dessinées didactiques qui amènent avec humour à se poser des questions mathématiques. J'ai proposé cette source à des élèves de TPE, qui ont trouvé matière à bricolage et réflexion . L'ensemble des bandes est disponible librement ici.

La fievre d'urbicande 1990 ( schuiten, Peeters )

Une maladie étrange frappe la ville d'Urbicande . Un cube posé négligeamment sur un bureau commence à s'agrandir et à se multiplier suivant une logique implacable, se transformant peu à peu en un octaèdre gigantesque, par la méthode de l'abbé René-Just Haüy.

Cette méthode peut sans doute donner lieu à des exercices de recherche en première S, afin d'aborder les suites .
Je n'ai pas pu m'empêcher de faire un petit bricolage . Cette bande dessinée nous y invite si fort ...
Avec des cubes en plastique ( appelés cubes de glace) de 3 couleurs différentes, et de la pate à fixer, on peut construire l'objet à la première génération,

puis à la seconde,

la troisième .

Je n'ai plus assez de cubes pour faire la quatrième .

On peut alors de poser la question du nombre de cubes nécéessaires à la n^ième génération, ainsi que le nombre de bout de pate à fixer nécessaire (ou alors la surface à peindre ) .

Histoire des mathématiques et des mathématiciens

Le théorème de Morcom ( Peeters, Goffin)

Dans une construction de l'histoire qui rappelle Citizen Kane, le journaliste découvre peu à peu les secrets d'un mathématicien génial récemment décédé qui a contribué à décrypter les messages secrets d'Enigma . Une biographie déguisée d'Alan Türing .

Logicomix ( Par Apóstolos K. Doxiàdis, Christos Papadimitriou; Alecos Papadatos, Annie Di Donna )

Après l'oncle Petros et la conjecture de Goldbach, l'auteur Doxiadis poursuit sa thématique de la recherche de la vérité mathématique aux portes de la folie. Une lecture de l'histoire de la crise de la logique au début du 20eme siècle, les doutes des mathématiciens, et le héros,Bertrand Russel, montré d'abord comme un homme, et pas seulement un esprit pur, susceptible de faire des erreurs dans sa vie . La mise en abyme montrant les auteurs s'interrogeant sur l'histoire qu'ils sont en train de raconter, avec leurs questionnements et leurs doutes, apporte encore plus de profondeur à ce récit . Les idées philosophiques planent très haut, les héros s'approchent souvent du vertige . Une belle présentation de ce que deviennent les mathématiques au début du 20eme siècle...
Mon libraire n'en revenait pas d'avoir dévoré un livre qui parlait de mathématiques.

Hypathie 2010 ( Pécout, Greiner )

la belle Hypathie est désormais célèbre depuis le film sorti l'année dernière . Une bande qui reprend le destin tragique de cette femme de sciences . De beaux moments, par exemple quand, reprenant les travaux de Ptolémée, elle construit un astrolabe .

Les cours de maths apparaissent dans nombre de bandes dessinées à succès traitant de l'enfance ou du monde de l'éducation : le petit Spirou, Titeuf ou Kid Paddle ou encore les Profs .

La fois prochaine, je parlerai sans doute des mathématiques comme inspiratrice au niveau de la forme et la structure.

autour de la parabole

2011-01-23T20:40:00.003+01:00

Deux bricolages que j'ai utilisés en début d'année scolaire, pour se poser la question : " est ce que les courbes tracées sont des paraboles avec des façons de les appréhender bien différentes .

Acte 1 : en module :

Le premier bricolage utilise le fait que la parabole est le lieu des points équidistants d'une droite et d'un point hors de cette droite .
Sur une planche, visser une tringle à rideaux " chemin de fer " tout en haut .
Ensuite, découper le crochet en plastique avec un couteau pour avoir une surface plane .

Sur la planche, scotcher une feuille de papier qui sera remplacée après chaque utilisation ou du film adhésif blanc velleda .
Avec quatre barres de meccano, fabriquer un losange . Deux sommets opposés sont fabriqués avec des vis et écrous, les deux autres sont fabriqués à l'aide de punaises qui sont fixées l'une sur le crochet modifié, l'autre sur la planche .
Accrocher un fil à plomb sur la punaise du crochet et un élastique entre les deux vis .

Il faudra sans doute ajouter un niveau pour s'assurer que le fil est bien perpendiculaire à la tringle .
tracer au feutre le point d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb .
La punaise sur la tringle est mobile. Tout en la bougeant, repérer quelques autres points d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb.

Une fois qu'on en a quelques uns, voire une dizaine, on peut poser la question de la courbe formée si on plaçait tous ces points d'intersection .
C'est la première fois de l'année que l'on peut se poser la question du lieu géométrique et les questions qu'il faut se poser en premier lieu : qu'est ce qui est fixe dans cet objet ? qu'est ce qui est mobile ? De quel point étudie-t-on la position ?
La forme évoque la parabole, mais il faut justifier qu'on obtient bien une parabole .
Deux approches, l'une numérique, l'autre géométrique que l'on travaillera sur Geogebra .
Approche géométrique
Mais avant de travailler sur geogebra, il faut sans doute un peu dégrossir la figure pour en dégager les points importants .
Un obstacle important à la compréhension de la figure est le fait que les barres de Meccano cachent presque le reste de la figure, alors qu'il faut avant tout réfléchir sur la nature de la droite portée par l'élastique . En réflechissant ensemble, on arrive au fait que le point M est sur la médiatrice du segment [HF] qui lie les deux punaises , puis que le point M est équidistant de la droite d et du point F . On arrive à la définition de la courbe avec foyer et directrice .
On essaye ensuite d'imaginer cette construction sans les contraintes physiques de la longueur de la tringle et de la longueur de la barre de meccano . La courbe est-elle limitée ?
Une fois cela mis à plat, les élèves vont modéliser la courbe en utilisant géogébra . C'est alors assez facile .
Plus facile que d'insérer les applets de geogebra en tout cas.

Approche numérique .
Comment définit-on une parabole ? Pour l'instant, les élèves en ont une conception numérique, c'est une courbe d'équation y = a x² + b x + c . Il faudrait trouver a, b et c . Mais cela n'a un sens que si on se place dans un repère . Il faut le choisir .
Les objets fixes sont fixes dans ce repère . On peut choisir ce repère en fonction de ceux-ci . En posant la tringle comme axe des abscisses et la punaise comme le point de coordonnées F( 0 ; - 2 ) , par exemple .
Les points mobiles sont définis à partir de la seconde punaise, puisque c'est elle qui permet de trouver les points de la parabole . Puisqu'elle appartient au rail, son ordonnée est 0 , et ses coordonnées sont H( x ; 0 ), avec x réel et le but du calcul est de trouver le point M d'abscisse x, tel que HM = FM .

Entracte:
En devoir à la maison, j'ai demandé de construire la figure la plus simple possible sur geogebra et de la sauver sous leur nom dans le répertoire classe du LCS, et de déterminer algébriquement l'équation de cette courbe en plaçant l'axe des abscisses sur la tringle à rideaux et la punaise au point de coordonnées (0 ; - 2) .
Dans un autre exercice de ce devoir, j'ai demandé aux élèves de déterminer l'équation de la parabole qui passe par trois points donnés non alignés .
Après le rendu des devoirs, on peut conclure que par trois points non alignés, on peut trouver un seul trinome qui correspond et donc qu'il y a une seule parabole .

Acte 2 :
En tendant une drisse entre deux points situés à la même hauteur, on obtient une courbe . Cette courbe est-elle une parabole ? Justifier .
Un débat s'instaure .
Réponses des élèves :
Si c'est une parabole, on peut déterminer son équation quitte à choisir un repère .
On peut utiliser un logiciel de traitement d'image pour avoir des coordonnées;
Ou un logiciel de géométrie .
Une fois qu'on peut trouver les coordonnées de 3 points, on peut obtenir le trinome. Si les autres points vérifient l'équation trouvée, alors c'est une parabole, sinon...

J'ai pris une photo de cette coube, et je l'ai placée dans leur répertoire de travail .
En ouvrant un fichier geogebra et en insérant cette image, les élèves peuvent placer cette image dans un repère et placer quelques points de cette coube, afin d'en déterminer les coordonnées de façon plutôt précises .
Les élèves à l'aise ont choisi leur repère de façon à ce que les coordonnées soient les plus simples possible, d'autres ont choisi un repère de façon aléatoire et ont dû se trouver devant un système d'équations très compliqué .
En déplaçant le repère et en changeant les axes avec la molette, on peut obtenir ceci :

Quand ils ont trouvé les valeurs de a, b , c pour que la courbe passe par trois points, ils peuvent remarquer qu'un quatrième point ne passe pas par cette parabole .

En fait, cette courbe s'appelle une chainette, et son équation utilise des fonctions qu'ils verront en terminale .

Ainsi, à deux reprises , les élèves se sont posé la question " est ce que la courbe est une parabole ?" et la méthode de réponse n'est pas la même : dans le premier cas, c'est une parabole, la formule qu'on va trouver est un trinome pour tous les points ( prouvée dans le cadre général) , dans le second, ce n'est pas une parabole et on trouve un contre-exemple .

la planche du fakir

2011-01-16T19:29:00.003+01:00

Voici un bricolage que j'ai présenté à mes élèves de seconde en début d'année pour qu'ils retrouvent peu à peu les propriétés de géométrie analytique .
Préparation de l'objet :
coller une feuille A3 à petit carreaux et clouer des petits clous en formant des carrés de 2 cm de côté en utilisant ce quadrillage . Cette planche est préparée pour un fakir un peu douillet car les pointes sont dans le bois et pas à l'extérieur ...
Sur une feuille de rfodoïd transparent, dessiner un axe gradué tous les 2 cm, puis avec une perforatrice, perforer la feuille toutes les graduations et se préparer plusieurs jeux de graduations .
Les points peuvent être représentés par des petites rondelles, les segments et les droites par des élastiques .

L'activité suivante fait dégager chez les élèves plusieurs stratégies qui peuvent préparer au calcul vectoriel et à la géométrie analytique . ( déplacement d'un point à un autre, puis théorème de Pythagore , et réciproque, calcul d'une longueur, milieu d'un segment, médiane d'un trirangle isocèle, etc... )

Le théorème de Pick, fort à propos sur cet exercice de fakir, permet aux élèves un peu perdus de trouver des résultats, et des bons élèves de découvrir une formule étrange et amusante .
Une fois que les élèves ont des stratégies, je place un repère à l'aide de mes bandes transparentes et leur demande de transcrire leurs données grâce au coordonnées .

une jolie égalité

2011-01-08T18:44:00.003+01:00

Allez, une petite curiosité, qui vous inspirera peut être ...
En bricolant un peu avec les nombres, j'ai retrouvé une jolie formule :

Or le chiffre des dixièmes est 1 .
C'est aussi le nombre de diviseurs de 1 .

Le chiffres des centièmes est 2, et c'est aussi le nombre de diviseurs de 2.

Le chiffre des millièmes est 2 et c'est aussi le nombre de diviseurs de 3 .

Le chiffre suivant correspond au nombre de diviseurs de 4, et ainsi de suite ...

En généralisant,

En tapant les premières décimales sur l'inverseur de Plouffe (magnifique site qui peut reconnaître les propriétés d'un nombres) , je vois que mon hypothèse paraît bonne ;

Comment justifier ce résultat ?

En regardant le nombre de diviseurs, et en repèrant les décimales qui sont égales à 2, on pourrait reconnaître les nombres premiers .

Est ce une piste pour déterminer si des grands nombres sont premiers ? Pourquoi ?

calcul du volume du tétraèdre régulier

2010-12-12T15:51:00.001+01:00

j'ai récupéré une bonne trentaine de tourillons, et j'ai pu modifier la dernière activité . Je me suis rendu compte que les élèves ont beaucoup de mal à voir dans l'espace . Le fait de fabriquer dans la cour quatre tétraèdres et de les superposer a pu faire percevoir de l'intérieur le volume resté vide . Les élèves ont mis des noeuds sur les arêtes de l'octaèdre et ont pu visualiser en particulier les droites parallèles entre elles.
Le plus amusant, c'est que j'ai senti que mon premier groupe de module avait besoin de passer à cette construction, alors que le second, prévenu qu'il pouvait être amené à la faire dans la cour et dans le froid, a pensé qu'il pouvait être aussi intéressant de faire une figure en perspective cavalière et sont arrivés assez vite au résultat .
Toujours est-il que le calcul un peu embêtant est celui du volume du tétraèdre régulier .
Les élèves ont appris la formule :
Volume d'une pyramide = un tiers de l'aire de la base multipliée par la hauteur
Mais dans un tétraèdre régulier, qu'est ce la hauteur ; qu'est ce que la base? et comment calculer tout ça ?

Dans une séance de cours ( sans doute un peu nombreux, préférer une séance en demi groupe ), j'ai demandé à trois élèves de construire un tétraèdre régulier avec mes tourillons de deux mètres ( pitons à vis au bout des tourillons, et colson pour les lier ), après leur avoir fait remarquer le nombre d'arêtes à chaque sommet .

Au bout de deux minutes, ce tétraèdre était construit .

(je n'ai pas pris de photos pendant mon cours, j'aurais bien aimé avoir la présence d'esprit de le faire dans le feu de l'action , alors j'en ai pris juste dans ma cour, cela ne rendra pas compte de ce cours très vivant)

Question : alors la hauteur, qu'est ce que c'est ?

Un élève se lève, montre du doigt la hauteur, prend la règle et tente de la mesurer .

Je sors alors un fil à plomb et reprend son idée en l'attachant au sommet de telle sorte que la pointe effleure le sol : voici donc la hauteur. On peut effectivement la mesurer à la règle .

On peut aussi l'estimer en comparant avec ma taille, puisque le sommet arrive à hauteur de mes yeux, à peu près à 1.65mètres . Comme je les laisse circuler autour ou même sous le tétraèdre, les élèves peuvent se faire une idée en fonction de leur propre taille .

Mais y a-t-il un moyen de savoir la valeur exacte ?

Et d'ailleurs, où tombe le fil à plomb ?

les réponses fusent :

- au centre de la base (quel centre du triangle ?)

- le centre du cercle circonscrit

- le centre de gravité

- le centre du cercle inscrit

- l'orthocentre

- à l'intersection des médiatrices ( comment les tracer ?)

- à l'intersection des bissectrices ( comment les tracer précisément ?)

- à l'intersection des hauteurs ( comment les tracer précisément ?)
- à l'intersection des médianes ( comment les tracer ?)

Qui a raison parmi toutes ces propositions ?

- le triangle est équilatéral, donc tout le monde a raison .

OK, on va donc tracer ces droites remarquables . J'ai marqué le milieu de chaque arête . Que peut-on tracer précisément ?

Quelques élèves mettent des ficelles pour représenter les médianes .

Peut-on calculer la longueur de cette médiane ?

- oui, car il y a un triangle rectangle, donc on peut utiliser le théorème de Pythagore .

Avec quelles longueurs ?

- la médiane est confondue avec la hauteur, donc un côté fait 1 mètre et l'hypoténuse fait 2 mètres .

Tout le monde est capable de calculer la médiane ?

Et le centre ? Où se situe-t-il?

Ici, j'ai dû rappeler que le centre de gravité se situe aux 2/3 de chaque médiane, en partant du sommet .

Et la hauteur ?

Là, j'ai eu une surprise . Personne ne déclarait voir qu'il pouvaient se placer sur un triangle rectangle . J'ai sorti mon équerre et je l'ai tournée autour du fil à plomb, en montrant que cette droite était perpendiculaire à chaque droite du sol , et en particulier des médianes tracées . Le silence attentif qui s'est fait à ce moment là montrait qu'il se passait quelque chose, et que la plupart des élèves n'avait pas pris conscience de ce fait .

Les élèves ont consigne alors de se mettre au travail pour calculer toutes les valeurs.

Une figure était tracée avec les noms des points , pour qu'ils aient le même calcul .

Ceux qui ont des difficultés peuvent rester autour du tétraèdre pour prendre toutes les mesures nécessaires . Ceux qui veulent vérifier leurs calcul peuvent aussi se lever pour mesurer . Ce cours fut vivant et intéressant . Je pense que les élèves en se déplaçant autour et dans un volume à calculer en ont pris une autre conscience et ont développé leur vision dans l'espace, le fait de construire ce tétraèdre et de construire ces droites a apporté aux élèves. Certains élèves très moyens ont d'abord pris les mesures, utilisé les formules pour calculer une valeur approximative du volume , puis ont fait valider leur réponse . Je leur ai demandé alors de faire tous les calculs exacts, avec les explications . Ils sont alors rentrés de bon pied dans le problème .

activité sur les trisectrices

2010-12-11T17:45:00.004+01:00

Depuis le temps que ce blog est en sommeil, j'ai expérimenté d'autres objets .
Cette idée d'activité m' a été soufflée par Danielle Salles, du groupe géométrie de l'IREM de Basse Normandie : Les machines à trisecter les angles .

Partager un angle en deux angles égaux est possible à la règle et au compas, tous les élèves se souviennent de la bissectrice . Couper un angle en 4 ou en 8 n'est pas beaucoup plus compliqué et demande juste de la précision . Mais couper un angle quelconque en trois angles égaux n'est pas possible en se servant uniquement de la règle et du compas . C'est un problème ancien, aussi connu que la construction à la règle et au compas de la quadrature du cercle et la duplication du cube .
Par contre, d'autres solutions techniques, utilisant d'autres outils donnent des solutions de ce problème .
Après cette introdution historique, je propose à mes élèves de se mettre en groupe de 3 et d'utiliser les outils suivants, à l'aide du mode d'emploi, afin de comprendre leur fonctionnement. Avant la fin de l'heure, les élèves doivent tourner sur tous les ateliers, fabriquer l'angle trisecté dans chaque cas, et faire valider par le professeur la bonne utilisation de l'objet , puis choisir deux de ces objets et ébaucher une figure géométrique pour illustrer l'objet . L'étude de ces figures est remis à la séance de module suivante, après que l'on ait débattu sur ce que doit avoir une figure mathématique, pour servir de base efficace pour une démonstration .

les objets à trisecter sont :
Le tomahawk ( ou le trisecteur de Bergery )
fabrication : une planchette découpée à la scie sauteuse

La boîte à camembert :
fabrication: une tringle à rideaux, une vis qu s'insère dans cette rainure .
La figure géométrique est presque visible, mais je ne pense pas pouvoir la cacher .

Le té :

Il est à noter que ces trois premiers outils se ramènent exactement à la même figure géométrique et au même raisonnement . Sur les deux outils que l'élève doit étudier, il devra en étudier obligatoirement un parmi ces trois, et choisir le second parmi les trois suivants, qui amènent à des démonstrations tout à fait différentes .

Le double bisecteur :
Des barres de plastique et des attaches parisiennes . On peut opérer une fente sur les barres des trisecteurs, mais on peut aussi se débrouiller en superposant deux bisecteurs .

Inspiré du trisecteur de MacLaurin trouvé sur le site de Geogebra
Fabrication: barres de mecanno et élastiques .

Avec des barres de mécanno :
fabrication: deux tasseaux tournent autour d'une rainure . L'angle formé à la fin par ces deux tasseaux est le tiers d'un angle matérialisé par le triangle construit à l'aide des barres de mécanno .

il existe aussi une méthode de trisection utilisant des pliages, je ne l'ai pas mentionnée, car elle fait un peu redite avec les premières trisectrices .

Les modes d'emploi sont sur ce fichier PDF

Après avoir débattu de la figure mathématique, de ce qu'elle doit comporter ( nom de points, égalité de longueur, angles droits ), les élèves devaient rendre la démonstration du fonctionnement de deux d'entre elles ( une des 3 premières et une des trois dernières ) .
Les résultats étaient un peu décevants, même s'il y eut des idées très intéressantes d'appropriation du problème . Au vu de certaines erreurs, je me suis aperçu que le fait d'avoir juste la photo ne suffisait pas toujours à faire la figure . Aussi si je recommence cette activité très riche, je laisserai ces objets à la disposition de mes élèves au fond de ma salle, afin qu'ils puissent le manipuler de nouveau s'ils en sentent le besoin et vérifient certaines propriétés qu'ils auraient entrevues .

Quelques extraits de copie :
Des pliages pour représenter les transformations des triangles dans le té :

le passage du dessin à la figure en trois étapes :

Juste un dessin, pas au moment où c'est intéressant :

Au final, ce travail a amené les élèves à réfléchir et à passer, comme le dirait Ruben Rodriguez, d'un passage d'un univers expérimentable des machines à un univers formalisé des figures, puis à un univers des idées et des démonstrations .

Un exemple :

Univers expérimentable de la machine : entre les deux vis E et D, il y a le même nombre de trous qu'entre les deux vis D et C .

Univers formalisé de la figure mathématique :

Univers de la démonstation :
ED = DC donc le triangle EDC est isocèle en D .

Même s'il fut enrichissant, et même si le bagage nécessaire est du niveau de quatrième, ce ne fut pas un exercice facile pour les élèves, car il demande beaucoup de recul, d'autant plus difficile, comme le dit l'une de mes très bonnes élèves, qu'il n'y avait pas la solution sur Internet .

Activité géométrie dans l'espace ( seconde )

2009-11-07T14:58:00.001+01:00

Une activité pour introduire la représentation des solides en perspective cavalière et faire des calculs de volume . Dans un premier temps, l'élève doit construire un tétraèdre en origami. Pour cela, je lui montrerai ce petit film

et il aura une fiche avec des photos pour le faire à tête reposée. Au passage, il pourra réfléchir pour démontrer que les faces obtenues par pliage sont des triangles équilatéraux. Une fois plié, l'élève doit repérer et calculer la longueur du côté, la position du centre de la face puis la hauteur à l'aide du théorème de Pythagore. Il pourra ainsi calculer le volume du tétraèdre qu'il vient de fabriquer. Une fois les tétraèdres fabriqués, les élèves ont la consigne d'assembler les tétraèdres de manière à obtenir un tétraèdre avec des dimensions doublées. on se rend vite compte qu'il ne sert à rien de coller les tétraèdres face contre face, ni même arête contre arête, et qu'en fait, il faut les poser sommet sur sommet, même si le solide obtenu contient un gros trou . Mais quelle est la forme de ce trou ? C'est difficile à voir ... Deux solutions pour mieux s'en rendre compte : des tiges aimantées . 1) On refabrique les quatre tétraèdres les uns sur les autres, puis on enlève ce qui est en trop... 2) On dessine les quatre tétraèdres en perspective cavalière. Au passage, on rappelle les règles : deux droites parallèles dans l'espace sont représentées par deux droites parallèles sur le dessin. Sur des droites parallèles, les proportions de longueur sont conservées. En repassant en rouge les arêtes du trou, on se rend compte qu'on a représenté un octaèdre, et que ses arêtes parallèles se retrouvent sur la figure. On arrive à la partie presque magique de l'activité. Quel est le volume de l'octaèdre obtenu? Les élèves, sûrement un peu refroidis par le calcul du volume du tétraèdre, vont y aller à rebrousse-poil. Et pourtant! Comme le tétraèdre obtenu est un agrandissement du petit tétraèdre initial avec un coefficient 2, le volume a été multiplié par 8. Or, il n'y a que quatre petits tétraèdres. Donc le volume plein est égal à 4 fois le volume initial. Donc la partie vide représente aussi 4 fois le volume initial. L'octaèdre a un volume 4 fois plus important que celui du tétraèdre de même côté. Au passage, on peut remarquer que le tétraèdre ne peut pas paver l'espace, mais que le tétraèdre et l'octaèdre pavent ensemble l'espace, comme l'illustre magnifiquement cette gravure d'Escher, "Planaires".

de la topologie des super héros

2009-11-01T16:12:00.003+01:00

La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). ( Wiki)
Le premier problème qui peut être relié à la topologie est le problème des 7 ponts de Koenigsberg, étudié en 1736 par la mathématicien suisse Léonard Euler.
Plus tard, en 1895, Henri Poincarré lance les premières bases de la topologie dans son ouvrage analysis situs et introduit la notion d'homologie qui nous intéresse ici.

Pour parler en grand vulgarisateur, on s'intéresse au nombre de trous dans les volumes. Par exemple, on différencie la boule ( pas de trous) du donut ( le tore) qui a un trou. On aura beau déformer continument la boule, sans arrachement, jamais on n'obtiendra de tore, et réciproquement.
Le topologue va malaxer, étirer, déformer à l'envi des volumes de caoutchouc afin d'obtenir des volumes topologiquement équivalents.

Une blague sur les topologues est qu'un topologue confond une tasse avec une anse et un donut .

Le meilleur professeur de topologie que l'on puisse rêver est le professeur Richards, chef des quatre fantastiques, aussi appelé mister Fantastic. Un brillant scientifique doublé d'une boule de caoutchouc continument déformable, c'est le rêve.

En recherchant les différentes manifestations du pouvoirs de Mister Fantastic par le king Jack Kirby, je prétends que Jolly Jack avait compris intuitivement la notion d'équivalence topologique. Exemples à l'appui.

On pourrait résumer le pouvoir de Red Richards en disant qu'il est topologiquement équivalent à une boule .

Donc, par déformation continue, Mister Fantastic peut se transformer en une boule.

Il n'a donc aucun trou, et ne peut donc pas être percé par des balles. En effet, au moindre trou, sa topologie deviendrait celle d'un donut.
Et si Red s'était fait percer une oreille avant d'obtenir ses pouvoirs, ses pouvoirs auraient sans doute été modifiés. Il aurait sans doute pu déformer et déplacer ce trou afin que les balles passent au travers de ce trou.

Donc, il dispose de deux statégies pour une attaque par balle. Retenir les balles en déformant continument son corps de manière à accompagner leur parcours ou se déformer de manière à les éviter ( dessin K Pollard)

La boule est topologiquement équivalente a un pavé rectangualaire ( toute personne qui a fait le la patisserie peut en témoigner) et aussi en sac ( non troué), ce qui peut s'avèrer pratique si on veut capturer Hulk par exemple.

Pour se tranformer en tore, Red doit recoller sa structure, en retenant une partie de son corps avec son bras.

Dans tous les épisodes des FF par Kirby de ma collection, j'ai pu constater qu'il respectait la déformation continue et l'équivalence à la boule. Sauf à ces quelques exceptions près, mais je crois qu'on peut les imputer aux encreurs, moins bons topologues.

Dans FF11, les deux bras semblent soudés au niveau du coude, ce qui le rendrait équivalent au tore. Il s'agit sans aucun doute d'une erreur d'encrage, ou alors il y avait une bulle à la place de l'erreur, cette erreur est trop grossière pour être voulue .

Dans FF14, Mister Fantastic se transforme en filet pour capturer Namor. L'encrage semble donner l'idée d'un volume avec de nombreux trous :

Heureusement, en gros plans, Kirby explique la façon d'obtenir ce filet tout en gardant la structure de boule. Ca semble mieux marcher. Encore faudrait-il étudier cette structure en filet à l'aide de la théorie des graphes pour en être sûr.

Même schéma dans FF17. Kirby semble percer de nombreux trous dans la structure de M. Fantastic . Mais il corrige l'idée dans l'image suivante nous dévoilant son truc et ne laisse plus de doute: c'est bien une erreur d'encrage .

Je ne pense pas que Jack Kirby ait tenu un livre de topologie dans ses mains, mais son intuition de la déformation d'une boule était parfaitement cohérente sur les 102 épisodes qu'il a dessinés.

Mais comme pour comprendre une notion, il peut être intéressant d'avoir des contre-exemples, on m'a signalé ces petits monstres multicolores qui ne connaissent pas la topologie .

le carré magique ( puzzle)

2009-10-17T14:23:00.001+02:00

Un devoir maison que j'ai donné en 1S, qui étudie un puzzle vendu sous le nom carré magique. Il est constitué de quatre pièces superposables et peut dans une configuration, donner un carré de côté 10cm et dans une autre, donner un carré un peu plus grand, dans lequel un trou carré de côté 2 cm a été opéré en son centre. J'ai choisi les valeurs afin de trouver dans les calculs un trinôme qui se simplifie facilement et des valeurs simples pour la construction, mais on peut choisir n'importe quelles valeurs au départ. La construction des ce puzzle joue sur un double découpage du plan. 1 un pavage avec deux carrés de tailles différentes: 2 un pavage avec un carré ayant pour sommets les centres des quatre grands carrés reliés par un petit : Cette construction permet de démontrer de façon fort jolie la théorème de Pythagore. Henri Perigal, un agent de change londonien du 19eme a trouvé cette dissection du carré en 1874. Henri Dudeney, le célèbre créateur de jeux mathématiques, l'a popularisé en 1917. Il est à noter que l'on peut avoir les deux solutions en une manipulation, après avoir relié les pièces au moyen d'une charnière . Je ne sais pas si ça existe, mais je pense qu'on peut imaginer des tables carrées sur mesure qui pourraient s'adapter en quelques manoeuvres autour d'un pilier central .

Un problème sur la tapisserie de Bayeux

2009-09-29T20:06:00.000+02:00

Professeur dans un lycée de Bayeux, suite à des discussions avec des collègues sur des problèmes de mathématiques concernant le patrimoine local, je me suis mis en quête de monuments de la ville pouvant succiter des questionnements mathématiques.
J'ai arpenté la ville, et, mis à part une courbe du midi sur la façade de l'hotel du cadran,
et un tétraèdre issu des plages du Débarquement (le même que ceux-ci)

, je n'ai pas trouvé grand chose.
Et puis, j'ai pensé à un roman que j'ai lu il y a deux ans, "Intrigue à l'anglaise" d'Adrien Goetz, qui se déroule à Bayeux autour de sa broderie et dans lequel l'un des héros s'amuse avec une reproduction de la tapisserie de Bayeux, en l'enroulant autour d'un cylindre. Une théorie amusante, qui peut faire penser aux colonnes de Trajan ou à des colonnes du XIeme siècle retrouvées en Allemagne et retraçant des scènes de la vie du Christ . Une idée astucieuse et séduisante, à prendre comme elle est. En tout cas, cela pose des questions mathématiques intéressantes.
J'ai écrit à l'auteur du roman qui était ravi et qui m'a donnée les références d'un livre avec une reproduction de la tapisserie très pratique pour faire une maquette.
A l'aide d'extraits du roman, j'ai créé ce devoir en temps libre et cette maquette.

Sur cette maquette, avec les alignements évoqués dans le roman, on peut retrouver le diamètre de cette colonne hypothétique et on trouve des coincidences amusantes.
Presque sur le même verticale, le serment d'Harold , puis, au dessus le doigt de Dieu qui viendrait attester ce serment, puis encore au dessus, la comète, sorte de message divin.

Je n'ai pas encore donné le devoir, j'espère que cette vision amusante de notre trésor local les motivera davantage, et que le côté "lecture d'un extrait de roman à l'aide des maths" séduira les élèves et leur offrira des ouvertures. Une discussion avec un élève de 1S qui se dit plus littéraire que matheux m'invite à croire que c'est une piste intéressante .
Le regret que j'ai, c'est qu'il n'existe pas ou plus de colonne pouvant coller avec les résultats trouvés. J'aurais tant aimé faire une sortie à la cathédrale de Bayeux avec tous mes élèves armés de mètres de couturières pour mesurer le tour des cylindres, mais aucun pilier n'est cylindrique.
Ni dans l'abbaye aux dames, ni dans l'abbaye aux hommes, d'ailleurs.

Planche de Galton (seconde, première)

2009-09-12T14:11:00.001+02:00

Cette année, je suis nommé en lycée, et mon projet de faire des bricolages pour le programme de collège se trouve modifié. Réaliser des outils visuels et tactiles pour l'enseignement des maths en lycée me semble un peu plus ardu, et limite hors sujet, le programme allant vers davantage d'abstraction. Toutefois, pour certaines leçons, comme la géométrie dans l'espace, cette approche peut être intéressante. J'avais réalisé cet objet il y a quelques années, mais comme j'en aurai certainement besoin cette année, je l'ai récupéré ( Merci Jacques). Une planche de Galton, du nom de son inventeur, Sir Francis Galton . Deux barres amovibles en haut et en bas pour libérer les billes. J'ai utilisé des vis à tête hexagonales, afin d'avoir une probabilité 1/2 pour chaque côté. Les résultats sont corrects, j'ai voulu utiliser des obstacles à section circulaire pour fabriquer une autre planche( des tourillons en bois ), mais les résultats sont très décevants ( les billes vont très souvent sur les côtés). Avec les vis, une fois la planche posée sur un endroit équilibré, nous avons des résultats plutôt corrects. C'est le premier objet que j'avais bricolé, le gros défaut qu'il a , c'est que le matériel m'a coûté assez cher, notamment les vis de 21 ( aux alentours de 25€, si je me souviens bien)

Avec les nouveaux programmes de seconde, une place intéressante est donné à l'algorithmique, et je me suis replongé avec délice dans la programmation de petits programmes. J'ai utilisé le logiciel scratch pour l'écrire, parce que les nouveaux programmes de seconde nous proposent de découvrir ce logiciel. Je me suis amusé à effectuer une simulation de cette planche de Galton. L'un des aspects sympathiques de Scratch, c'est la possibilité de partager nos programmes aux autres internautes, qui peuvent les télécharger et les utiliser et modifier s'ils le désirent . Voici ma simulation ( prendre une valeur inférieure à 150, SVP) Activité se rapportant à la planche de Galton : Après un lancer d'une soixantaine de billes, établir un tableau des fréquences pour chaque colonne. Comment expliquer cette courbe en cloche? Lancer de billes : où la bille va-t-elle tomber? Pourquoi la bille tombe-t-elle plus souvent dans la colonne centrale? Propriété: la probabilité pour la bille de tomber dans une colonne est proportionnelle au nombre de chemins qui mènent à cette colonne. Il faut donc compter, pour chaque colonne le nombre de chemins qui y mènent. Notation d'un chemin : A chaque obstacle, la bille va soit à gauche, soit à droite. En notant G et D le fait d'aller à gauche ou à droite pour chaque obstacle, dessiner le chemin GGDDGGGD. Où la bille tombe-t-elle après ce chemin? Donner un autre chemin qui mène à la même colonne. Combien y a-t-il de chemin qui mènent dans la colonne la plus à droite? Quel est son codage? En étudiant le nombre de possibilités à chaque obstacle 1) sur les bords 2) sur un obstacle non situé sur les bords, on arrive à se rendre compte qu'on peut obtenir de proche en proche le nombre de chemins qui mènent à chaque étape. On obtient le triangle de Pascal, connu des chinois dès le 14eme siecle

diaporama club polyèdres

2009-06-17T17:22:00.000+02:00

Voici un diaporama qui présente les travaux du club polyèdres dans mon collège.

Un pantographe à symétrie axiale ( 6emes, 5emes)

2009-06-03T11:39:00.001+02:00

Je ne sais pas si l'objet existe, je ne connais que le pantographe à symétrie centrale où à homothétie, mais je pense que c'est un bel objet pour illustrer le cours sur les symétries axiales en sixième et pour donner une application des propriétés du losange en cinquième.
Edit: Après deux trois recherches, je me rends compte que non seulement cet objet existe, mais qu'il existe aussi des pantographes pour la translation, pour les similitudes et les rotations. très ingénieux aussi.
construction:
Sur une planche, j'ai vissé une crémaillère qui fera office de rail.
J'ai posé deux roulettes ( récupéré sur un vieux meuble) qui s'adaptent à la taille du rail et sur lesquelles j'ai posé des branches de méccano de la même taille.
On obtient un losange. Sur les deux autres sommets, j'ai posé deux courtes bandes coudées où j'ai scotché des feutres de manière à ce qu'ils touchent le support.
On scotche deux feuilles de papier symétriquement par rapport au rail.

Pour l'instant, deux défauts persistent: on ne peut pas lever le crayon et le support des feutres a tendance à tourner et à déformer le dessin.
Pour pallier à ces défauts, il faut être deux à manipuler l'objet, le premier qui fait le dessin et le second qui se laisse guider, les deux personnes faisant attention à ce que les feutres soient dans l'axe de la diagonale du losange. Celui qui dirige le dessin peut aussi demander à son comparse de lever le crayon si nécessaire. Mes enfants étaient contents d'essayer, mais il va encore falloir s'entrainer au maniement.

En cinquième, après le cours sur les parallélogrammes particuliers, on peut demander de démontrer que les barres forment un losange et que les deux feutres sont toujours placés de façon symétrique par rapport au rail.

Travaux pratiques: calcul de volumes (3emes)

2009-05-06T14:01:00.000+02:00

En corrigeant les devoirs de mes troisième sur la géométrie dans l'espace, je me suis rendu compte qu'ils ne faisaient aucune figure, qu'ils ne se figuraient aucune section par un plan qui rend les calculs pratiques.
Les calculs étaient corrects mais peu lisibles sans la figure.
Pour les obliger à se poser ce genre de questionnement, je leur ai proposé une séance de travaux pratiques.
J'ai disposé sur les tables différents objets courants.
La consigne était de calculer le volume intérieur.
Ils avaient à leur disposition des règles, des compas, des pieds à coulisse et s'ils le demandaient, des bouts de ficelle.
Le travail attendu était la réalisation d'une affiche présentant leur démarche.
N'ayant pas de figure dessinée dans l'énoncé, ils étaient bien obligés d'en faire une pour nommer les points.
Ce jour- là, ma salle de classe ressemblait un peu à une foire à tout.

Le boîtier de raccordement pour prises électriques.
Deux demi-sphères + un cylindre
A part l'utilisation du pied à coulisse, pas de difficultés.

Le rouleau de scoth double face
Différence de deux cylindres
Utilisation du pied à coulisse.
Pas de difficultés, mais c'est pour montrer que les volumes ne s'ajoutent pas toujours.

Le pot de confiture.
un prisme droit + 1 cylindre

La principale difficulté était de calculer l'aire de la base, qui est un hexagone.
Utilisation du pied à coulisse.

Abats jour et entonnoirs
Troncs de cône et troncs de pyramides.
Le calcul est bien plus compliqué et plus ambitieux. En effet, il faut trouver la position du sommet tronqué.
Utilisation du théorème de Pythagore, du théorème de Thalès.
Résolution d'une équation.

Certains élèves ont utilisé plusieurs méthodes pratiques pour retrouver la position approximative du sommet: utilisation de plusieurs règles, bouts de ficelle (qu'il a fallu couper à la bonne longueur, car impossible à extraire en gardant le doigt sur le bon repère.)

Certains élèves sont arrivés à une très belle résolution du problème des abats jours, d'autres se sont contentés de faire une approximation.
En tout cas, ils ont tous fait des plans.

Travaux pratiques parallélogrammes ( 5eme)

2009-05-06T10:45:00.001+02:00

Afin de commencer mon cours sur les parallélogrammes, j'ai mis au point une série d'expériences que les élèves effectuent en TP tournant.
Chaque expérience est conçue de la même façon, en quatre étapes:

1) construction d'un parallélogramme avec le matériel proposé
2) Explicitation du vocabulaire mathématique mis en jeu
3) Ecriture d'une propriété suffisante pour fabriquer un parallélogramme.
4) Utilisation de cette propriété pour construire un parallélogramme à l'aide des instruments de géométrie.

Les élèves sont répartis en groupes de deux ou trois. Chaque fois que le construction est réalisée, les élèves la font valider sur une grille de validation. Ils peuvent alors répondre aux questions suivantes.

Pour commencer la séance, donner une bonne image mentale dui parallélogramme, fixer la définition et fournir un "moule" aux autres rédactions, tous les élèves commencent par le TP 1.
TP1: définition du parallélogramme
Matériel fourni: 4 feuilles de papier calque, avec deux droites tracées. Seuls les calques 1 et 4 présentent des droites parallèles 2 à 2.

Questions( les questions 4, 6 et 7 sont exactement les mêmes pour tous les TPs (aux décalages près), je ne le remettrai pas par la suite.

1) A l'aide de deux calques bien choisis, construire un parallélogramme. Faire valider par le professeur.
2)Quels sont les numéros des calques que tu as choisis pour construire ces parallélogrammes?
3)Pourquoi avez vous choisi ces calques là ?
4)Faire un schéma de votre construction avec le quadrilatère ABCD. Que peut-on dire de cette figure à l'aide du TP 1 ?

5) Compléter la phrase:
Un parallélogramme est un quadrilatère qui..........................................
...............................................................................

6)En vous servant de cette propriété, terminer le parallélogramme ABCD.

7)Quels outils de construction avez-vous utilisé?

Après avoir laissé les élèves chercher dix minutes, une correction type est proposée.

TP 2 : Condition suffisante concernant les longueurs égales deux à deux. ( avec des baguettes)

Deux TP avec du matériel différent mais aboutissant à la même propriété
TP 2 : Baguettes et 4 colliers de serrage

1)Choisis le matériel sur la table pour construire un parallélogramme.
Fais valider par le professeur.

2)Comment as tu choisi les tiges?

3)Que représentent les tiges de même longueur dans ce parallélogramme ?
phrase à compléter:

Si un quadrilatère …................................................................................................., alors c'est un parallélogramme .

TP2 bis ( avec des barres de mécano)
matériel : 4 bandes de mécano , 4 vis, 4 écrous

1)construire un parallélogramme avec tout le matériel proposé. Faire valider par le professeur.

2)Comment avez-vous placé les vis?

Phrase à compléter:
Si un quadrilatère …................................................................................................., alors c'est un parallélogramme .

TP3 : Condition suffisante concernant la symétrie centrale (ou le milieu des diagonales.)

Matériel : 2 tiges de mécano , 5 vis et écrous, un élastique.

1)Construire un parallélogramme avec tout le matériel proposé. Faire valider par le professeur.

2)Que représentent les deux barres de mécano pour le parallélogramme ?

3)Que représente l'élastique pour le parallélogramme?

4)Comment avez-vous placé les vis sur les barres ?
Phrases à compléter:

Si un quadrilatère a ses diagonales qui............................................, alors c'est un parallélogramme.

Si un quadrilatère admet un........................................................, alors c'est un parallélogramme.

TP4 : Condition suffisante concernant deux des côtés.

Matériel : 3 tiges de mécano préparées, 4 vis,, 4 écrous, un élastique.

1)Comment ont été monté les tiges 1 et 3 par rapport à la tige 2 ?

2)Que peut-on dire alors des tiges 1et 3?

3)Quelle propriété avez-vous utilisé?

4)A l'aide du matériel proposé, construire un parallélogramme. Faire valider par le professeur.

5)Comment avez vous choisi l'emplacement des vis ?
Phrase à compléter
Si un quadrilatère a deux........................................................., alors c'est un parallélogramme.

TP5 : Conditions suffisantes concernant les angles

Matériel : Feuilles transparentes.

1)Choisir les bonnes feuilles transparentes pour construire un parallélogramme. Faire valider par le professeur.
2)Quelles sont les feuilles que vous avez choisies?

3)Comment avez-vous choisi ces feuilles?

4) Que peut-on dire des angles opposés dans un parallélogramme?

5) Que peut-on dire des angles consécutifs dans un parallélogramme?
Phrases à compléter
Si un quadrilatère a ses angles opposés .........................................., alors c'est un parallélogramme

Si un quadrilatère a des angles consécutifs .............................., alors c'est un parallélogramme.

Il faut bien compter deux heures pour ce TP.
La plupart des élèves est enthousiaste.

Jeu des multiplications

2009-03-18T18:33:00.000+01:00

En CE2, mon fils a un peu de mal à apprendre les tables de multiplications. Quand je vois les élèves de collège pour qui elles ne sont pas acquises non plus, j'essaye de trouver une solution pour les aborder de façon ludique. J'ai acheté dernièrement le jeu Folix, un mémory basé sur les tables de multiplication et il est intéressant, il m'a donné une autre idée de jeu.
Une table de multiplication de Pythagore vierge de la table de 2 jusqu'à la table de 10, et des jetons donnant les résultats des multiplications avec deux faces de couleurs différentes. Le jeu s'apparente un peu au puissance 4.
Chaque joueur tire deux jetons dans un sac, puis place le jeton sur une place qui correspond avec la face de sa couleur. Par exemple, s'il tire un jeton 12, il peut placer son jeton sur la case 2 x 6, 6 x 2, 3 x 4 ou 4 x 3. Le premier qui fait une ligne de quatre de sa couleur gagne.
Je l'ai essayé avec mon fils qui adore y jouer.
L'intérêt, c'est qu'on peut se déplacer sur la table de Pythagore avec les jetons déjà placés. On peut aussi faire des constatations sur la commutativité de la multiplication ou sur les carrés. Le joueur va très vite chercher la solution la plus stratégique. En ajoutant quelques jetons de gage ou de chance( retirer un jeton de sa couleur, retourner une jeton de son choix, retirer deux jetons), on peut corser le jeu. C'est un beau mélange de chance, d'entrainement à la multiplication et de stratégie.
Je l'ai essayé aussi avec un élève de sixième en difficultés et je ne l'ai jamais vu aussi concentré de l'année. Il est motivé pour enfin apprendre ses tables.
Le fichier Openoffice avec la règle complète

Icosaèdre tronqué

2009-02-01T09:56:00.000+01:00

Puisque je me décide à reprendre un peu ce blog, j'espère de manière hebdomadaire, je poste des images qui ont quelques mois déjà mais que j'aime bien.
Lors de la fête de la science, on a exposé les travaux des élèves sur les polyèdres. Ils ont montré aux visiteurs les différentes manières d'en fabriquer que j'ai exposées il y a quelques posts.
Parmi les moments les plus intenses et spectaculaires, les élèves et les visiteurs ont monté un icosaèdre tronqué de 2,50 mètres de haut.
Je tiens cette technique d'un collègue, François Gaudel, qui a fabriqué un icosaèdre tronqué de 5 mètres de haut entre autres choses merveilleuses . J'admire la logistique qu'il doit mettre en oeuvre pour transporter les pièces. Mes pièces tiennent à peine dans ma voiture.
Celui qu'on a monté est fabriqué avec des tuteurs en bambou, souples, légers et pas chers, auquels on a vissé des pitons au bout.
On fabrique 20 hexagones en commençant par les deux triangles équilatéraux enchevétrés et l'étoile à six branches pour le rendre stable. Cela nécessite donc 120 tiges de longueur A et 12O tiges de longueur A * racine de 3.
De même, on a besoin de fabriquer 2 pentagones sur les 12, les autres apparaissant en creux. Ces deux pentagones constitueront les "pôles". Donc 10 de plus de longueur A et 10 de longueur A * phi pour les diagonales.
Pour assurer la rotondité de l'objet, il faut de plus tendre une diagonale de longueur A* Phi sur les pentagones , créant ainsi des "tropiques"

Jeu de sept familles sur les fractions (Cinquièmes)

2009-01-31T15:43:00.000+01:00

J'ai assisté l'année dernière à un stage très intéressant proposé par l'Irem de Caen qui traitait entre autres de la manière de faire travailler les élèves en utilisant des jeux de société. J'ai utilsé certains des jeux présentés, notamment le démotron en quatrième pour faire des shémas déductifs et le dominato en cinquième pour introduire les nombres relatifs.
Mes élèves de cinquième en redemandent!
Le site de Jeux2maths

Pour réviser les fractions et le vocabulaire, j'ai fait un jeu de sept familles sur les fractions.
les cartes à découper

le tableau récapitulatif des cartes pour aider les joueurs faibles

la règle du jeu

Détournement d'objet

2009-01-17T11:12:00.000+01:00

Il y a bien longtemps que je n'avais pas mis à jour ce blog.

Pourtant, j'ai pensé à de nombreux autres objets. Mais pas eu le temps de les mettre en ligne. Et le temps passe vite.

Hier, en utilisant mon objet théorème " cercle circonscrit et triangle rectangle" dans un exercice classique portant sur les angles:

1) démontrer que le triangle est rectangle

2) calculer la mesure de l'angle BAC

3) en déduire la mesure de l'angle BOC ( angle au centre)

J'ai laissé chercher calculer cet angle avec les méthodes de cinquième, avant de le généraliser. Et puis je me suis rendu compte que l'objet cercle circonscrit pouvait tout à fait illustrer le théorème de l'angle inscrit. Il suffit de placer une partie de l'élastique , un des côtés du triangle à l'intérieur du mécanisme, ne laissant plus visible qu'un seul angle inscrit. En laissant l'arc constant et en bougeant le troisième point, on se rend compte que l'angle est constant.

Le fait d'exposer l'objet en action a marqué les esprits de mes élèves, je crois.

Ca a permis de mettre en action les objets en jeu et de bien rappeler le vocabulaire.

plusieurs façons de construire des polyèdres

2008-01-23T17:43:00.000+01:00

Je m'occupe d'un club polyèdres avec des élèves de sixième et cinquième.
L'objectif est de construire et d'étudier les propriétés des solides de Platon, et tous les polyèdres qui en découlent ( tronqués, étoiles ), avant peut être d'en trouver des plus compliqués.

Ce qui est très riche dans ce sujet est la multiplicité des moyens de construction, pour tous les budgets.

tiges aimantées
Avec des tiges aimantées et des billes de métal ( style géomag), on peut construire rapidement les solides de Platon ( le cube est un peu instable, l'icosaèdre ne tient pas debout).
Compter 10 euros pour une boîte.
Avantages: prise en main et constructions rapides. idéal pour la découverte des solides.
Inconvénients: L'objet ne peut pas être gardé.

Patrons
En réalisant des patrons sur une feuille de papier fort ( Photocopier au préalable un treillis de triangle équilatéraux), on obtient un bon exercice de vision dans l'espace.
Prendre un dé 8 ou un dé 20, et demander aux élèves de reconstituer le patron en s'adant des numéros des faces.
Pour le dodécaèdre, on peut demander de décalquer les pentagones.
Avantages: peu coûteux, un exercice intéressant
Inconvénients: on obtient des objets petits.

Pièces à recoller
On découpe toutes les faces (triangles, carrés, pentagones, hexagones), et on les recolle toutes avec du scotch. Prévoir plusieurs couleurs.
Pour les solides tronqués, on peut laisser vide la partie tronquée.
Avantages: permet d'obtenir les problèmes de colorisation avec des faces adjacentes de couleurs différentes
Inconvénients: La finition n'est pas très belle, avec beaucoup debouts de scotch.

Pièces à encastrer l'une dans l'autre
Avec des triangles équilatéraux avec une fente, on peut obtenir un joli puzzle 3D pour obtenir des tétraèdes, octaèdres et icosàèdres tronqués. Avec des pièces de couleur, on peut aussi poser des problèmes de couleur.
Avantage: objet joli et démontable
Inconvénients: on ne peut le faire qu'avec ces trois solides.

Tiges et pitons
En coupant des tourillons de pin et en vissant à chaque bout un piton à vis, on obtient une arête.
On les fixe ensemble avec de la ficelle ou des collerettes ( fil plastique servant en plomberie ou électricité).
Avantages: Objet solide ( pour le cube et l'icosaèdre, prévoir des coins) . Une fois l'objet réalisé, on peut faire des construction sur les arêtes ( en marquant chaque arête aux tiers, puis en les relaint, on peut obtenir les troncatures. En marquant les milieux des arêtes, on peut obtenir avec des ficelles les centres des faces, puis les solides duaux)
Inconvénients: ca revient assez cher, et c'est assez long à réaliser.

Cure dents
Idéal pour les cocktails.
Utiliser les tomates cerises pour les sommets, les cure dents pour arêtes.
Sinon, il faut trouver quelque chose d'assez ferme pour maintenir les tiges dans la bonne position et d'assez mou pour pouvoir être piqué. J'ai vu quelqu'un qui prenait des bonbons valda. Le blutak donne des résultats plutôt médiocre dans le temps.
Avantages: rapide et fun
Inconvénients: petit et pas très joli.

Origami modulaire
le pliage modulaire consiste à faire des modules identiques que l'on imbrique les uns dans les autres. En recherchant des instructions , je me suis rendu compte que sur Youtube, il y a beaucoup de films de plieurs qui montrent toutes les étapes de pliage.
Avantages: très joli, on peut jouer avec les couleurs des arêtes ou des faces
Inconvénients: assez fastidieux. L'assemblage n'est pas toujours évident. Mais ca vaut le coup.

Paille, ficelle et pic à brochettes
Couper des pailles de 5 cm. Enfiler la ficelle et la lier de manière à obtenir les polyèdres.
On peut se poser la question: peut on obtenir un polyèdre avec une seulle ficelle? (oui pour l'octaèdre, non pour les autres) et aborder la théorie des graphes.
Une fois le polyèdre obtenu, on peut insérer des pics à brochettes dans les pailles. En les relaint on obtient des étoiles . En reliant les sommets des étoiles, on obtient un autre polyèdre.
Avantages: peu cher et assez impressionnant.
Inconvénients: assez fastidieux.

Polyèdre obtenu par tressage

puzzle de Lloyd (6eme)

2007-11-01T18:26:00.000+01:00

Outre le tangram, les puzzles mathématiques, basés sur des pavages et des découpages sont riches et fascinants.

Sam Lloyd était, avec Henry Dudeney, un remarquable inventeur de jeux mathématiques.

Le puzzle de Lloyd comporte cinq pièces. La consigne permettant de le fabriquer à partir d'un carré n'est pas compliquée pour un élève de sixième.

Avec ce puzzle, on peut réaliser un carré, un rectangle, un triangle rectangle, un parallélogramme, une croix et un quadrilatère qui possède deux angles droits.

Les solutions peuvent se dessiner sur la figure suivante.

On peut se servir d'une activité parlant de ce puzzle dans le cadre d'un PPRE. Ecriture des consignes de construction du puzzle. Recherche des solutions pour les différentes figures et tracé précis des solutions pour un côté du carré donné.

En utilisant plusieurs puzzles, avec différents recouvrements et en prenant le petit carré comme unité d'aire, on peut aussi demander d'exprimer l'aire de chaque pièce du puzzle, et ainsi retrouver que l'aire du grand carré est 5 unités d'aire.

(petit triangle : 1/4 u.a , trapèze: 3/4 u.a , Carré : 1 u.a, grand triangle : 5/4 u.a, hexagone: 7/4)

Le lien Wikipédia sur Sam Lloyd avec des liens vers ses énigmes

http://en.wikipedia.org/wiki/Sam_Loyd

le théorème de Thalès (4eme et 3eme)

2007-10-30T17:00:00.000+01:00

Pour affichage après la formule du cours.

La plaque est en contreplaqué.
Les baguettes sont graduées des deux côtés, chaque baguette dans une couleur différente (une couleur pour chaque rapport de longueur). Dans la première configuration, les graduations sont faites à partir du premier trou.

En changeant la position de la vis, on obtient le Thales papillon. On retourne les baguettes, graduées cette fois ci par rapport au second trou.

Améliorations à apporter:

Placer les noms des points à l'aide de punaises. Trouver une graduation des ficelles.

L'emploi du fil à plomb n'est pas la seule solution pour obtenir des droites parallèles. On peut utiliser par exemple un parallélogramme articulé, mais cela alourdirait la figure.

La ficelle

2007-10-29T11:48:00.000+01:00

Il n' y a pas toujours de compas de tableau dans mes salles de cours. Ca peut être gênant quand on veut mettre en évidence un report de longueur ou tracer un cercle. J'ai toujours un bout de ficelle dans mon cartable. Auparavant, je me suis parfois trouvé obligé de démonter mon lacet ( effet théatral garanti, mais le lacet s'abime et il est difficile à remettre ensuite).

la corde à 13 noeuds
En fait, ma ficelle est plutôt une corde à treize noeuds. Pas difficile à fabriquer, un nom à la fois très concret et très évocateur, la corde à treize noeuds est l'un des outils mathématiques les plus anciens. Les Egyptiens l'utilisaient 2000 ans avant JC (Et pour quoi faire? Des pyramides?).

Après la réciproque du théorème de Pythagore, et avoir démontré que le triangle 3-4-5 est retcangle, je sors ma corde à treize noeuds en tenant les deux bouts et le cinquième point en demandant à un élève de tendre au 3eme point. Le triangle rectangle apparait et frappe les esprits. Un peu d'histoire des maths ne fait pas de mal.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corde_%C3%A0_treize_n%C5%93uds

Appel

2007-10-28T14:42:00.000+01:00

Si vous avez des idées à proposer, n'hésitez pas à les mettre dans les commentaires de ce message.

pliages mathématiques (5eme - 4ème)

2007-10-28T13:25:00.000+01:00

Les pliages offrent de nombreuses possibilités en géométrie.

Outre la classique équerre en papier qui a tiré plus d'un élève d'un mauvais pas quand l'equerre en plastique est retrouvée en morceaux dans le cartable (je l'ai vécu moi-même en quatrième et jamais oublié), le pliage permet de façon très naturelle de trouver le milieu d'un segment, d'obtenir la bissectrice intérieure d'un angle, ainsi que la médiatrice d'un segment et des droites perpendiculaires passant par un point donné.

Ainsi toutes les droites remarquables du triangle peuvent être obtenues par pliage. Les années précédentes, j'ai essayé de faire un séance de révision en quatrième sur les droites remarquables, mais le résultat n'était pas satisfaisant, notamment à cause de l'hétérogénéité des capacités manuelles des élèves. Tous les élèves arrivaient au résultat mais en plus ou moins de temps. Par contre, bien présentée , cette activité peut donner lieu à un devoir à la maison.

Principe: Les élèves découpent quatre triangles isométriques puis obtiennent les droites remarquables par pliage. Ils devront ensuite repasser les plis en couleur, coder les propriétés et coller leurs triangles sur une feuille présentant les différents objets obtenus.
Le devoir n'est pas encore mis en forme, mais présentera les différentes techniques de pli.

Pour obtenir quatre triangles isométriques, plier la feuille en quatre, puis tracer un triangle sur le quart de feuille supérieur Nommer les sommets (à l'intérieur) . Découper le triangle. Les quatre triangles ont la même dimension. Donner les dimensions du triangle afin qu'il soit à la fois assez grand, non particulier et ait tous ses angles aigus ( pour que le centre du cercle circonscrit ne se retrouve pas à l'extérieur. (mon exempple, 12, 14 et 9 centimètres. Je me rappelle un article donnant les dimensions d'un bon triangle quelconque, mais je ne sais plus où le trouver)

Nommer les 4 triangles obtenus ABC.

Avec les techniques ci-dessous, obtenir le centre du cercle circonscrit d'un triangle, le centre du cercle inscrit de second, l'orthocentre du troisième et le centre de gravité du dernier.

Cosinus ( 4eme)

2007-10-27T20:25:00.000+02:00

Me voila lancé!

Le bricolage que je propose ici permet de visualiser le cosinus d'un angle aigu.

Il a des vertus d'affichage et d'estimation du cosinus connaissant la mesure de l'angle.

A mon avis, il est à afficher après avoir donné la formule du cosinus dans un triangle rectangle.

Cos (Alpha) = Côté adjacent / Hypoténuse.

A ce moment là, on se donne un triangle d'hypoténuse 1 unité.

Dans ces conditions, le cosinus correspond à la longueur du côté adjacent.

Il faut poser l'objet contre le mur en respectant scrupuleusement l'horizontale.

Le fil à plomb assure alors l'orthogonalité des deux côtés.

Comme utilisation, on peut avoir une activité demandant d'estimer le cosinus de quelques angles. Et inviter des élèves au tableau afin d'effectuer la mesure.

J'imagine qu'avec cet objet, les élèves auront moins tendance à confondre le cosinus et l'angle.

De plus, on peut remarquer que le cosinus est inférieur à 1, que si l'angle est petit, le cosinus est proche de 1 et qu'il a tendance à diminuer lorsque l'angle devient grand.

Ca fait de beaux objets à afficher en permanence dans la classe.

Comme extension, en graduant la ficelle, on pourra parler du sinus de l'angle en troisième.

Triangle rectangle et cercle circonscrit ( 4ème)

2007-10-27T11:19:00.000+02:00

J'ai bricolé cet objet juste avant la rentrée de septembre. En travaillant sur le manuel de 4ème, j'ai cherché comment bien montrer aux élèves la simplicité des propriétés du cercle circonscrit et du triangle rectangle, compte tenu de la complexité de sa formulation.

Autant ces propriétés sont faciles à "toucher", autant leur formulation est complexe.

L'idée de fabriquer l'objet" théorème" m'est venue ainsi.

Matériel nécessaire:

4 planches de carton ( épaisseur 5mm), Trois boutons de culotte ( diamètre extérieur env. 13 mm, diamètre intérieur env.5mm), trois pitons à vis, fil élastique de couleur ( 60 cm environ)

Cet objet est constitué de quatre plaques de gros cartons collées l'une sur l'autre. Sur les trois plaques supérieures, j'ai découpé des disques de diamètres différents, afin de faire circuler les points le long de la couronne.

section sur un diamètre. La différence entre les deux diamètres de la couronne supérieure est de 6mm environ, celle entre les deux diamètres des couronnes intérieures est de 20 mm environ

Les points sont représentés par des boutons de pantalon auxquels j'ai vissé des crochets pour une prise en main plus facile. A insérer lors du collage pour plus de solidité.

On fait un noeud avec le fil élastique et on entoure les trois points

La consigne collée sous l'objet est:

1) En déplaçant les points sur le cercle, construis un triangle rectangle.

2) Une fois le triangle rectangle construit, en ne déplaçant qu'un point, construis-en deux autres.

Déroulement de la séance
Je donne les consignes suivantes:

1) Soit un triangle avec trois angles aigus, tracer le cercle circonscrit à ce triangle

2) Soit un triangle avec un angle obtus, tracer le cercle circonscrit à ce triangle.

3) Quelle différence peut-on trouver sur le centre du cercle circonscrit dans ces deux cas?

J'ajoute malicieusement: pour ceux qui auront trouvé les premiers, j'ai une petite surprise.

Cet exercice permet de remettre en tête les médiatrices des segments, les médiatrices des triangles et le centre du cercle circonscrit.

Au premier qui a tracé les deux cercles et trouvé la différence ( centre à l'intérieur du triangle, centre à l'extérieur du triangle), je confie l'objet, et lui demande de rédiger ses commentaires sur les deux questions . La curiosité des autres les pousse à finir l'exercice pour manipuler l'objet. La manipulation ne prend qu'une minute par table, et l'objet circule. Avec un seul objet, tout le monde a manipulé en un quart d'heure. Je pense que l'année prochaine, j'en fabriquerai deux supplémentaires pour un bon gain de temps.

La consigne " 1) En déplaçant les points sur le cercle, construis un triangle rectangle." permet de mettre en évidence que si le triangle est rectangle, alors un côté est un diamètre. La consigne "2) Une fois le triangle rectangle construit, en ne déplaçant qu'un point, construis-en deux autres. " fait voir que si un côté est un diamètre du cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle.

Certains élèves ont réussi une formulation correcte de la propriété ou de la réciproque.

Dans une classe de quatrième, j'ai commencé le cours par la propriété :" Dans un triangle rectangle, le diamètre du cercle circonscrit est l'hypoténuse de ce triangle" , et ses conséquences. Dans l'autre, j'ai commencé par la réciproque " Si le côté d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors le triangle ets rectangle" , et les conséquences, en suivant le déroulement du débat dans la classe. En tout cas, les formulations de élèves étaient plus construites à mon avis que ce que j'ai pu entendre les années précédentes.

Plus que la formulation un peu compliquée, je pense que les élèves visualisent le théorème et se l'approprient avec leurs sens (vue mais aussi toucher) . L'emploi de l'outil informatique ( Géoplan) par exemple peut peut être arriver au même résultat, mais fait moins appel au sens du toucher, à autre chose, plutôt à un sixième sens que l'humanité est en train de développer qui pourrait s'appeler "sens de l'interactivité", je m'égare, mais je sens que l'élève aurait été moins impliqué dans sa perception.

En faisant essayer à ma femme, qui n'a pas fait de maths depuis quinze ans, elle m'a dit qu'après avoir manipulé l'objet, elle sentait le théorème, elle percevait son utilité et sa beauté. C'est pourquoi j'ai pensé que l'idée était à creuser et que je me suis donné le défi de construire d'autres objets mettant en jeu le sens du toucher pour faire "sentir" les propriétés. J'ai pour l'instant une petite dizaine d'idées, et je les mettrai sur ce blog dès qu'elles seront réalisées.

J'attends vos commentaires avec impatience et appréhension.